Présentation du modèle Mean Field

Considérations générales

Le modèle Mean Field est un modèle de microségrégation permettant de modéliser les échanges de masses et de température au cours de diverses transformations de phases prenant place au cours de la solidification. Un des apports particulièrement novateur de ce modèle est l’ajout d’un modèle de microségrégation pour une transformation pé- ritectique, en plus des modèles pour les structures dendritiques et eutectiques [Tou09]. Ceci n’est cependant pas utilisé dans notre travail.

Comme pour le CAFE et le CA – PTN – FE, les équations sont moyennées avec les mêmes définitions de moyennes. Comme pour le PTN, le modèle permet d’étudier un alliage binaire et les flux de diffusion suivent la loi de Fick avec un coefficient de diffusion constant par phase. Il n’y a pas de macroségrégation ni de création de soluté : la masse de soluté est donc conservée au cours du temps (comme pour le CAFE et le champ de composition hwi du CA – PTN – FE). La température du système est supposée homogène sur le domaine à chaque instant, ce qui n’est pas le cas du CAFE ni du CA – PTN – FE.

Croissance des phases

Le domaine simulé est un cylindre axisymétrique. Il est divisé en zones permet- tant la croissance de phases. À chaque nouvelle phase est attribuée une nouvelle zone. L’avancée de chaque zone est simplement repérée à partir du rayon la délimitant (fi- gure 5.4). Au début de la solidification, le domaine est entièrement liquide. Lorsque la température le permet, on germe au centre du domaine une phase dendritique. Le domaine est alors divisé en deux zones :

– le liquide extradendritique, libre ;

– la zone pâteuse composée de liquide interdendritique et de phase solide dendri- tique.

La croissance radiale de la zone dendritique à une vitesse vden_{, qui consomme le liquide}

libre, se fait avec une loi analytique simplifiée. Celle-ci n’est autre que la combinaison de la condition de stabilité marginale (équation 2.1) avec σ = 1/ (4π2_{) et le champ de}

composition donné par la solution d’Ivantsov (équation 2.9) sur la parabole (ξ = 1), avec comme composition loin de l’interface (w0 _{dans l’équation 2.9) celle du liquide}

extradendritique. Si l’on arrive jusqu’à la transformation eutectique, une nouvelle zone est créée au centre du domaine contenant la structure dendritique et la structure eutec- tique. Celle-ci croît radialement avec une vitesse veut_{donnée par la formule de Jackson}

et Hunt [Jac66]. Bilans

Bilan d’énergie Le bilan d’énergie est fait sur tout le domaine et résolu en suppo- sant que le refroidissement du domaine simulé est fait à l’aide d’un flux convectif sur l’extérieur du domaine ( ˙Q figure 5.4) et une condition de Fourier.

Bilan de masse Le bilan de masse moyenné est fait pour chaque zone et chaque phase. On fait donc un bilan de masse aux différentes interfaces entre zones et à l’in- térieur de chaque zone.

veut vden veut

vden

˙Q ˙Q

liquide dendrite eutectique

1

Figure 5.4 – Représentation du découpage de l’espace en zones dans la méthodolgie Mean Field avec en haut la représentation d’un VER et en bas la représentation 1D des fractions volumiques. Les zones sont délimitées en pointillés. ˙Q est l’extraction de chaleur.

Les équations des transferts de masse aux interfaces sont simplifiées en faisant in- tervenir des longueurs de diffusion permettant de caractériser la longueur sur laquelle la diffusion agit. En utilisant différentes définitions de ces longueurs de diffusion, on peut modéliser des transferts à l’échelle microscopique (interdendritique) dans la di- rection transverse ainsi que des transferts mésoscopiques dans la direction radiale. Les longueurs de diffusions sont calculées en supposant la forme du champ de composition. Comme pour les bilans, ces longueurs sont évaluées par zones donc on impose la forme du champ de composition par zone et par phase, même si la phase est présente dans une ou plusieurs zones adjacentes.

Forme du champ de composition radial Dans les phases liquides (extradendritique ou interdendritique), le champ de diffusion radial est supposé quasi stationnaire. Les conditions limites utilisées pour résoudre analytiquement les équations par zone sont : un flux nul au bord du domaine (conservation de la masse) et la continuité du champ de composition moyenne du liquide à la frontière entre les zones.

Au sein de chaque phase solide, le profil radial de composition de la phase au sein d’une zone est aussi simplifié : on impose qu’il est parabolique. Les conditions limites utilisées pour résoudre analytiquement les équations par zone sont : un flux nul au centre du domaine et la continuité du champ de composition moyen au sein du solide à l’interface entre les zones.

Forme du champ de composition transverse Le modèle impose que la structure eutectique n’échange pas de masse avec les autres phases solides, la forme du champ de composition transverse n’est donc pas utile. On ne s’intéresse qu’aux échanges dans la zone pâteuse entre la structure dendritique et le liquide. Le champ de composition, quelle que soit la phase, est supposé parabolique. Le VER considéré est cependant 112

différent : on considère un VER de largeur donnée par l’espacement interdendritique secondaire, figure 5.5. C’est ce VER qui, par symétrie, permet de recréer la zone pâ- teuse. Dans ce VER, les bras dendritiques sont modélisés par des plans (partie droite de la figure 5.5).

λ2

solide liquide

λ2/2

1

Figure 5.5 – Représentation du VER utilisé pour modéliser la diffusion à l’échelle de l’espacement interdendritique secondaire λ2 pour la zone dendritique. La position de

l’interface solide/liquide dans le VER est telle que les fractions volumiques de solide et de liquide dans la zone dendritique sont respectées au regard du volume du VER. Redessiné d’après Tourret et Gandin [Tou09].

Dans le liquide interdendritique, le flux est considéré nul au milieu des deux bras dendritiques secondaires (symétrie). Les conditions limites en compositions utilisent la composition moyenne intrinsèque de liquide dans la zone ainsi que la composition à l’interface solide/liquide entre le liquide interdendritique et la dendrite secondaire. Ceci permet d’exprimer la longueur de diffusion en fonction de la fraction volumique de la zone pâteuse, de la fraction volumique de la phase liquide et de l’espacement interdendritique secondaire utilisé.

De même dans le solide de la structure dendritique, on considère un flux nul au mi- lieu d’un bras dendritique secondaire (symmétrie) et l’on utilise la composition moyenne du solide à l’interface avec le liquide. Ceci permet d’écrire la longueur de diffusion en fonction de la fraction volumique de la zone pâteuse, de la fraction volumique de la phase solide et de l’espacement interdendritique secondaire utilisé.