Propagation de fissures : Etude des
déplacements hors-plan.
Une fois qu'on a goûté au futur on ne peut pas revenir en arrière
3 Propagation de fissures : Etude des
déplacements hors-plan.
3.1 Introduction.
Au sein de l'équipe, le comportement mécanique de plaques fissurées fragiles ou ductiles lors d'essais statiques a largement été étudiée par des mesures de champs (interférométrie de Michelson, photoélasticimétrie, caustiques, granularité "speckle"). Nous souhaitons étendre nos études aux fissures en dynamique. Une première étude réalisée par Sohier [50] en 1993 portait sur l'étude des Facteurs d'Intensité des Contraintes en dynamique (d-FIC), avant et pendant le branchement des fissures sur des matériaux fragiles (ex : polymères, verre) en utilisant la méthode des caustiques. Dans cette partie, nous nous proposons d'étudier le comportement tridimensionnel en pointe de fissure lors de propagation de fissure sur des plaques élastiques fragiles soumises à un chargement extérieur constant. Des mesures expérimentales de déplacement hors-plan ont déjà été réalisées sur des fissures stationnaires car l'expression de la théorie bidimensionnelle fait état d'une solution singulière inadaptée au voisinage de la pointe de fissure, et ainsi les écarts entre ces deux solutions sont directement l'étendue de la zone 3D. Il est vraisemblable qu'une même constatation soit faite lors de propagation de fissures Le caractère dynamique des essais fait apparaître des effets transitoires jouant un rôle non négligeable et s'ajoutant aux effets tridimensionnels toujours présents. Il est donc nécessaire de mesurer des champs cinématiques nous permettant de comparer ces résultats expérimentaux à la théorie bidimensionnelle et ainsi définir la zone de décrochement appelée "zone des effets tridimensionnels et transitoires". Actuellement des travaux numériques, basés sur la mécanique de la rupture dynamique, émergent dont les plus connus font appel à la Méthode des Eléments Finis étendues (en anglais : XFEM pour eXtented Finite Element Method) [89]. Ces développements reposent actuellement essentiellement sur une approche bidimensionnelle pour caractériser une propagation de fissure. Les effets tridimensionnels et transitoires présents ne peuvent être mis en avant. Ce chapitre va s'articuler suivant différents aspects permettant de fournir un état de l'art des avancées numériques réalisées ces dernières années et des méthodes optiques utilisées en mécanique de la rupture élastique dynamique. Nous nous limiterons aux études en dynamique couplant méthodes optiques et plaques présentant une propagation de fissure. Puis, nous
proches de la pointe de fissure lors de sa propagation. Les résultats des essais expérimentaux seront présentés pour différentes vitesses de propagation et une formulation basée sur trois constantes sera développée. Une analyse des résultats en fonction de la vitesse de propagation (V) et du chargement appliqué () sera entreprise permettant d'évaluer l'évolution de la zone tridimensionnelle. Une étude de sensibilité de la formulation empirique des déplacements hors-plan sera réalisée permettant de valider les hypothèses expérimentales imposées pour obtenir les champs de déplacements hors-plan expérimentaux. Enfin, une analyse post- mortem de la surface créée lors de la propagation de fissure sera faite pour corréler les résultats obtenus à partir des champs cinématiques à ceux fournis par cette topographie.
3.2 Etude de l'art en mécanique de la rupture dynamique.
Dans ce paragraphe, nous relatons les travaux permettant d'étudier les phénomènes dynamiques lors de propagation de fissure. Pour ce travail, nous limiterons notre présentation aux études de propagation de fissure sur différents matériaux utilisant des méthodes optiques ou des simulations numériques. Nous ne ferons pas état des travaux s'intéressant aux propagations de fissure sous sollicitations cycliques (fatigue). Les méthodes optiques déjà présentées antérieurement, comme les caustiques, les méthodes interférentielles ou la photoélasticimétrie ont été largement utilisées pour ce type d'investigation en dynamique. Les simulations numériques en mécanique de la rupture dynamique sont assez récentes. Les premières études permettent de propager des fissures, de définir des critères de propagation ou de simuler la direction et la vitesse de la fissure. Une comparaison entre les directions de propagation obtenues numériquement et expérimentalement a permis aux auteurs d'extraire des grandeurs mécaniques des modèles numériques , comme la contrainte équivalente de Von Mises.
3.2.1 Approches numériques.
Le couplage mécanique de la rupture dynamique et simulation numérique date de la fin des années 1990. Les problèmes rencontrés sont difficiles à appréhender par des simulations de fissures stationnaires car la géométrie évolue perpétuellement au cours du temps. Il faut nécessairement vérifier les problèmes théoriques fondamentaux (vérification des équations de conservation de l'énergie, de quantité de mouvement et de masse). Dans certains cas, l'historique (problèmes transitoires, existences de phénomènes irréversibles …) est nécessaire pour procéder à des opérations de projection des champs d'une discrétisation à l'autre. Autrement dit lors de propagation de fissure de type fragile (i.e. avec une plasticité confinée
très proche de la pointe de fissure), les résultats de champs cinématiques sont différents pour une fissure de longueur (a(t)) par rapport à une fissure stationnaire de même longueur, en raison principalement des effets transitoires. C'est pour ces raisons que des développements numériques ont été entrepris par la Méthode des Eléments Finis (MEF). Nous nous limiterons à la méthode des éléments finis étendus (X-FEM) [89] [90], actuellement l'une des plus utilisées. Il s'agit de l'extension de la MEF qui utilise la méthode de partition de l'unité des fonctions de forme éléments finis dans le but d'enrichir l'approximation. Ainsi, les discontinuités (fissure) ne sont pas maillées explicitement mais sont prises en compte grâce à des fonctions d'interpolation étendues, ainsi le maillage n'a plus qu'à se conformer aux surfaces physiques de discontinuités. Les développements entrepris dans ces différentes approches concernent essentiellement un milieu essentiellement bidimensionnel donc négligeant les effets tridimensionnels. Actuellement des comparaisons entre les mesures de champ de déplacements plans et des champs numériques permettent de calculer les FIC au cours d'un essai de fissuration. Les premiers travaux de X-FEM en 3D apparaissent depuis peu [91], autorisent des comparaisons entre les données expérimentales et les simulations. A notre connaissance, l'un des seuls logiciels commerciaux permettant de traiter du problème de propagation de fissure en 3D en utilisant la X-FEM est le Code ASTER. Nous avons donc entrepris de réaliser, par ce code, la modélisation d'une plaque élastique soumise à un chargement extérieur pour simuler une propagation de fissure.
3.2.1.1 Propagation de fissure avec le logiciel Code ASTER.
Pour modéliser la propagation de fissure avec le logiciel commercial Code ASTER [92], il faut d'abord modéliser la plaque entière avec le logiciel GMSH, puis réaliser le programme sous EFICAS. Pour cela, nous définissons au préalable la fissure "virtuelle" avec la procédure DEFI_FISS_XFEM. Puis nous modifions le modèle en introduisant des éléments finis spécifiques pouvant être traversés par une fissure, grâce à la procédure MODI_MODELE_XFEM. L'ensemble des procédures précédentes nécessite de calculer l'évolution mécanique en utilisant la fonction STAT_NON_LINE. Celle-ci calcule l'évolution mécanique d'une structure en considérant une situation non linéaire. La non-linéarité est liée soit au comportement du matériau (par exemple : plastique), soit à la géométrie (par exemple : grands déplacements). Dans le code de calcul, la procédure PROPA_XFEM permet de propager une fissure à partir de la loi de Paris. Cette dernière a été développée pour une rupture par fatigue. Au cours de la phase de propagation, la longueur de la fissure (a) croît au
2
2 2 1 2 2 2 2 2 1 max max 3/2 o 1/2 max max 3/2 o 1/2 Id β β β 1 β 1 β 4β . δ D c hλ 3z 2π 2 ) V ( f. δ D c hλ 3z 2π 2 ) ( K t t t m I K C dN d ale nombre de cycles) est fonction d'une part, de l'amplitude de la sollicitation = max - min
qui est constante pendant l'essai et d'autre part, de la taille de fissure (a). Il en résulte une augmentation de cette vitesse, au cours de l'essai, puisque la fissure a une taille croissante au cours du temps. Paris et Erdogan [93] ont montré que cette vitesse est fonction de la variation du FIC KI = (a)1/2 et l'expression suivante est communément appelée Loi de Paris.
(3.1)
Pour les polymères, la constante (m) est de l'ordre de 4 [94], tandis que (C) est une caractéristique qui évolue avec la température. Si cette relation permet de présenter simplement des résultats, elle ne précise pas l'influence des paramètres intrinsèques ou extrinsèques sur la propagation. Elle ne décrit pas non plus le comportement de la fissure au moment de la rupture ou au seuil de non propagation.
3.2.1.2 Conclusion.
La loi de Paris ne représente pas le problème expérimental exposé ultérieurement et la procédure PROPA_XFEM est actuellement en cours de développement. Des problèmes de convergences sont apparus en pointe de fissure ne permettant pas actuellement l'étude de propagation de fissure en modélisation 3D.
3.2.2 Approches expérimentales.
3.2.2.1 Méthode des caustiques.
Les premiers travaux utilisant la méthode des caustiques en mécanique de la rupture dynamique datent de 1978 [95]. Comme pour les fissures stationnaires, des auteurs [96] [97] ont étudié les caustiques pour exprimer le facteur d'intensité des contraintes dynamiques lors de propagation de fissure (3.2).
(3.2)
Le terme f(V) est identique à l'expression (1.25) (§ 1.4.2.1, page 33) pour tenir compte du caractère dynamique des essais. Le terme max est un paramètre à minimiser permettant de
s'approcher au mieux de la caustique expérimentale. L'expression (3.2) permet de déterminer le facteur d'intensité des contraintes dynamique. Les données expérimentales du FIC sont comparées aux résultats extraits de la théorie bidimensionnelle, modifiée pour tenir compte de la vitesse de propagation de fissure (V) [98] [51]. Les auteurs concluent que KI(t) ne dépend
pas seulement de (V) mais aussi de l'accélération (a). Lorsque la fissure accélère, la valeur de KI(t) est plus faible que lorsque la fissure décélère pour une même vitesse (V).
Une étude au sein de l'équipe photomécanique et Rhéologie de Poitiers a été réalisée par Sohier [50] concernant l'étude des d-FIC et de la vitesse de propagation de la fissure à l'instant de branchement sur différents matériaux fragiles et pour différentes vitesses de propagation (V) allant jusqu'à V1550 m.s-1. Mais à ces vitesses, la caustique générée est floue donc
difficilement analysable.
3.2.2.2 La méthode CGS (Coherent Gradient Sensing).
La méthode CGS a été très largement utilisée pour des ruptures dynamiques et pour différents matériaux, nous pouvons citer les travaux de Pandolfi et al sur l'acier [39], ceux de Lambros et al sur les matériaux composites [38] ou sur les bi-matériaux [99], ou encore ceux de Kitey et al sur les résines d'époxy avec inclusion d'un cylindre de verre [40]. Ces études ont pu être réalisées avec des caméras ultra-rapides (2.105 à 2.106 im.s-1). Une étude a été effectuée sur une plaque de PMMA par Tippur et al [100] et en analysant les courbes fournies par les auteurs, nous constatons que la zone de décrochement, entre la théorie bidimensionnelle et les données expérimentales, est proche de R = r/h 0,8. Les auteurs ont ainsi mis en évidence le caractère transitoire créé lors de la propagation d'une fissure. Pour plus de simplicité et pour ne pas faire de distinction entre les études faites en statique et en dynamique, nous appelons la zone des écarts entre la solution bidimensionnelle et les données expérimentales : zone tridimensionnelle ou zone 3D bien que des effets transitoires soient aussi présents en dynamique. Nous remarquons que cette zone 3D évolue lors d'un essai avec une propagation de fissure par rapport au cas statique (R 0,25 ou R 0,5 suivant les auteurs).
3.2.2.3 Interférométrie de Michelson.
mis en évidence que la surface libre de l'éprouvette pas parfaitement plane, entachait de façon significative la mesure du relief. Pour prendre en compte cette réalité, les auteurs ont choisi de soustraire le relief correspondant au premier interférogramme (relief initial) aux reliefs. Ces reliefs nécessitent quelques précisions concernant leurs particularités.
3.2.2.3.1 Particularités du premier interférogramme.
Cet interférogramme doit seulement représenter la non-planéité de la surface de l'éprouvette et non le comportement mécanique d'une plaque fissurée. En aucun cas, la fissure ne doit être présente dans le champ optique. Le caractère dynamique de l'expérience ajouté à la présence d'une zone 3D en amont nécessite qu'il soit enregistré quelques instants avant son passage.
3.2.2.3.2 Particularités des autres interférogrammes.
Concernant les autres interférogrammes, la présence de la fissure dans le champ optique est obligatoire, ainsi le phénomène dynamique et la non-planéité de la plaque sont enregistrés. Si le système d'acquisition des images utilise plusieurs caméras, comme la caméra rapide de type Cranz-Schardin (plusieurs systèmes d'acquisitions indépendants les uns des autres) (figure 3.1), une zone commune avec le premier interférogramme est indispensable pour pouvoir soustraire la non-planéité de la plaque et ainsi obtenir la variation de relief engendrée par le passage de la fissure.
3.2.2.4 Moiré interférométrique.
Le moiré interférométrique permet d'avoir accès à un seul déplacement lors d'un essai. Arakawa et al [35] ont réalisé deux essais pour obtenir les champs de déplacements (ux et uy) dans une zone entourant la pointe de fissure sur un alliage d'aluminium et sur un polymère. A partir des résultats de champs de déplacements, les auteurs ont pu calculer les d-FIC en fonction du contour d'intégration de l'intégrale J.
3.2.2.5 Corrélation d'images numériques.
Cette méthode ne nécessite la prise que de deux images correspondant à un état non chargé et chargé. Son utilisation lors de phénomène dynamique est envisageable. En analysant les résultats publiés par Kirugulige et al [58] couplant cette technique et l'étude de fissuration dynamique, les auteurs ont pu extraire les facteurs d'intensité des contraintes à partir des champs de déplacements suivant la direction de chargement (mode I). Les auteurs, comme Zhou et al [101], font mention d'une vitesse de propagation de la fissure constante au cours du temps.
3.2.3 Conclusion.
Pour étudier et comparer les phénomènes tridimensionnels et transitoires présents lors de propagation de fissure dans la zone singulière, les travaux précédents ont montré la nécessité de corriger les expressions théoriques 2D statiques pour tenir compte des phénomènes dynamiques. De plus, le caractère transitoire a été présenté et a permis de montrer que la zone de décrochement entre les données expérimentales et la théorie bidimensionnelle était plus grande (R 0,8) que pour des essais statiques. Les mesures de déplacement hors-plan ont mis en évidence que la non-planéité de la surface libre était perturbante pour ces mesures nécessitant de soustraire le relief du 1er interférogramme aux autres reliefs.
3.3 Méthode optique choisie pour l'étude lors de propagation de fissure.
Ce choix est conforté par la théorie bidimensionnelle qui fait état d'un champ de déplacement hors-plan asymptotique (équation (1.19)) en pointe de fissure. Les écarts entre les données expérimentales et l'expression théorique seront plus facilement visualisables et analysables. Ces écarts représentent directement les effets tridimensionnels entourant la pointe de fissure couplés à des effets transitoires liés à la vitesse de propagation de la fissure (V). La propagation de la fissure (V) impose de mettre en œuvre une technique d'extraction de phase à
x,y A
x,y.cos
x,y B x,yI
, A
, .cos
, B, fd'être utilisées puisqu'elles nécessitent la prise de trois images au minimum du même instant (t). Au sein du laboratoire, l'extraction de phase à partir d'une seule image de franges est possible depuis les travaux menés par Eric Robin [25]. Cette technique, (MPC pour Modulated Phase Correlation) [26] dont le premier principe était de corréler des franges simulées et des franges réelles, sera présentée dans le paragraphe suivant. La MPC a été depuis étendue à l'étude de grilles réelles. C'est cette technique et son extension qui ont précédemment été utilisées dans ce mémoire pour l'exploitation des mesures par grilles en statique. L'interférométrie de Michelson est la méthode optique qui permet de réaliser des mesures de relief à partir de franges. Pour enregistrer plusieurs images lors d'une propagation, un matériel spécifique a été développé [102], avec la même architecture que celle de la Cranz- Schardin, et permet des acquisitions d'images avec une fréquence élevée et un temps d'intégration faible.
3.3.1 La méthode MPC ("Modulated Phase Correlation").
Cette méthode a été développée pour l'étude de réseaux de franges expérimentaux. Le principe de cette méthode consiste à minimiser une fonction "coût". Cette dernière est composée d'un modèle nous permettant d'approcher le réseau de franges. En photomécanique, une image de franges est généralement représentée par l'expression mathématique suivante :
(3.3)
où I(x,y), A(x,y), B(x,y) et (x,y) désignent respectivement au point de coordonnée (x,y), la valeur de l'intensité lumineuse du pixel en niveau de gris, l'amplitude de modulation, le fond continu et la fonction de phase.
Les fonctions A(x,y), B(x,y) et (x,y) sont difficilement exprimables de façon analytique à partir de réseaux de franges expérimentales, c'est pour cela que l'étude est réalisée sur une fenêtre d'étude. Une fonction de voisinage noté f(,) est alors utilisée :
(3.4)
L'expression (3.3) devient donc la fonction (3.4) des variables et définies dans un repère de la fenêtre et ayant comme origine son centre (le point (x,y)).
, A.cos
, B f
x-
cosα
y-
sinα
Ø p 2 ,
x lf f l x f h y f h y 2 , f - , I , , , , C A B p 6,5 mm l l y Zone d'étude xfigure 3.2 : Définition de la zone d'étude pour une image de franges.
La fenêtre d'étude "scanne" l'ensemble du réseau de franges réelles dans le but de traiter entièrement l'image expérimentale. Des hypothèses sont faites sur la fenêtre d'étude, à savoir les fonctions A(,), B(,) constantes et le réseau de franges composé de franges parallèles et orientables. Finalement le modèle mathématique de la MPC pour des franges parallèles s'exprime par la relation suivante :
(3.5)
avec :
(3.6)
où (p) est le pas du réseau de franges, Ø le déphasage entre le motif et le point de coordonnée (x,y) et l'inclinaison des franges.
La détermination des paramètres A, B, p, et consiste à minimiser la fonction de corrélation C utilisée pour des images numérisées.
Le processus de démodulation se divise en deux parties : tout d'abord la recherche des différentes variables (A, B, p, , ) minimisant au mieux la fonction de corrélation et ensuite la seconde étape consiste à obtenir le champ de phase correctement orienté.
3.3.2 Caméra ultra-rapide.
C'est un matériel spécifique, financé par le XII Contrat Plan Etat Région (CPER), entièrement développé et réalisé au sein du Laboratoire de Mécanique des Solides par Valéry Valle [102]. Comme le montre la figure suivante, cette caméra est basée sur l'architecture d'une caméra Cranz-Schardin (autant d'objectifs que de prise de vue), c'est-à-dire six rangées de quatre caméras chacune. Actuellement 12 images sont utilisées. Cette caméra ne nécessite pas d'arc électrique à haute tension (15 kV) pour générer une source lumineuse de forte puissance lors de l'acquisition des images.
Caractéristiques Fréquence d'acquisition 1.106 im.s-1
Temps d'exposition (t) 150 ns
a) b)
figure 3.3 : a) Prototype de la caméra. b) Caractéristiques de la caméra.
Le principe de fonctionnement (figure 3.4) de ce prototype de caméra se caractérise par 12 caméras dites "indépendantes", plus 12 intensifieurs de lumière et objectifs placés en amont permettant de visualiser une zone commune d'étendue suffisante. Le déclenchement des 12 caméras se fait successivement, dans nos études, avec un intervalle constant (t). Lors de l'acquisition des images, une synchronisation est nécessaire entre les intensifieurs et les caméras, permettant ainsi d'augmenter le niveau de gris de l'image lors de l'enregistrement. Chaque caméra est constituée d'un capteur CCD de 640 x 480 pixels² et lors d'un essai, chacune enregistre une image. Les caractéristiques sont rappelées dans la figure 3.3b. Le temps d'exposition minimal d'une caméra est de 150 ns du fait de la présence d'intensifieurs. Un compromis est nécessaire entre temps d'exposition et intensité lumineuse en niveaux de
gris (contraste de l'image). Plus on diminue le temps d'exposition de la caméra, plus l'amplitude des niveaux de gris est faible.
PC OSCILLOSCOPE A B Voie: GENERATEUR Basse Fréquence MAIN OUT EXT TRIGGER SYNCHRO INTENSIFIEUR OUT IN TRIGGER CAMERA Alim 4,5V Eprouvette SEN CAMERA CCD Ultra rapide Photomultiplicateur (PM)
figure 3.4 : Principe de fonctionnement des caméras et des intensifieurs.
La principale difficulté d'utilisation de cette caméra ultra-rapide est la synchronisation du déclenchement des caméras et des intensifieurs pour des vitesses d'acquisition aussi importantes et des temps d'exposition aussi faibles. De plus la vitesse de propagation de la fissure du matériau étudié peut atteindre 700 m.s-1, ce qui rend l'acquisition des images assez difficile. Pour synchroniser le début de l'acquisition de la caméra et le passage de la fissure dans le champ optique, un dépôt de peinture d'argent est réalisé sur la surface libre de l'éprouvette. Lors d'un essai, la fissure rompt le dépôt entraînant le déclenchement et la synchronisation des caméras et des intensifieurs.