I - Une correction analytiques des TBs : la méthode « erf ». 1 - La fonction de correction
2 - Tests de sensibilité
a - Sensibilité à l’erreur sur la TB b - Sensibilité à l’erreur sur θ 3 - Discussion
II - En utilisant la proportion de terre dans la tache au sol 1 - La méthode de la proportion
2 - Discussion
III - Analyse des performances
1 - Performance de la méthode de la proportion 2 - Comparaison avec la méthode erf
I - Une correction analytiques des TBs : la méthode « erf ».
Dans ce paragraphe, nous proposons une amélioration de la méthode de Ruf qui en 1999 avait construit un algorithme analytique de correction des TBs près des côtes. La correction était fonction de la différence en TB entre la mer et la terre. La principale limitation de cette méthode est que l’on suppose que la trace du satellite est perpendiculaire à une côte rectiligne. Nous prenons en compte ici l’angle entre la trace et la côte. Nous testons ensuite la sensibilité de cette méthode aux différents paramètres en jeu.
1 - La fonction de correction
Nous souhaitons obtenir une fonction de correction qui représente l’effet de la terre (la contamination) qui se « rajoute » à la TB mesurée quand le satellite se rapproche d’une côte. Cette fonction de décontamination sera à retrancher aux TBs mesurées, on voudrait donc que (TB mesurée – correction) soit en quelque sorte la TB qui aurait été mesurée sur Mer si il n’y avait pas eu de terre dans la tache au sol. De façon analogique, on voudrait que la somme de cette correction et d’une TB océanique donne des TBs typiquement mesurées lors d’un passage mer-terre.
Ruf se plaçait dans un cadre théorique. Il utilisait les TBs avant et après la transition, c’est-à- dire quand la tache au sol du radiomètre est constituée uniquement de mer ou uniquement de terre. Dans la suite, nous les appelons TBmer et TBterre. Il utilisait aussi une table de coefficients calculés pour une trace perpendiculaire à une côte, ce qui donnait la correction suivante, fonction de la fréquence ν et de la distance à la côte d :
)
,
(
)]
(
)
(
[
)
,
(d
ν
TBterreν
TBmer
ν
table
d
ν
corr
=
−
×
.Nous souhaitons modifier cette fonction de correction pour qu’elle prenne en compte l’angle entre la trace et la côte. Nous avons conservé la forme générale linéaire de la fonction : la différence des TBs multipliée par un terme qui passe progressivement de 0 à 1.
Après divers essais, nous avons trouvé que la fonction erf représente bien la forme de la courbe des TBs mesurées lors d’un passage mer-terre (voir la figure 14 de la partie 1, §III.3, sur les TBs mesurée par le TMR pendant une transition). C’est la primitive d’une fonction gaussienne, fonction que nous avons utilisée auparavant pour simuler le lobe d’antenne. Elle est plus simple à utiliser qu’une table de coefficients.
La fonction prend toujours en argument d, la distance à la côte. Nous avons introduit le paramètre α qui conditionne la pente de la courbe à l’origine (l’origine correspond à l’endroit où la distance à la côte est nul, soit d=0). Le paramètre α dépend uniquement de la fréquence ν et de l’angle θ entre la trace et la côte.
+
×
−
=
)
,
(
1
2
)
(
)
(
)
,
(
θ
ν
α
ν
ν
ν
TBterre
TBmer
erf
d
d
corr
∫
−=
x tdt
e
x
erf
0 ²)
(
-1 < erf (x) < 1La figure 31-a montre l’espace de travail : nous simulons une scène avec, à gauche, la mer et trois TBs-mer constantes, à droite la terre avec trois TBs-terre constantes. Le satellite passe de
la mer à la terre en survolant la côte avec un angle θ. Le diamètre de la tache au sol à 3 dB est noté D. Sur la figure 31-b sont représentées des TBs simulées avec cette fonction de correction ajoutée à une TBmer arbitraire, pour différents angles d’attaque. On voit que plus la trace est perpendiculaire à la côte, plus la contamination est courte.
Figure 31 : (a) schéma de la contamination de la mesure par la terre à l’approche d’une côte ; (b) simulation des TBs au passage de la côte, avec une fonction erf et différents angles d’attaque (TBmer +
correction).
Si l’on applique la fonction de correction à des TBs simulées comme celles de la fig. 31, et que l’on calcule ensuite la dh à partir des TBs corrigées, cette dh est évidemment presque parfaite, c’est-à-dire toujours égale à la dh de référence, calculée à partir des TBs-mer de la
scène initiale. Ceci simplement parce qu’on a supposé connaître parfaitement la TBmer, la TBterre, et l’angle d’attaque θ : les TBs sont simulées en utilisant la fonction de correction ! On obtient donc une dh constante (à part quelques imprécisions numériques), jusqu’au trait de côte. La figure 32 montre la différence entre la dh de référence et la dh obtenue à partir des TBs simulées (en rouge), ou simulées puis corrigées (en vert).
Figure 32 : différence entre la dh de référence et la dh avant (rouge) et après correction des TBs (vert), cas idéal.
2 - Tests de sensibilité
Pour tester la méthode dans des situations plus réalistes, nous introduisons différents types d’erreur sur les paramètres. Nous simulons les erreurs d’évaluation que nous aurons dans un cadre opérationnel : erreurs sur la TB de la terre et de la mer, et sur l’angle d’attaque réel. Pour cela, nous conservons la correction telle qu’elle a été calculée ci-dessus, mais nous introduisons du bruit ou des biais dans la simulation des mesures ou dans l’angle d’attaque.
a - Sensibilité à l’erreur sur la TB
Nous introduisons des erreurs sur la TBterre : nous aurions pu le faire sur la TBmer, mais les TBs sur terre sont plus variables et de toute façon le problème, comme la fonction de correction, est totalement symétrique. Après la correction (volontairement mauvaise), nous observons l’erreur sur la dh, uniquement dans la partie mer de la trace (le but étant d’avoir une dh décontaminée jusqu’à la côte).
Si on introduit un biais strictement égal à chacune des trois fréquences, on peut accepter un biais jusqu’à ±20 K avant d’atteindre une erreur de 1 cm sur la dh. Ceci peut s’expliquer par un effet de compensation entre les trois canaux : dans la fonction log-linéaire qui calcule la dh (voir dans la partie 2, §II.3, les coefficients de l’algorithme de restitution), l’alternance des signes + et – peut créer des compensation entre les différents termes. Par contre, si on
introduit un biais sur un seul des trois canaux, en supposant que les deux autres sont parfaitement connus, l’erreur admissible est de ±3 K. En conclusion, une erreur relative de 3 K sur la TBterre est aussi grave qu’un biais systématique de 20 K.
Pour généraliser l’analyse, nous introduisons une erreur aléatoire (gaussienne centrée) sur la TBterre, indépendamment sur chaque canal (figure 33), sur 1000 échantillons. Les résultats sont présentés dans le tableau ci-dessous. L’écart type maximum admissible pour atteindre 1 cm d’erreur après correction est de 2.7 K.
Figure 33 : TBs simulées bruitées et correction inchangée.
Ecart-type de TBterre Erreur moyenne sur la dh après correction, sur mer
20 Kelvin 6.5 cm
10 Kelvin 3.5 cm
5 Kelvin 1.6 cm
2.7 Kelvin 1 cm
2.5 Kelvin 0.8 cm
b - Sensibilité à l’erreur sur θ
Nous introduisons maintenant une erreur sur l’angle d’attaque. Une même erreur sur θ aura d’autant plus d’impact sur la dh que θ est faible. Ainsi, pour θ=60°, on peut admettre une erreur d’estimation de 40° (avant d’atteindre 1 cm d’erreur sur la dh après correction). Pour θ=20° l’erreur admise atteint à peine 7° (figure 34).
Figure 34 : erreur admissible sur l’estimation de θ en fonction de θ.
3 - Discussion
Nous avons estimé que le long de la côte nord-ouest de la Méditerranée, l’écart-type de TBterre est de 2.5 K pour un segment de côte de 50 km de long. Or 50 km est la longueur de la côte contaminante pour un angle d’attaque de 25° (à la fréquence de 18 GHz : aux autres fréquence cet angle est inférieur, mais la contamination d’un seul des canaux suffit à contaminer la mesure). Prenons donc l’exemple d’une trace coupant la côte avec un angle de 25°. Si on suppose que θ est parfaitement estimé, on fera une erreur sur la dh de 0.8 cm. Il est peu probable que θ soit parfaitement estimé. Il suffit de se tromper de 10° pour atteindre 1cm d’erreur sur la dh (en connaissant parfaitement TBterre). Si on ajoute à cela l’erreur due à une mauvaise estimation de TBmer/TBterre, d’environ 1cm, on arrive à environ 1.6 cm d’erreur au total (racine de la somme des carrés des erreurs). On voit donc que le seuil de 1 cm d’erreur sera souvent très vite dépassé, compte tenu en plus de la forme très découpée des côtes.
En conclusion, il apparaît que cette méthode est bien trop sensible à la géométrie. Elle ne permet pas de traiter des cas de configuration géographique complexe, comme les îles (θ est difficile à estimer et il est impossible de connaître TBterre) et les traces tangentes (quel est θ dans ce cas ?) ou mêmes les faibles angles. La forme de la côte n’est pas prise en compte. Par conséquent, cet algorithme ne semble pas adapté à un traitement opérationnel et global.
II - En utilisant la proportion de terre dans la tache au sol
La seconde approche est similaire à celle de Bennartz (1999) qui résolvait le problème des mesures mixtes terre/eau dans les données SSM/I par le calcul de la part de terre dans le pixel, à partir d’un masque terre/mer haute résolution. Nous avons adapté cette méthode à notre problème, pour corriger les températures de brillance de la contamination par la terre. Dans ce paragraphe, nous décrivons le développement de la méthode, que nous désignons par la « méthode de la proportion ». Ensuite, nous évaluons ses performances, comparées d’abord à la méthode de propagation de la dernière dh non contaminée (la « méthode de propagation »), puis à la méthode erf.
1 - La méthode de la proportion
Cette fois, la fonction de correction utilise p, la proportion gaussienne de terre dans la tache au sol, qui vaut zéro sur mer et loin des côtes, un sur terre et loin des côtes. La proportion p n’est pas un pourcentage : c’est la convolution par une gaussienne d’un masque terre/mer à la résolution de 0.01°. La largeur de la gaussienne est celle du lobe d’antenne réel à la fréquence voulue (on suppose un lobe gaussien, voir la figure 22 dans la partie 2, §II.2.c) : p dépend donc de la fréquence. Ainsi, les caractéristiques de l’antenne du radiomètre sont prises en compte. La figure 35 montre p le long de la trace habituelle, pour les trois fréquences du TMR. A plus haute fréquence, la tache au sol est plus petite, le premier pic (passage au-dessus d’Ibiza) est donc plus étroit, tandis que le second pic (Cap de Creus : le centre de la tache au sol ne passe pas sur terre) est plus faible. Le fait que la convolution se fasse par une gaussienne et non par une fonction constante, fera par exemple qu’une île de même surface aura plus d’effet si elle se situe au centre de la tache au sol que vers le bord.
Comme la méthode précédente, la fonction utilise la différence entre les TBs avant et après transition. Nous avons aussi conservé la linéarité entre la correction et le terme compris entre 0 et 1 (Bennartz également fait l’hypothèse de la linéarité). Cependant nous disposons cette fois d’un critère objectif et systématique pour choisir TBterre et TBmer. Pour une transition mer-terre complète, TBmer est la dernière TB non contaminée, c’est-à-dire la dernière TB pour laquelle p = 0. TBterre est la première TB rencontrée telle que p = 1. Pour une transition incomplète, nous prenons la TB la plus proche telle que p = 0 ou 1. Voici donc la fonction de correction :
[
( ) ( )]
( ) ) , (pν
TBterreν
TBmerν
pν
corr = − ×Pour évaluer cette fonction, nous simulons des TBs contaminées en ajoutant la contribution de la terre à la TBmer. Un exemple de simulation comparé aux mesures du TMR est montré sur la figure 36 : la simulation de la contamination semble satisfaisante, même dans les cas complexes de l’île et de la trace tangente.
Figure 36 : TBs simulées (en K) avec la fonction de correction, comparées aux mesures du TMR (à 18 GHz), en fonction de la latitude (degrés).
Pour simuler les TBs sur un grand nombre de traces, nous interpolons les valeurs du simulateur (voir la figure 24 de la partie 2, §II.2.c) le long de traces TOPEX réelles. Pour augmenter la résolution spatiale (la distance inter-trace est d’environ 230 km à l’équateur) et le nombre de cas, nous avons simplement ajouté les traces translatées : les traces ainsi créées sont présentées dans la figure 37. Enfin, le tableau ci-dessous donne la différence moyenne et l’écart-type entre les TBs mesurées et simulées.
Figure 37 : traces créées à partir des TBs du simulateur (TBs 21 GHz (K), 16 mars).
Fréquence Erreur moyenne Ecart-type 16 mars 18 GHz 1.38 K 4.08 K 21 GHz 1.15 K 4.62 K 37 GHz 3.63 K 6.30 K 15 avril 18 GHz 1.62 K 3.82 K 21 GHz 1.40 K 4.66 K 37 GHz 3.41 K 5.80 K
Erreur moyenne et écart-type entre les TBs mesurées et simulées avec la méthode de la proportion (TBmer + correction)
2 - Discussion
Pour construire cette fonction de correction, nous avons supposé une dépendance linéaire entre la proportion de terre et les TBs observées. Cette hypothèse n’est pas toujours valide, particulièrement à 37 GHz, à cause de la non linéarité du transfert radiatif atmosphérique pour les canaux sensibles à l’atmosphère. Sur la figure 38, nous montrons un an de données du TMR pour la trace 187 : les TBs mesurées sont tracées en fonction de p, la proportion gaussienne de terre dans la tache au sol. Pour information, les quelques points de fortes TBs à p = 0 (2.4 % des points à p = 0) correspondent à deux jours particuliers (sur 31), dans la mer d’Alboran. Les variations par rapport à la moyenne linéaire viennent des variations
d’humidité atmosphérique au-dessus de la surface (c’est le signal que nous voulons extraire) mais aussi des variations d’émissivité sur mer et sur terre le long de la trace, qui sont négligées dans cette méthode.
Figure 38 : TBs du TMR en fonction de la proportion gaussienne de terre dans la tache au sol, pour un an de mesures le long de la trace 187.
D’autre part, cette méthode est assez sensible au choix de TBmer et TBterre, surtout quand le satellite survole une île. Si le point le plus proche pour lequel p = 1 peut être trouvé à moins de 200 km (sachant les dimensions caractéristiques des structures atmosphériques), nous supposons que la TBterre correspondante est similaire.
III - Analyse des performances
Dans ce paragraphe, nous analysons les performances de la méthode de la proportion, en la comparant à la méthode de propagation puis à la méthode erf. Pour cela, nous utilisons les TBs obtenues avec le simulateur de radiomètre dans la zone ALADIN. Cette zone présente un grand nombre de cas de contamination de toutes sortes, ce qui nous permet d’évaluer statistiquement les performances des méthodes.
1 - Performance de la méthode de la proportion
Nous interpolons les TBs du simulateur sur les traces de la figure 37 (TOPEX + translatées). Ces TBs présentent les caractéristiques de TBs mesurées : elles sont « contaminées » dés qu’il y a de la terre dans la tache au sol. A partir de ces TBs, nous calculons d’abord, au moyen de l’algorithme de restitution présenté plus haut (partie II, §II.3) et sans aucune correction, une « dh contaminée ». Avec la méthode de propagation, nous corrigeons la dh contaminée pour obtenir une première dh : la « dh propagée ». Ensuite, avec la méthode de la proportion, nous corrigeons les TBs de la contamination par la terre, pour obtenir une deuxième dh, la « dh corrigée ». Toutes ces dh sont comparées à notre référence, la dh ALADIN, pour estimer l’erreur caractéristique de chaque méthode.
Afin de caractériser l’erreur dans la bande côtière entre les différentes dh et la dh ALADIN, nous calculons l’erreur rms, pour chaque transition rencontrée. Les transitions, repérables automatiquement quand p est entre 0 et 1 (non compris), sont au nombre de 262 : transitions terre-mer, mer-terre, survol d’une île, passage à proximité d’une côte. Ensuite, nous calculons la moyenne quadratique de toutes ce erreurs rms. De cette manière, les cas de faibles angles d’attaque ne sont pas favorisés, chaque transition a la même influence sur le résultat final. En effet, quand l’angle est faible, la transition est plus longue, contient plus de points. En calculant une rms globale, on donnerait plus de poids à ces transitions.
Les résultats sont résumés dans le tableau ci-dessous : l’erreur près des côtes est réduite de moitié en propageant la dernière dh non contaminée, elle est réduite d’un facteur 4 ou 5 avec la méthode de la proportion.
dh contaminée dh propagée dh corrigée 16 mars
12.4 cm 5.2 cm 2.3 cm
15 avril
10.9 cm 4.6 cm 2.6 cm
Erreurs rms, dans la bande côtière, entre la dh contaminée / la dh propagée / la dh corrigée, et la dh ALADIN
2 - Comparaison avec la méthode erf
Nous ne pouvons pas facilement appliquer la méthode erf sur les traces utilisées précédemment. Cette méthode nécessite de connaître l’angle entre la trace et la côte, ce qui est en général délicat vu la forme découpée des côtes, et impossible dans certains cas d’îles ou de traces tangentes. Nous avons plutôt choisi de comparer la méthode erf à la méthode de la
proportion sur des traces parfaitement connues : pour cela nous les avons créées. Nous avons choisi une côte presque rectiligne sur la côte nord-africaine, puis nous avons construit 5 traces qui coupent cette côte avec 5 angles différents : 10°, 30°, 50°, 70° et 90° (figure 39). Les mesures sont interpolées le long de ces traces, tous les 6.2 km comme c’est le cas des mesures TOPEX à ces latitudes.
Figure 39 : traces créées, coupant la côte nord-africaine avec 5 angles connus.
Nous appliquons les deux méthodes sur ces traces. Les résultats sont résumés dans le tableau ci-dessous : les erreurs rms dans la bande côtière en comparaison avec la dh ALADIN. L’erreur est bien plus réduite avec la méthode de la proportion qu’avec la méthode erf.
dh contaminée dh corrigée (erf) dh corrigée (proportion) 16 mars
9.3 cm 2.7 cm 1.2 cm
15 avril
8.0 cm 2.4 cm 0.8 cm
Erreurs rms, dans la bande côtière, entre la dh contaminée / la dh corrigée par la méthode erf / la dh corrigée par la méthode de la proportion, et la dh ALADIN, pour les traces synthétiques. Nous montrons dans la figure 40 un exemple des quatre dh le long d’une trace synthétique. Notons que si les résultats présentés pour la méthode de la proportion sont réalistes, ceux de la méthode erf donnent plutôt le minorant de l’erreur attendue : la côte est assez rectiligne et nous avons supposé l’angle parfaitement connu.
Figure 40 : comparaison entre les dh obtenues par différentes méthodes (en cm), le long de la trace créée avec un angle de 30°, 15 avril : la dh de référence (Aladin) en rouge, la dh contaminée en vert, la dh corrigée par la méthode erf en noir, par la méthode de la proportion en bleu. Sont ajoutés à ce graphique
le masque terre/mer et la proportion gaussienne de terre dans le pixel, qui passent de 0 à 1.
Nous voyons donc que même dans une configuration simple, la méthode erf donne de moins bons résultats. Elle introduit des irrégularités qui ne semblent pas correspondre à la réalité. La courbe bleue en revanche présente une dynamique à l’approche de la côte plus proche de celle de la référence.