Méthodes de décomposition de domaine temporel : pa- pa-rallélisme en temps

Le traitement à une échelle ne d'une équation d'évolution est souvent hors de portée d'une méthode incrémentale en temps standard. La méthode de résolution

pararéel [Lions et al., 2001] et la méthode des Time-decomposed pallalel

time-integrators [Farhat et Chandesris, 2002] sont des méthodes alternatives parallèles

en temps permettant d'exploiter la capacité de calcul des ordinateurs à architecture parallèle. Ces méthodes sont basées sur une décomposition du domaine temporel en intervalles grossiers. Une méthode itérative est alors proposée pour garantir à conver-gence la continuité aux "interfaces temporelles". Elle demande à chaque itération la résolution d'un ensemble de problèmes d'évolution indépendants par intervalle grossier (calcul prédicteur) ainsi qu'un problème grossier déni sur tout l'intervalle de temps (calcul correcteur). La résolution des problèmes d'évolution dénis sur les intervalles grossiers peut être parallélisée. Nous précisons ici cette démarche.

Considérons le problème d'évolution linéaire suivant, semi-discrétisé en espace :

d

dt^{u(t) + A(t)u(t) = f(t) , t ∈ (0,T )} (I.12)

u(0) = u₀

où u(t) ∈ Rn. Cette équation peut par exemple provenir de la discrétisation éléments

nis en déplacement du problème de référence pour une loi de comportement visco-élastique du type σ = L˙ε+Kε. Notons également qu'une équation hyperbolique, du second ordre en temps, peut toujours se ramener à une équation du premier ordre en temps de ce type. Soit T2 = {I0 i = (t0 i,t0 i+1)}N0−1 i=0 , avec t0 0 = 0 < t0 1 < ... < t0 N0 = T, une partition

grossière de l'intervalle d'étude. Soit T1 = {I_j = (t_j,t_j+1)}N −1

j=0 , avec t0 = 0 < t₁ <

... < tN = T, une partition ne de l'intervalle d'étude (gure I.10 (b)).

Le problème d'évolution peut être réécrit indépendamment sur chaque intervalle

I0

i, i ∈ {0,...,N0− 1}. On note u(i)(t)la solution sur l'intervalle I0

i et U(i) la condition

initiale sur cet intervalle. Elles doivent vérier :

d dt^u

(i)(t) + A(t)u(i)(t) = f(t) , t ∈ I0

i (I.13) u(i)(t0 i) = U(i) ainsi que U(0) = u₀ et U(i) = u(i−1)(t0 i), ∀i > 1 (I.14)

Les problèmes sur les diérents intervalles de temps sont couplés par les relations

de continuité (I.14). L'idée est de se donner une première estimation des conditions

initiales {U(i)

0 }N0−1

i=0 et de rechercher itérativement une amélioration de ces valeurs.

Soit {U(i)

k }N0−1

i=0 une estimation des conditions initiales à l'itération k. Les problèmes

d'évolution sont indépendants et peuvent donc être traités en parallèle sur la grille

ne T1. Ils conduisent à une estimation {u⁽ⁱ⁾_k }^N_i=0⁰⁻¹ de la solution. Cette solution

est bien sûr discontinue aux pas de temps t0

i, i ∈ {0,...,N0 − 1}. L'idée est donc

d'apporter une correction {c⁽ⁱ⁾k }N0−1

i=0 également discontinue aux pas de temps et telle

que {u(i)

k + c⁽ⁱ⁾_k }N0−1

i=0 soit une bonne approximation de la solution du problème initial

(I.12). La correction doit donc vérier sur chaque intervalle I0

i: d dt^c (i) k (t) + A(t)c⁽ⁱ⁾_k (t) = 0 , t ∈ I0 i (I.15) et c⁽ⁱ⁾_k (t0 i) = c⁽ⁱ⁻¹⁾_k (t0 i) + u⁽ⁱ⁻¹⁾_k (t0 i) − U⁽ⁱ⁾_k ∀i > 1 c⁽⁰⁾_k (t0 0) = 0

La résolution de ce problème sur la grille ne T1 conduirait bien sûr à la solution

du problème initial dès la première itération. Cependant il est aussi coûteux que le problème de départ puisqu'il est déni sur tout l'intervalle de temps. L'idée est ici de rechercher une solution grossière de ce problème en résolvant le problème

d'évolution associé avec un schéma d'intégration classique sur la grille grossière T2.

Les conditions initiales sont alors réévaluées de la manière suivante : U⁽ⁱ⁾_k+1(t0 i) = u⁽ⁱ⁻¹⁾_k (t0 i) + c⁽ⁱ⁻¹⁾_k (t0 i) ∀i > 1 U⁽⁰⁾_k+1(t0 0) = u₀

L'étape de correction est donc un problème grossier relativement peu coûteux amé-liorant l'estimation des conditions initiales sur les intervalles grossiers.

Cette méthode ore donc la possibilité d'exploiter les capacités des calculateurs parallèles et permet ainsi de réduire considérablement le temps de calcul pour la résolution d'une équation d'évolution. Elle constitue cependant une stratégie de calcul multiéchelle en temps qu'on pourrait qualier de "numérique" en ce sens que le problème macroscopique est une simple phase de correction qui ne fait pas ressortir de véritable comportement homogénéisé en temps.

Bilan

Dans ce chapitre, nous avons exposé quelques stratégies de calcul pour l'ana-lyse de structures qui prennent en compte les aspects multiéchelles en espace ou en temps. Au niveau spatial, les stratégies les plus couramment utilisées sont celles issues de la théorie de l'homogénéisation. Il s'avère cependant qu'une analyse perti-nente des phénomènes à l'échelle microscopique nécessite un couplage fort entre les diérentes échelles. Les stratégies d'homogénéisation standards, valables lorsque les

échelles sont bien séparées, ont donc conduit à de nombreuses améliorations telle que l'introduction de milieux continus généralisés à l'échelle macroscopique. Ce couplage fort entre les diérentes échelles est également pris en compte par des approches plus générales telles que les méthodes de superposition ou les méthodes de décomposi-tion de domaine, qui nécessitent cependant d'être adaptées au calcul de structures fortement hétérogènes. Ces adaptations ont en l'occurence conduit à l'élaboration

de la méthode LATIN micro/macro [Ladevèze et Dureisseix, 1999, Ladevèze et

Du-reisseix, 2000, Ladevèze et al., 2001] ; basée sur une méthode de décomposition de domaine mixte multiéchelle, elle inclut une procédure d'homogénéisation automa-tique en espace sans présenter les inconvénients de la théorie de l'homogénéisation classique.

Au niveau temporel, la plupart des stratégies de calcul présentées peuvent être qua-liées de "numériques" en ce sens qu'elles n'introduisent pas de véritable démarche d'homogénéisation temporelle. Des stratégies proposent une telle démarche dans le cas de phénomènes cycliques mais sont cependant restreintes à ce seul champ d'ap-plication.

Dans ce travail, nous proposons une nouvelle stratégie de calcul multiéchelle qui semble être la première tentative d'introduire une démarche d'homogénéisation en temps et en espace. Cette stratégie peut être vue comme une extension de la méthode LATIN micro/macro aux problèmes non-linéaires d'évolution.

Chapitre II