Chapitre II Rappels vitesse de phase, vitesse de groupe, prolongements de la mécanique relativiste et de la mécanique newtonienne vers la
II.2 Prolongements de la mécanique relativiste et de la mécanique newtonienne vers la mécanique ondulatoire
II.2.1 Généralités sur la mécanique relativiste
La mécanique relativiste s’est développée au début du 20ème siècle, notamment grâce aux travaux d’A. Einstein dans la théorie de la Relativité. Par bien des aspects, elle ressemble à la mécanique classique newtonienne dont elle est souvent considérée comme une généralisation. On retrouve par exemple les notions d’énergie et d’impulsion. Elle s’en distingue néanmoins singulièrement sur certains points. Par exemple, un coefficient 𝛾 = marque des déformations des durées et des distances s’introduit en mécanique relativiste.
Ainsi, en mécanique classique, on a l’impulsion : 𝑝 = 𝑚𝑣 et en mécanique relativiste, l’impulsion : 𝑝 = 𝛾𝑚𝑣.
De même, en mécanique classique, on a la relation énergie impulsion : 𝐸 = 𝑝
2𝑚+ 𝐸𝑝 et en mécanique relativiste, la relation énergie impulsion :
𝐸 =𝑐
𝑣 𝑝 = 𝛾𝑚𝑐
Il est parfois difficile comprendre les raisons de ces différences. On va voir maintenant que l’approche ondulatoire de L. de Broglie permet de comprendre intuitivement certaines équations de la mécanique relativiste.
II.2.2 Idées de L. de Broglie pour comprendre intuitivement la transformée de Lorentz On rappelle ici les idées de L. de Broglie développées au début de sa thèse (1924), qui permettent de comprendre intuitivement la transformée de Lorentz. Comme un paradoxe, ces idées imprégnées de relativisme conduisent quelques années plus tard à l’équation de Schrödinger qui n’a rien de relativiste.
Soit une onde stationnaire de fonction d’onde :
𝜓 = 𝑐𝑜𝑠 𝜔 𝑡
Dans sa thèse, L. de Broglie schématise cette fonction d’onde par une horloge.
Soit un observateur 𝐵 immobile par rapport à cette fonction d’onde et soit un observateur 𝐴 mobile par rapport à 𝐵, avançant à la vitesse rectiligne uniforme 𝑣 (il s’agit ici d’une vitesse de type mécanique newtonienne au sens décrivant des corps ponctuels, mais on écrit 𝑣 car L. de Broglie la fait ensuite correspondre à une vitesse de groupe).
La question posée par L. de Broglie, c’est savoir comment 𝐴 verra l’onde (ou l’horloge) ?
Selon L. de Broglie, 𝐴 la voit comme une onde progressive (et non plus stationnaire) se propageant à la vitesse de phase 𝑣 = et de fonction d’onde :
𝜓 = 𝑐𝑜𝑠 𝜔 (𝑡 − 𝑥 𝑣 )
Suivant les idées relativistes d’A. Einstein, on a la relation entre l’énergie 𝐸 d’un corps relativiste en mouvement à la vitesse 𝑣 et l’énergie 𝐸 du même corps s’il est considéré immobile :
𝐸 = 𝛾𝐸 avec 𝛾 = > 1
On a 𝐸 = ℏ𝜔 avec 𝜔 la pulsation de l’onde progressive, 𝐸 = ℏ𝜔 avec 𝜔 la pulsation de l’onde stationnaire.
On obtient :
𝜔 = 𝛾𝜔
avec 𝛾 > 1. L’onde progressive a donc une pulsation et une fréquence supérieure à l’onde stationnaire. On a pour la fonction d’onde de l’onde progressive :
𝜓 = 𝑐𝑜𝑠 𝛾 𝜔 (𝑡 − 𝑥 𝑣 )
On a la relation entre la vitesse de groupe et la vitesse de phase : 𝑣 𝑣 = 𝑐
avec 𝑛 = 1 puisqu’on est dans le vide.
Si on remplace
v
par 𝑣 dans la fonction d’onde, on obtient : 𝜓 = 𝑐𝑜𝑠 𝛾 𝜔 (𝑡 −𝑣𝑐 𝑥)
Si on égalise les phases des deux fonctions d’onde stationnaire et progressive, on obtient : 𝜙 = 𝜔 𝑡 = 𝛾𝜔 (𝑡 −𝑣
𝑐 𝑥)
En éliminant de part et d’autre la pulsation 𝜔 , on retrouve la transformée de Lorentz entre les instants 𝑡 de l’observateur 𝐵 et 𝑡 de l’observateur 𝐴 :
𝑡 = 𝛾(𝑡 −𝑣 𝑐 𝑥)
Nota 1
Par analogie entre l’Espace et le Temps, en substituant 𝑐𝑡 par 𝑥, on a la transformée de Lorentz pour les positions :
𝑥 = 𝛾(𝑥 − 𝑣 𝑡)
Nota 2
Ce qui n’est pas expliqué intuitivement ici, c’est pourquoi on a la relation entre les énergies : 𝐸 = 𝐸 , c’est-à-dire l’origine de 𝛾 = ?
On étudiera cela dans un prochain paragraphe.
II.2.3 Interprétation de l’effet Doppler-Fizeau relativiste
Suivant les idées de L. de Broglie, l’effet relativiste est interprété comme la variation de la période 𝑇 (et de la fréquence 𝑓) d’une onde en fonction de la vitesse de phase de l’onde 𝑣 = , vitesse mesurée par rapport à un observateur.
Autrement dit, lorsqu’une onde stationnaire se met en mouvement par rapport à un observateur et devient progressive avec une vitesse de phase 𝑣 = , l’observateur mesure une variation de la période 𝑇 et de la fréquence 𝑓 de l’onde par rapport à la période 𝑇 et la fréquence 𝑓 de l’onde stationnaire. On a les relations : 𝑇 = 1 −𝑣 𝑐 𝑇 𝑓 = 1 1 −𝑣 𝑐 𝑓
L’interprétation de l’effet relativiste de L. de Broglie peut rappeler l’effet Doppler-Fizeau. En effet, pour ces deux effets, on a une variation de la fréquence en fonction de la vitesse 𝑣 du corps émettant le signal.
Cependant, il ne s’agit pas du même phénomène. Pour argument, dans le cas général, les deux effets se cumulent.
L’effet Doppler-Fizeau est la variation de fréquence d’un signal reçu par un observateur lorsque la source du signal est en mouvement par rapport à l’observateur. On a la relation entre la fréquence 𝑓 observée par l’observateur et la fréquence 𝑓 au moment de son émission par la source. :
𝑓 = (1 −𝑣 𝑐)𝑓
Comme déjà évoqué, suivant l’interprétation de L. de Broglie, l’effet relativiste est la variation de la fréquence de l’onde causée par le mouvement relatif de l’onde par rapport à un observateur :
𝑓 = 1
1 −𝑣 𝑐
𝑓
Dans le cas le plus général, où on ne peut plus négliger 𝑣 devant 𝑐, on a alors l’effet Doppler-Fizeau relativiste : 𝑓 = (1 − 𝑣 𝑐) 1 −𝑣𝑐 𝑓 = (1 − 𝑣 𝑐) (1 −𝑣𝑐)(1 +𝑣𝑐) 𝑓 𝑓 = 1 − 𝑣 𝑐 1 +𝑣𝑐 𝑓
II.2.4 Vitesse de phase, retrouver la relation de dispersion entre l’énergie et l’impulsion dans le cas de la mécanique relativiste
Pour un photon, on a une vitesse de phase égale à :
𝑣 = avec 𝑣 = 𝑣 = 𝑐
Si on pose = ℏ𝜔 𝑝 = ℏ𝑘, on a la relation de dispersion : 𝑣 =𝐸
𝑝 𝐸 = 𝑝𝑣 = 𝑝𝑐
Pour une onde particule quelconque, on a toujours la relation de dispersion : 𝐸 = 𝑝𝑣 (par contre 𝑣 ≠ 𝑣 ≠ 𝑐)
On a :
Nota : dans les théories non relativistes, on n’utilise pas 𝑣 𝑣 = 𝑐 pour avoir la relation entre impulsion et énergie.
On obtient la relation de dispersion entre l’impulsion et l’énergie de la mécanique relativiste : 𝐸 =𝑐
𝑣 𝑝
Lorsque 𝑣 tend vers 𝑐, on retrouve la relation de dispersion d’une onde dans le vide : 𝐸 = 𝑝𝑐
Nota
Dans la Relativité restreinte, on a : 𝐸 = 𝑝 = 𝑝 𝑐 + 𝑚 𝑐 . On retrouve aussi la relation de dispersion d’une onde dans le vide : 𝐸 = 𝑝𝑐, lorsque la masse de la particule tend vers 0.
II.2.5 Vitesse de groupe, vérifier que 𝜸 fonctionne
On cherche maintenant la relation entre la vitesse de groupe 𝑣 et 𝛾. La vitesse de groupe de l’onde particule doit vérifier :
𝑣 =𝜕𝜔 𝜕𝑘 = 𝜕𝐸 𝜕𝑝 = 𝜕𝐸 𝜕𝐸𝑣𝑐 On obtient : 𝑐 𝑣 = 𝜕𝐸𝑣𝑐 𝜕𝐸
L’énergie 𝐸 est proportionnelle à 𝛾 et à une constante (dans la Relativité restreinte, on prend l’énergie d’une masse immobile 𝐸 = 𝑚 𝑐 , et on a 𝐸 = 𝛾𝑚 𝑐 = 𝛾𝐸 = 𝛾ℏ𝜔 ).
On a donc l’équation différentielle à résoudre pour trouver la relation entre 𝑣 et 𝛾 : 𝑐 𝑣 = 𝜕𝑣𝑐 𝛾ℏ𝜔 𝜕𝛾ℏ𝜔 = 𝜕𝑣𝑐 𝛾 𝜕𝛾
On note que si on pose :
𝛾 = 1
1 −𝑣𝑐
C’est-à-dire si 𝑣 et 𝛾 vérifient la relation :
(𝛾) − (𝛾𝑣
𝑐) = 1
(𝛾𝑣
L’équation différentielle est bien résolue : 𝜕𝑣𝑐 𝛾 𝑐𝜕𝛾 = 𝜕 (𝛾) − 1 𝑐𝜕𝛾 = 2𝛾 2𝑐 (𝛾) − 1= 1 𝑣
La valeur 𝛾 (de dilation des durées) est donc imposée par la vitesse de phase, la vitesse de groupe, la relation 𝑣 𝑣 = 𝑐 , les relations 𝐸 = ℏ𝜔 = 𝑚 𝑐 et 𝑝 = ℏ𝑘.
Nota 1
Si on pose 𝐸 = 𝛾𝐸 = 𝛾𝑚 𝑐 , à partir de la relation (𝛾) − (𝛾 ) = 1, en multipliant par 𝑚 𝑐 , on retrouve :
(𝛾) 𝑚 𝑐 − (𝛾𝑣
𝑐) 𝑚 𝑐 = 𝑚 𝑐 𝐸 − 𝑝 𝑐 = 𝑚 𝑐
Nota 2
Dans la théorie de la Relativité, on définit le quadrivecteur énergie impulsion par : 4𝑝 = (𝑝 𝑐 = 𝛾𝑚 𝑐 , 𝑝 = 𝛾𝑚 𝑣 , 𝑝 = 𝛾𝑚 𝑣 , 𝑝 = 𝛾𝑚 𝑣 )
4𝑝 = (𝑝 𝑐 = 𝑚 𝑐 , 𝑝 = 𝑚 𝑣 , 𝑝 = 𝑚 𝑣 , 𝑝 = 𝑚 𝑣 ) avec 𝛾 = 1
On a :
𝐸 = 𝑝 𝑐 = 𝛾𝑚 𝑐 = 𝑚 𝑐 1 −𝑣𝑐
Si on développe en série à la limite << 1, on obtient : 𝐸 = 𝑚 𝑐 +1 2𝑚 𝑣 + 3 8𝑚 𝑣 𝑐 +. .. Si 𝑣 = 0, on retrouve 𝐸 = 𝑚 𝑐 . 𝑚 𝑣 correspond à l’énergie cinétique.
Le terme 𝑚 , ainsi que les suivants, peuvent être regardés comme une correction relativiste à l’énergie cinétique.
On définit fréquemment une masse relativiste 𝑚 avec :
𝑚 = 𝛾𝑚 = 𝑚
1 −𝑣 𝑐
II.2.6 Relation de dispersion dans le cas de la mécanique classique newtonienne
Dans le cadre de l’équation de Schrödinger, on a vu dans le mémoire 1 que la mécanique ondulatoire pouvait également être envisagée comme un prolongement (ou même une généralisation) de la mécanique classique newtonienne. On fait ici quelques rappels sur les vitesses de groupe et de phase en mécanique appliquées à la mécanique newtonienne.
Vitesse de groupe
On a l’énergie de la mécanique classique newtonienne (non relativiste) : 𝐸 = ℏ𝛺 = 𝑝
2𝑚+ 𝐸𝑝 avec 𝐸𝑝 une énergie potentielle.
On obtient l’impulsion de la mécanique classique newtonienne : 𝑝 = 𝑚𝑣 = 2𝑚(ℏ𝛺 − 𝐸𝑝) D’après de Broglie, on a : 𝑝 = ℏ𝐾 On obtient : 𝜕ℏ𝐾 𝜕ℏ𝛺= 𝜕 2𝑚(ℏ𝛺 − 𝐸𝑝) 𝜕ℏ𝛺 = 𝑚 2𝑚(ℏ𝛺 − 𝐸𝑝)= 𝑚 𝑝 = 1 𝑣
On retrouve la vitesse de groupe :
𝑣 =𝜕𝛺 𝜕𝐾
Vitesse de phase
Pour la vitesse de phase, on a la relation de dispersion de la mécanique ondulatoire newtonienne : 𝑣 =𝛺 𝐾= 𝐸 𝑝 = 𝐸 2𝑚(𝐸 − 𝐸𝑝)
On peut définir un indice de réfraction 𝑛 avec 𝑣 la vitesse de phase de l’onde en absence de potentiel :
𝑣
𝑛 = 𝑣 = 𝐸 √2𝑚𝐸
On obtient pour l’indice 𝑛 en éliminant 𝑣 dans les deux dernières expressions : 𝑛 = 1 −𝐸𝑝
𝐸
On obtient pour la vitesse de phase :
𝑣 = 1 −𝐸𝑝 𝐸 𝐸 √2𝑚𝐸= 𝑛 𝐸 √2𝑚𝐸
Lorsque 𝑛 tend vers 1 (𝐸𝑝 tend vers 0), on retrouve la relation de dispersion entre l’impulsion et l’énergie pour une onde dans le vide :
𝑣 = 𝑣 = 𝑣 = 𝐸 √2𝑚𝐸=
𝐸 𝑝
II.3
Conclusion du chapitre
On a explicité les notions de vitesse de groupe et de vitesse de phase, qui suivant les idées de L. de Broglie permettent d’interpréter la mécanique ondulatoire comme un prolongement (ou même une généralisation) à la fois de la mécanique classique newtonienne et de la mécanique relativiste.
La relation de dispersion 𝐸 = 𝑝𝑣 = 𝑝𝑐 est un cas limite :
- en mécanique relativiste, lorsque la masse de la particule tend vers 0,
- en mécanique classique newtonienne, lorsque l’énergie potentielle (de la particule dans un champ) tend vers 0.
Après avoir étudié les vitesses de phase et de groupe de la mécanique ondulatoire, on va s’intéresser aux liens possibles entre vitesse de phase, vitesse de groupe et équations sources champs de Maxwell.