Définition iii.25 (propriété (K)) Soit S un schéma régulier. Soit X• = (Xi)i∈I un
système inductif dans Sm/S• indexé par un ensemble ordonné filtrant I possédant une suite
cofinale. Soit E un H-groupe dans H•(S). On dit que E satisfait la propriété (K) relative
au système X• si R1lim
i∈I HomH•(S)(S
1∧X
i+, E) = 0, c’est-à-dire, d’après le théorème iii.16,
que l’application
HomH (S)(X, E) → HomSm/SoppEns(ϕX, ϕE)
est bijective.
Si le système inductif X• n’est pas précisé, il faudra comprendre la propriété (K) comme
étant relative au système inductif K• dont la colimite est Z × Gr (cf. définition iii.1).
L’annulation d’un groupe R1lim peut souvent se vérifier grâce à la proposition ii.3. On
a le cas particulier suivant :
Lemme iii.26 Soit S un schéma régulier. Soit E un H-groupe dans H•(S). Si, pour tout
quadruplet d’entiers (d, r, d′, r′) tel que d ≤ d′ et r ≤ r′, la flèche évidente
HomH (S)(Grd′,r′, RΩE) → HomH (S)(Grd,r, RΩE)
est surjective, alors E satisfait la propriété (K).
Nous verrons que cette propriété (K) est vérifiée dans plusieurs familles d’exemples (cf. section 3 de ce chapitre et remarques v.8 et v.11).
S’il n’y avait qu’une chose à retenir de cette section, ce serait le théorème suivant : Théorème iii.27 Soit S un schéma régulier. Soit E un objet de H•(S) possédant une
structure de H-groupe. On suppose que E satisfait la propriété (K). Alors, on a des bijec- tions canoniques
HomH (S)(Z × Gr, E)
∼
→ HomSm/SoppEns(K0(−), ϕE)→∼
lim (d,r)∈N2 HomH (S)(Grd,r, E) Z ; HomH•(S)(Z × Gr, E) ∼
→ HomSm/SoppEns
•(K0(−), ϕE) .
On reconnaît qu’une famille compatible (fn,d,r)n∈Z,(d,r)∈N2 (où, pour tout (n, d, r) ∈ Z × N2,
fn,d,r appartient à HomH (S)(Grd,r, E)) définit un élément de HomH•(S)(Z × Gr, E) par la
condition f0,0,0 = • ∈ HomH (S)(Gr0,0, E).
Cela résulte aussitôt des théorèmes iii.16 et iii.18 dont les hypothèses sont vérifiées puisque Z × Gr satisfait la propriété (ii) (cf. proposition iii.14).
Remarque iii.28 D’après la proposition iii.15, l’objet P
∞ de H (S) satisfait la propriété
(ii) et est tel que ϕ(P∞) ∼= Pic(−) (pour S régulier). Il y a donc un analogue du théo-
rème iii.27 pour P∞; en particulier, si E est un H-groupe dans H
•(S) tel que pour tout
entier naturel n, la flèche de transition
HomH•(S)(S
1∧ Pn+1
+ , E) → HomH•(S)(S
1∧ Pn +, E)
soit surjective, alors il revient au même de se donner un morphisme P∞ → E dans H (S),
une famille compatible de morphismes Pn → E dans H (S) ou une transformation natu-
Section 3 — Théorèmes principaux
3 Théorèmes principaux
Si S est un schéma régulier, on rappelle que l’on a noté K0(−) le préfaisceau sur
Sm/S qui à X ∈ Sm/S associe K0(X). Dans le théorème qui suit, on s’intéresse aux
endomorphismes de K0(−) vu comme préfaisceau d’ensembles (ou d’ensembles pointés) :
Théorème iii.29 Soit S un schéma régulier. Le morphisme évident de groupes
EndH (S)(Z × Gr) ∼
→ EndSm/SoppEns(K0(−))
est bijectif2. De même, on a un isomorphisme :
EndH•(S)(Z × Gr)
∼
→ EndSm/SoppEns
•(K0(−)) .
Par ailleurs, on a un isomorphisme de groupes abéliens :
EndH (S)(Z × Gr) ≃ Y n∈Z lim (d,r)∈N2K0(Grd,r) = Y n∈Z K0(S) [[c1, . . . , cn, . . . ]]
et un élément de EndH (S)(Z × Gr) correspondant à une famille (Fr)r∈Z de séries formelles
via cet isomorphisme s’identifie à un élément de EndH•(S)(Z × Gr) si et seulement si la
série formelle F0 est de terme constant nul.
D’après le théorème iii.27, il s’agit de montrer que Z × Gr satisfait la propriété (K). D’après le lemme iii.26 et le théorème iii.3, il suffit de montrer que pour tout couple (d, r), (d′, r′) d’éléments de N2 tel que (d, r) ≤ (d′, r′), la flèche de restriction K
1(Grd′,r′) →
K1(Grd,r) est surjective. En utilisant la structure de K0(X)-module sur les groupes Ki(X)
et K′
i(X) pour tout schéma (noethérien) X, la suite exacte de localisation en K′-théorie,
la comparaison Ki(X) ∼
→ K′
i(X) pour X régulier et l’invariance par homotopie de la
K′-théorie (cf. [62]), on montre facilement que si X ∈ Sm/S admet une décomposition
cellulaire3, alors pour tout entier i ∈ N, le morphisme canonique K
0(X) ⊗K0(S)Ki(S) →
Ki(X) est bijectif. Les grassmanniennes admettant une décomposition cellulaire (cf. [20]),
la condition de surjectivité pour le K1 peut se déduire de la même condition pour le K0,
condition qui est bien vérifiée grâce au corollaire ii.27. On a ainsi montré les isomorphismes : EndH (S)(Z × Gr)
∼
→ EndSm/SoppEns(K0(−))
∼
→Y
r∈Z
lim
(d,r)∈N2K0(Grd,r) . 2La structure de groupe sur Hom
H(S)(Z × Gr, Z × Gr) provient de la structure de H-groupe sur le
but : il s’agit de la structure de H-groupe sur Z × Gr évoquée au théorème iii.3. Nous verrons dans la section 4 que les diverses structures naturelles sur K0(−) se relèvent canoniquement sur Z × Gr ; ainsi
l’isomorphisme de groupes donné par ce théorème sera en fait un isomorphisme de λ-anneaux spéciaux. Par ailleurs, on prendra garde à ne pas confondre la multiplication pour cette structure d’anneau et la loi de composition interne induite par la composition des morphismes de Z × Gr (resp. du foncteur K0(−))
dans lui-même...
3On veut dire par là qu’il existe une suite croissante V
0⊂ V1⊂ · · · ⊂ Vn= X d’ouverts de X telle que
V0 soit vide et que pour tout entier i tel que 1 ≤ i ≤ n, Vi− Vi−1possède une structure de sous-schéma de
La formule donnant lim
(d,r)∈N2K0(Grd,r) n’est autre que celle du théorème ii.28. La dernière
remarque pour reconnaître les endomorphismes de Z × Gr dans H (S) qui s’avèrent être pointés est facile : il suffit d’observer que l’image de la classe du fibré trivial de rang 0 sur S dans K0(S) par la transformation naturelle associée aux ci est nulle. Ceci achève la
démonstration de ce théorème.
D’après le théorème iii.24, le théorème iii.29 admet pour corollaire le théorème suivant : Théorème iii.30 Soit S un schéma régulier. Toute transformation naturelle
α : K0(−) → K0(−)
de foncteurs Sm/Sopp → Ens
• donne naissance de manière canonique, pour tout entier
n ≥ 1, à une transformation naturelle Kn(−) → Kn(−) de foncteurs de Sm/Sopp vers
la catégorie des groupes abéliens. Ces transformations sont induites par l’unique classe d’homotopie pointée Z × Gr → Z × Gr induisant à τ au niveau de K0(−) en vertu du
théorème iii.29.
On dispose aussi d’un analogue « à plusieurs variables » de ce théorème iii.29 :
Théorème iii.31 Soit S un schéma régulier. Pour tout couple (n, m) d’entiers naturels,
l’application évidente
HomH (S)((Z × Gr)n, (Z × Gr)m) ∼
→ HomSm/SoppEns(K0(−)n, K0(−)m)
est bijective. On a une version pointée :
HomH•(S)((Z × Gr)
n
, (Z × Gr)m)→ Hom∼ Sm/SoppEns
•(K0(−)
n
, K0(−)m) .
Grâce au lemme iii.19, il suffit de traiter le cas non pointé. Il est par ailleurs évident que le cas m = 1 implique le cas général. On suppose donc m = 1, et n quelconque. D’après la remarque iii.9, le fait que Z × Gr satisfasse la propriété (ii) implique que (Z × Gr)n la
satisfait aussi. Il s’agit de montrer que Z × Gr satisfait la propriété (K) relative au système inductif K n
• dont (Z×Gr)nest la colimite. Pour conclure que l’application considérée dans
le théorème est bijective, il reste donc à montrer qu’un certain groupe R1lim est nul, ce qui
se déduira du fait que si (d1, . . . , dn, r1, . . . , rn) et (d1′, . . . , d′n, r1′, . . . , rn′) sont des entiers
naturels tels que (di, ri) ≤ (d′i, ri′) pour tout 1 ≤ i ≤ n, alors l’inclusion évidente
Grd1,r1 × . . . Grdn,rn → Grd′1,r′1× . . . Grd′n,r′n
induit une surjection sur les groupes K1. Comme tous ces S-schémas lisses sont cellulaires,
cette surjectivité au niveau des groupes K1 se déduit de la surjectivité au niveau des K0
comme dans la démonstration du théorème iii.29, et la surjectivité au niveau du K0provient
simplement du fait (déjà utilisé) que toutes les applications K0(Grd′
i,ri′) → K0(Grdi,ri) sont
surjectives et que le K0 d’un produit de grassmanniennes est le produit tensoriel (au-dessus
du K0 de la base) des groupes K0 desdites grassmanniennes4.
On dispose également d’une version en degrés supérieurs :
4Plus généralement, si S est un schéma régulier, si X ∈ Sm/S admet une décomposition cellulaire et
si Y ∈ Sm/S, alors l’application canonique K0(X) ⊗K0(S)Ki(Y ) → Ki(X ×SY ) est bijective pour tout
Section 4 — Structures sur Z × Gr dans H (S)
Théorème iii.32 Soit S un schéma régulier. Pour tous entiers naturels n et i, l’applica-
tion évidente
HomH (S)((Z × Gr)n, RΩi(Z × Gr)) ∼
→ HomSm/SoppEns(K0(−)n, Ki(−))
est bijective. On a une version pointée :
HomH•(S)((Z × Gr)
n
, RΩi(Z × Gr))→ Hom∼ Sm/SoppEns
•(K0(−)
n
, Ki(−)) .
On a noté Ki(−) le préfaisceau de groupes abéliens sur Sm/S qui à X ∈ Sm/S as-
socie Ki(X). D’après le théorème iii.3, on a des isomorphismes ϕRΩj(Z × Gr) ∼= Kj(−)
pour tout entier naturel j. Il suffit de remplacer K1 par Ki+1 dans les démonstrations des
théorèmes iii.29 et iii.31 pour obtenir cette version.
4 Structures sur Z × Gr dans H (S)
On fixe un schéma régulier S. D’après les théorèmes iii.29 et iii.31, les opérations sur K0(−) se relèvent en des endomorphismes de Z × Gr (ou des morphismes entre produits
de copies de cet objet) dans H (S), l’unicité du relèvement garantissant que les relations vérifiées dans K0(−) seront encore vérifiées sur ces relèvements canoniques. Dans cette
section, nous allons appliquer ceci pour relever les structures bien connues sur K0(−) sur
Z× Gr dans H (S).