Propagation et densification de la zone pâteuse

La création de zone pâteuse est au cœur de la méthodologie automate cellulaire. Cette zone pâteuse permet d’indiquer la présence potentielle de solide à l’échelle FE si les lois de microségrégation permettent sa création en fonction de la thermodynamique. Il est donc indispensable qu’au cours de la solidification, la zone pâteuse s’étende en suivant la croissance des grains et se densifie pour que les zones normalement entiè- rement solidifiées aient une fraction de zone pâteuse atteignant un. Ceci permet ainsi d’effectivement solidifier cette zone via la microségrégation pour avoir une fraction de solide valant un.

Compte tenu de la méthode de calcul de la fraction de zone pâteuse de l’automate cellulaire (section 3.1.4), il est nécessaire à la fois de capturer des cellules pour étendre la zône pâteuse (si la croissance des grains le permet bien évidemment) et de permettre à la fraction cellulaire d’atteindre un. Ces deux conditions sont tout de même difficiles à satisfaire avec l’ajout de l’interaction solutale forte du PTN et la gestion des paraboles mise en place. Comme cela a été expliquée section 3.2.2, de nombreuses paraboles ne sont pas créées et parmi celles-ci, seulement quelques unes sont potentiellement 74

activées en cours de croissance (secondaires). Cela signifie que l’octaèdre ne va pas croître dans toutes les directions h1 0i. Il va donc être impossible d’aller capturer toutes les cellules voisines et donc d’augmenter la fraction cellulaire à un (équation 3.1). Ceci est d’autant plus vrai que la longueur des branches paraboliques est majorée (chapitre 3 section 3.2.2). De plus, avec l’interaction solutale forte ajoutée par le PTN, l’avancée des pointes dans les cellules adjacentes jusqu’à leur capture (centre de la cellule contenue dans l’octaèdre) est plus contrainte. La progression de la zone pâteuse est donc potentiellement limitée. Pour limiter ces problèmes, on facilite la capture et change la définition de l’aire maximale de croissance. Ceci ne s’applique qu’aux octaèdres ayant des paraboles (actives ou non). Sinon, pour les octaèdres venant de germer par exemple, la méthodologie originelle de l’automate cellulaire seul est toujours appliquée.

Faciliter la capture

Au lieu de considérer une cellule comme capturée si son centre est contenu dans un octaèdre comme précédemment, on considère qu’elle l’est si l’octaèdre intersecte d’une quelconque manière le cercle circonscrit à la cellule comme représenté par la figure 3.8 (a). La cellule centrale, avec son cercle circonscrit grisé, est capturée à la fois par l’octaèdre rouge et l’octaèdre vert. Compte tenu de la construction du nouvel octaèdre (non modifiée, sauf la présence ou non de branches secondaires comme expliqué chapitre 3 section 3.2.2), il n’y a pas d’avancée artificielle du solide. La zone pâteuse est simplement « agrandie » et c’est toujours la thermodynamique qui permet ou non de créer du solide. L’interaction solutale permet toujours de limiter l’extension des grains par la simple présence d’un autre grain ou simplement d’une ségrégation de soluté (interaction avec le bord, macroségrégations...) car le champ de soluté sur le maillage PTN et les gradients de composition dans le liquide ne sont pas directement dépendants de cette zone pâteuse (qui n’est qu’une méthode pour accéder aux échelles macroscopiques).

Nouvelle définition de l’aire de croissance maximale

L’équation 3.1 pour calculer la fraction cellulaire est conservée mais le calcul de l’aire de croissance maximale associée à la cellule Amax est modifié. D’abord parce que

la capture est modifiée : à présent on capture les cercles circonscrits aux cellules voisines. De plus, la croissance n’est plus homothétique en l’absence de flux convectif dans le liquide et des directions de croissances h1 0i non actives peuvent exister (section 3.2.2 et figure 3.5). Ceci est donc pris en compte et on détermine, pour chaque direction de croissance h1 0i avec une parabole créée (non nécessairement active, contrairement à la pointe opposée à la branche capturante qui n’est ni créée ni active, figure 3.5) un ratio d’agrandissement qui permettrait de capturer toutes les cellules dans cette direction. On en déduit un octaèdre virtuel dont l’aire donne Amax, puisque cet octaèdre capture

toutes les cellules voisines possibles, visible sur la figure 3.8 (b). La forme de cet octaèdre n’est pas homothétique à la forme initiale contrairement à l’algorithme originel, ce qui réduit la valeur de Amax.

(a) 1 (b) Amax 1 1

Figure 3.8 – Illustration de la modification de la capture.

(a) La cellule centrale est capturée dès lors qu’un octaèdre intersecte son cercle cir- conscrit, ici grisé. L’intersection peut venir d’une pointe (rouge) ou d’un bord (vert). L’aire de capture est définie par l’aire de l’octaèdre à ce moment.

(b) L’aire maximale (capture de toutes les cellules voisines) de l’octaèdre vert associé à la cellule colorée en vert au centre est représentée en trait vert discontinu. Le cercle grisé est le plus dur à capturer dans cette configuration.

3.3 Conclusion

Le couplage entre l’automate cellulaire et la méthologie PTN (inspirée du DNN) est fait en considérant que le PTN enrichit l’automate cellulaire. À chaque forme de croissance de l’automate cellulaire, utilisée pour représenter la microstructure, sont associées des paraboles pour simuler la croissance dendritique dans les directions h1 0i à l’aide de la méthode PTN. Le couplage CAPTN peut se résumer comme l’ajout de la loi de croissance PTN aux lois de croissance déjà existantes dans l’automate cellulaire. Les pré-requis de cette loi de croissance sont nombreux mais n’impactent quasiment pas l’automate cellulaire actuel.

Ce couplage nécessite la gestion de nouvelles données pour décrire toutes les pa- raboles et permettre le calcul de leur croissance. De plus, il est nécessaire d’effectuer un calcul de « Flux Intensity Factor » pour simuler la croissance de chaque parabole, puis d’appliquer des conditions de Dirichlet dans chaque parabole afin de résoudre la diffusion de soluté sur le domaine. Des stratégies naïves de calcul du « Flux Intensity Factor » et d’application des conditions de Dirichlet sont développées. Des amélio- rations de ces stratégies sont proposées à partir d’une analyse de la complexité des algoritmes présentés. La gestion du parallélisme entre la grille automate cellulaire et le maillage utilisé pour la méthode PTN est détaillée et expliquée. Pour limiter les calculs, la stratégie de remaillage utilisée par la méthode PTN est étendue. De plus, des critères de désactivation de paraboles sont proposés pour éviter des calculs peu utiles.

Certaines méthodologies propres à l’automate cellulaire sont cependant modifées 76

(en conservant la rétrocompatibilité). Compte-tenu de l’anisotropie locale de chaque forme de croissance induite par l’interaction solutale„ le critère de capture d’une cellule est modifié pour faciliter (si la cinétique le permet) l’avancée des branches paraboliques représentant les branches dendritiques dans les directions h1 0i. Ceci permet notam- ment de faciliter l’extension de la zone pâteuse sur le domaine. Le calcul de la fraction volumique de zone pâteuse est également impacté par l’anisotropie des formes de crois- sances ainsi que la modification de la stratégie de capture des cellules. Une nouvelle méthode, proche de l’ancienne est proposée.

Chapitre 4

Validation du CAPTN

« The surest sign that intelligent life exists elsewhere in the universe is that it has never tried to contact us. »

Calvin par B. Watterson

Sommaire

4.1 Introduction . . . 81 4.2 Influence de la taille des cellules . . . 81 4.2.1 Simulations utilisées . . . 81 4.2.2 Résultats et discussion sans réactivation des branches secondaires 82 4.2.3 Résultats et discussion avec réactivation des branches secondaires 87 4.3 Comparaison avec un modèle analytique . . . 92 4.3.1 Loi analytique . . . 92 4.3.2 Simulations utilisées . . . 93 4.3.3 Résultats et discussion . . . 93 4.4 Influence de l’orientation . . . 94 4.4.1 Simulations utilisées . . . 94 4.4.2 Résultats et discussion . . . 95 4.5 Conclusion . . . 98 79

4.1 Introduction

L’influence des paramètres physiques et numériques sur le couplage CAPTN est étudiée. Ceci est fait pour illustrer le fonctionnement du couplage pour mieux le com- prendre dans l’optique de l’utiliser en couplage avec des résolutions macroscopiques exploitant la fraction cellulaire donnée par l’automate cellulaire. Pour cela, on étudie d’abord l’influence de la taille des cellules lCA sur la croissance d’un grain équiaxe

isotherme. La vitesse de croissance pendant le régime stationnaire est comparée à la solution d’Ivantsov. La vitesse de croissance pendant le régime transitoire est compa- rée à une loi analytique. Par ailleurs, compte tenu de l’anisotropie cubique de la grille de cellules de l’automate cellulaire, on étudie l’influence de cette anisotropie sur la morphologie d’un grain équiaxe isotherme avec une orientation quelconque.