Propriété importante de l'approximation

M,M e (M) 4 M,M e (M) 5 M,M e (M) 6 M,M

Figure IV.12  Niveau spatial : fonctions de base "super-macro" associées à une in-terface ΓEME0

M d'une macro-cellule ΩEM

fonction des orientations respectives de ces interfaces. On peut voir sur la gure

IV.12 l'illustration des fonctions de base super-macro.

Remarque IV.4 Dans le cas dégénéré où une interface macro ΓEME0

M ne contient

qu'une seule interface, on ne prendra que les 4 premières fonctions de base

super-macro, et ce pour assurer l'indépendance des fonctions de base. Dans le cas où ΩEM

ne contient qu'une seule cellule ΩE, chacune de ses interfaces ΓEME0

M, E0

M ∈ V_EM,

contient 4 fonctions de base macro. L'espace super-macro sur ΩEM concorde alors

avec l'espace macro de la cellule ΩE.

3.2.2 Au niveau temporel

L'espace W(0,T ),M,M

h pourra être pris de type Z(0,T )

q , q ∈ NN00

, pour la partition

Th00 mais en pratique, on se contentera de garder la même description que pour les

espaces macro, soit Z(0,T )

q = Z^{(0,T )}p .

3.3 Propriété importante de l'approximation

L'approximation présentée ici ne porte que sur le multiplicateur de Lagrange.

Le multiplicateur fW^M converge vers 0. L'approximer à chaque itération

ne modie donc pas la solution à convergence mais uniquement le taux de convergence de la stratégie de calcul. Cette approximation revient en eet à choisir pour les eorts macro une admissibilité aaiblie à l'étape linéaire. Par

exemple, en prenant W(0,T ),M,M

h,ad = {0}, la stratégie est équivalente à la stratégie

monoéchelle, bien sûr convergente.

Remarque IV.5 Une autre approche plus conventionnelle consiste à approximer le

problème macro II.8 formulé en eort . Dans ce cas, la solution de l'algorithme à

3.4 Exemple : portique hétérogène

On considère le problème 2D du portique hétérogène décrit au paragraphe 6.1

du chapitre II. La gure IV.13 représente les maillages super-macro testés dans cet

exemple. On remarquera que le maillage MM1(a) est relativement grossier tandis que le maillage MM2(b) l'est un peu moins. Le maillage MM3(c) est équivalent au maillage MM2(c) mais aucune approximation n'est réalisée proche des zones de coin et autour des ssures.

(a) (b) (c)

Figure IV.13  Maillages super-macro : MM1(a), MM2(b) et MM3(c)

Le problème macro est approximé par la cinématique de type milieu de Cosserat. Au niveau spatial, on aura donc 6 fonctions de base par interface macro, excepté dans les zones où le maillage super-macro correspond au maillage macro où l'on prendra

uniquement 4 fonctions de base par interface. La gure IV.14 montre l'évolution

de l'erreur relative par rapport à la solution de référence en fonction des itérations de la stratégie de calcul et ce pour les diérents types d'approximation associés aux diérents maillages super-macro. La courbe de référence correspond à une résolution

exacte des problèmes macro. Le tableau IV.3 indique l'erreur pour les diérents

maillages après 10 itérations ainsi que la taille du problème macro correspondant.

Maillage super-macro Taille du problème macro Erreur après 10 itérations

Ref 36720 3.2 × 10−2

MM₁ 2160 7.0 × 10−2

MM₂ 7128 4.2 × 10−2

MM3 12636 3.8 × 10−2

Tableau IV.3  Comparaison des maillages super-macro : taille du problème macro et erreur après 10 itérations de la stratégie de calcul

0 5 10 15 20 25 30 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 Iteration Erreur relative MM1 MM2 MM3 Ref

Figure IV.14  Evolution de l'erreur basée sur les quantités d'interface en fonction des itérations pour les diérents maillages super-macro

On observe de très bonnes propriétés de convergence pour tous les maillages proposés, y compris pour le maillage le plus grossier MM1. On peut également remarquer qu'en eectuant un maillage super-macro judicieux comme le MM3, on obtient quasiment la même courbe de convergence qu'avec le calcul de référence. L'approximation dans les zones à faibles gradients est donc amplement susante. Ici, en divisant la taille du problème macro par 5 à 10, on conserve de bons résultats de convergence. Pour le traitement de structures composites réelles comportant un nombre très important de cellules, la dimension caractéristique des super-cellules est toujours choisie en fonction de la longueur caractéristique de la solution macroscopique. Ainsi, une super-cellule pourra être composée de 100, 1000 voire encore plus de cellules. On peut alors par cette technique espérer diviser la taille du problème macro par 1000, 10000 ou plus.

Bilan

Dans ce chapitre ont été proposées deux méthodes de résolution alternatives du problème macroscopique de la stratégie de calcul multiéchelle qui introduisent une vision à trois échelles de la structure. Elles permettent d'obtenir une réduction du coût de calcul sans pour autant aecter de manière signicative l'ecacité de la stratégie de calcul multiéchelle. La première méthode propose de résoudre le pro-blème macroscopique par une stratégie de calcul multiéchelle calquée sur la stratégie

proposée dans le chapitre II. Elle consiste en fait à résoudre le problème macro par

une méthode de décomposition de domaine mixte multiéchelle non classique en ce sens que les variables associées aux super-cellules ne sont pas des contraintes et des déformations mais des eorts et déplacements macro d'interface. La seconde mé-thode propose d'approximer le problème macro formulé en terme de déplacement en introduisant une cinématique approchée de la troisième échelle. Une propriété inté-ressante de cette approximation est qu'elle ne modie pas la solution de la stratégie de calcul itérative mais uniquement sa vitesse de convergence. Cependant, les résul-tats obtenus lors des tests numériques tendent à prouver que cette approximation relativement grossière aecte peu l'ecacité de la stratégie de calcul.

En réduisant le coût de calcul du problème macro, ces méthodes permettent donc d'envisager le traitement de structures comportant un grand nombre de cellules.

Chapitre V