Exemple 3 : application au calcul du portique hétérogène

On considère le problème 2D d'une structure composite contenant des ssures

(Figure V.16), décrit au paragraphe 6.1 du chapitre II.

Cellules Type-II Cellules Type-I Fissures : contact unilatŽral avec frottement (f=0.2) F 1 F 2 (a) 0 2 4 6 8 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Temps (s) Ef fort (MPa) F 1 F 2 I M 1 I M 2 I M 3 (b)

Figure V.16  Description du problème (a) et allure des chargements F1 et F2 (b)

On résoud ici l'étape linéaire de manière incrémentale sur les intervalles macro. L'approximation radiale d'un problème micro consiste donc à rechercher un jeu de fonctions spatiales et temporelles pour chaque intervalle macro. La structure comporte deux familles de cellules. Les fonctions spatiales construites seront donc conservées systématiquement et alimenteront deux bases communes de fonctions qui serviront à la résolution des problèmes micro de chacune des familles de cellules. La résolution d'un problème micro commencera donc systématiquement par une

phase d'initialisation sur ces espaces de fonctions (voir paragraphe 3.4). On choisit

un critère de vérication des directions de recherche ξc

RC = 50%. Si ξRC(es ; s) >

ξc

RC après la phase d'initialisation, on calculera un nouveau jeu de fonctions par

l'algorithme V.5 avec pour paramètres kmax = 2et un critère d'arrêt de 10−2 sur la

convergence du quotient de Rayleigh.

On peut observer sur les gures V.17 et V.18 que très peu de nouveaux jeux de

ItŽration 2 ItŽration 5 ItŽration 10 ItŽration 1 1 0 Intervalle macro 1 Intervalle macro 2 Intervalle macro 3

Nombre de nouveaux jeux de fonctions radiales

Total 5 5 4 7 9 7 2 5 6 5 8 6

Figure V.17  Nombre de nouveaux jeux de fonctions radiales par sous-structure, intervalle macro et itération

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415 0 2 4 6 8 10 ItŽration

Nombre de nouvelles fonctions radiales

I M 1 I 2 M I M 3

Figure V.18  Nombre total de nouveaux jeux de fonctions radiales par intervalle macro et par itération

0 5 10 15 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 Erreur relative ItŽration RŽfŽrence Approximation radiale

Figure V.19  Evolution de l'erreur au cours des itérations avec ou sans ap-proximation radiale des problèmes micro

On peut de plus observer sur la gure V.19 que la convergence de la méthode

LATIN n'est pas aectée par cette approximation. La construction d'un unique nou-veau jeu de fonctions radiales est donc généralement susant. Cela justie l'intérêt de la nouvelle méthode d'approximation qui permet de dénir la "meilleure" ap-proximation. Un autre grand intérêt de cette nouvelle démarche est qu'elle nous ore un critère d'erreur simple basé sur l'erreur en relation de comportement et qui

semble très pertinent au vu des résultats obtenus.

Remarque V.9 On peut cependant remarquer que le nombre de nouveaux jeux de fonctions radiales par itération est à peu près stable. Le critère de vérication des

directions de recherche ξRC(es ; s), certes pertinent, est un critère d'erreur relatif un

peu trop sévère. Un critère d'erreur absolu, consistant à normer l'erreur en relation de comportement par la norme de la solution courante, est en fait souvent susant. Il permet d'obtenir une décroissance du nombre de nouveaux jeux de fonctions par itération et ainsi de réduire considérablement le coût de calcul.

¥ Coût de l'algorithme

Rappelons qu'à chaque itération, deux problèmes micro doivent être résolus par sous-structure et par intervalle macro. Avec une méthode de résolution incrémentale, cela demande la résolution de 468 × 60 × 2 × 3 = 168480 problèmes "spatiaux" par itération. La méthode d'approximation radiale pour ce problème nécessite en moyenne une vingtaine de nouveaux jeux de fonctions par itération. Sachant qu'on

a xé kmax à 2, on a donc résolu en moyenne 20 × 2 = 40 problèmes "spatiaux"

par itération. Le nombre de problèmes spatiaux à résoudre, certes de taille deux fois plus grande qu'un calcul éléments nis classique sur une cellule, est donc réduit d'un facteur 4000.

Remarque V.10 Ce gain pourrait encore être amélioré si on considérait une base de fonctions radiales commune à tous les intervalles macro.

Les assemblages des problèmes spatiaux et temporels peuvent cependant être as-sez coûteux puisqu'ils nécessitent de nombreux calculs d'intégrales en temps et en espace. Pour alléger ces calculs, il peut être souhaitable d'opérer également une dé-composition radiale de bs et des opérateurs H et h. En eet, les variables et opérateurs étant décrits sous forme radiale, les intégrales sur l'espace-temps se découplent en produits d'intégrales sur l'espace et d'intégrales sur le temps. Une méthode simpliée

pour la construction des décompositions radiales peut être trouvée dans [Ladevèze,

1997]. Ces améliorations n'ont pas encore été envisagées.

Bilan

Dans ce chapitre, nous avons mis en évidence les faiblesses de la méthode d'ap-proximation radiale classique d'une équation d'évolution. Des techniques de construc-tion plus sophistiquées de cette approximaconstruc-tion, inspirées des techniques de résoluconstruc-tion des problèmes aux valeurs propres, ont été proposées. Elles ne répondaient cependant toujours pas au véritable problème qui était de trouver la "meilleure" approximation. La reformulation d'un problème d'évolution sous la forme d'un problème de mini-misation nous a enn permis de dénir rigoureusement la meilleure approximation radiale. Cette nouvelle dénition ore à présent un critère d'évaluation a posteriori de la qualité de l'approximation. L'algorithme de recherche de cette approximation semble également avoir gagné en robustesse.

L'application de cette méthode à la stratégie de calcul multiéchelle a nécessité une reformulation mixte des problèmes micro, basée sur un problème de minimisation

de l'erreur en relation de comportement issue des directions de recherche de l'al-gorithme. Cette nouvelle méthode d'approximation des problèmes micro permet d'obtenir un gain considérable en termes de temps de calcul et de coût mémoire sans pour autant aecter l'ecacité et la robustesse de la stratégie. En permettant la construction d'une base réduite commune de fonctions spatiales pertinentes, cette méthode permet d'envisager l'analyse "ne" de structures composites à très grand nombre de cellules.