5.4 Prols verticaux des mélanges bimodaux
5.4.2 Prols de vitesse et de densité en nombre
Les gures 5.5 et 5.6 représentent les prols de vitesse adimensionnée et les prols de densité en nombre (roulement et saltation) des expériences M7-9_26 et M20-9_26. Les mêmes prols non adimensionnés sur un arrière plan constitué des premiers images de la séquence sont également représentés (Fig. 5.7 et Fig. 5.8).
De façon évidente, les pics de roulement et de saltation se situent aux mêmes profondeurs que sur les prols de débit solide.
Les gures 5.7 et 5.8 mettent en évidence que l'étendue absolue en y de la zone de roulement est la même pour les billes de 4 mm et 6 mm (environ 12 mm=3d4=2d6). On remarque également sur ces gures que la zone de saltation pour les billes de 6 mm n'est que très légèrement plus large que pour les billes de 4 mm. La hauteur moyenne des sauts est en eet sensiblement la même pour les billes de 4 mm et 6 mm, dans le cas M20-9_26, on trouve
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Fig. 5.5 Vitesse adimensionnée et densité en nombre (avec la contribution des billes en roulement et en saltation) en fonction de la coordonnée y adimensionnée pour l'expérience M7-9_26.
Fig. 5.6 Vitesse adimensionnée et densité en nombre (avec la contribution des billes en roulement et en saltation) en fonction de la coordonnée y adimensionnée pour l'expérience M20-9_26.
de 6 mm (voir Tab. 5.2). Par ailleurs, les zones de saltation augmentent de l'expérience M7-9_26 à l'expérience M20-9_26, pour les billes de 6 mm, on passe d'environ 12 mm à 18 mm et pour les billes de 4 mm de 10 mm à 14 mm (voir Fig. 5.7 et 5.8).
Une augmentation du débit solide et donc du débit liquide accroît l'épaisseur sur laquelle la saltation se produit alors que la zone de roulement ne varie pas.
Pour les deux expériences, les billes de 6 mm révèlent un maximum de roulement légèrement supérieur au maximum de saltation. Les gures 5.5 et 5.6 montrent également que les maxima des pics de roulement et de saltation pour l'expérience M20-9_26 sont inférieurs à ceux de l'expérience M7-9_26. Or, le débit solide des billes de 6 mm est quasiment le même pour les deux expériences. Ceci s'explique car la vitesse des particules pour l'expérience M20-9_26 est supérieure à celle de l'expérience M7-9_26 (ur = 0.11 m/s
pour M7-9_26 contre ur = 0.18m/s pour M20-9_26).
En ce qui concerne les billes de 4 mm, les maxima des pics de roulement sont bien supérieurs aux pics de saltation et de façon évidente, ils augmentent fortement de l'expérience M7-9_26 à l'expérience M20-9_26.
Les prols des vitesses adimensionnées de M7-9_26 et M20-9_26 sont les mêmes dans la partie exponentielle et linéaire. Par contre, les parties loga-rithmiques présentent des diérences, les vitesses adimensionnées maximales sont plus élevées pour les billes de 4 mm que pour les billes de 6 mm. En revanche, si on observe les gures 5.7 et 5.8, on remarque que les vitesses absolues des particules de 4 mm et de 6 mm sont très proches. Cette ten-dance est conrmée par les valeurs moyennes des billes en roulement et en saltation des tableaux 5.1 et 5.2. En eet, les vitesses des billes de 4 mm et 6 mm en saltation sont très proches, us = 0.29 m/s (billes 6 mm) et
us= 0.32m/s (billes 4 mm) pour M7-9_26 et us = 0.39 m/s pour les deux tailles de particules de M20-9_26. Les vitesses de billes en roulement ne sont que légèrement plus élevées pour les billes de 6 mm (ur = 0.11 m/s pour M7-9_26 et ur = 0.18 m/s pour M20-9_26) que pour les billes de 4 mm (ur = 0.09m/s pour M7-9_26 et ur = 0.14m/s pour M20-9_26).
Un regard plus attentif sur les prols de vitesse nous indique que les parties exponentielles débutent quand les premières billes commencent à rouler, elles correspondent en eet au début du pic de roulement (voir Fig. 5.7 et Fig. 5.8). Les parties linéaires s'amorcent lorsque le régime de roulement est bien éta-bli et correspondent à la décroissance du nombre de billes en roulement. Les parties logarithmiques apparaissent à une hauteur dans l'écoulement où il
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Fig. 5.7 Prols de la vitesse totale et de la densité en nombre (roulement et saltation) pour l'expérience M7-9_26. L'arrière plan est la superposition des 500 premières images de la séquence.
Fig. 5.8 Prols de la vitesse totale et de la densité en nombre (roulement et saltation) pour l'expérience M20-9_26. L'arrière plan est la superposition des 500 premières images de la séquence.
n'y a quasiment plus de billes en roulement mais encore majoritairement des billes en saltation. Elles s'arrêtent pour les billes de 6 mm à une hauteur très proche de la surface libre et pour les billes de 4 mm un peu plus bas dans l'écoulement.
5.4.3 Prols de concentration
Les gures 5.9 et 5.10 présentent les prols de concentration pour les ex-périences M7-9_26 et M20-9_26. Les concentrations des billes de 6 mm et 4 mm ont été calculées en eectuant la somme mobile du nombre de particules sur une profondeur équivalente au diamètre des particules les plus grandes, i.e. 16 pixels an de pouvoir calculer la concentration totale. Les prols de concentration totale et des billes de 4 mm révèlent la même forme que les prols de concentration obtenus avec des billes de 4 mm uniquement (voir 4.6.4) à l'exception de la zone quasistatique pour les billes de 4 mm. En eet, la concentration baisse à mesure que la profondeur augmente et ce d'autant plus pour l'expérience M7-9_26 que pour l'expérience M20-9_26. La concen-tration des billes de 4 mm est maximale aux alentours de y−ybut´ee
d ≈−1puis décroît jusqu'à environ y−ybut´ee
d ≈ −3, on passe d'une concentration maxi-male de0.47et0.52à une concentration de0.35et0.49pour les expériences M7-9_26 et M20-9_26 respectivement. Par contre, la concentration totale maximale est la même pour les deux expériences (≈0.6).
La baisse de la concentration des billes de 4 mm est liée aux uctuations de la concentration des billes de 6 mm dans la zone quasistatique. Les gures 5.11 et 5.12 conrment la présence de billes noires dans la zone immobile du lit, présence plus marquée pour l'expérience M7-9_26 que pour l'expérience M20-9_26. Cela s'explique par la formation du lit. Le débit solide des billes de 4 mm étant trois fois plus élevé pour M20-9_26 que pour M7-9_26, on retrouve plus de billes noires piégées dans le lit de l'expérience M7-9_26 lorsque le lit est constitué.
La concentration des billes de 6 mm (voir Fig. 5.9 et Fig. 5.10) présente une forme totalement diérente par rapport aux prols de concentration des billes de 4 mm. Dans la zone quasistatique, la concentration varie de façon aléatoire dû à la présence ou l'absence de billes noires dans le lit immobile, plus haut dans l'écoulement on observe une croissance de la concentration qui correspond à la zone linéaire des billes transparentes, i.e. la zone dense. Dans la partie supérieure, il y a une décroissance exponentielle de la concentration comparable à celle des billes de 4 mm.
5.4. PROFILS VERTICAUX DES MÉLANGES BIMODAUX 151
Fig. 5.9 Concentration en fonction de la coordonnée y adimensionnée pour l'ex-périence M7-9_26.
Fig. 5.10 Concentration en fonction de la coordonnée y adimensionnée pour l'ex-périence M20-9_26.
Fig. 5.11 Les images cumulées de la séquence pour l'expérience M7-9_26.
Fig. 5.12 Les images cumulées de la séquence pour l'expérience M20-9_26.