Chapitre V Construire toute force sur le modèle de la force d’inertie de Coriolis et de la force magnétique de Lorentz
V.4 Forces obtenues à partir de l’annulation d’un vecteur rotation généralisée dans un plan spatiotemporel
V.4.1 Vecteurs rotations généralisées et champs dans un plan spatiotemporel On a le champ électrique : 𝐸⃗𝑙 / =𝜕𝐴 𝜕𝑡 − 𝜕𝐴 𝜕𝑥 Plan spatial x, y t xy
B
1/ y v t xy y x tyv
B
m
E
1/On a le champ vecteur d’onde :
2𝑐 𝐾⃗ / =𝜕𝑉 𝜕𝑡 −
𝜕𝑉 𝜕𝑥
V.4.2 Force électrique et force électrostatique de Coulomb
Pour la force électrique, la quantité conservée lors du changement de référentiel de 𝑅 à 𝑅 est la charge électrique 𝑞 .
Comme on veut construire les forces (classiques) sur le modèle de l’accélération d’inertie de Coriolis, il faut une charge électrique de type vecteur. C’est-à-dire en plus de sa norme, il lui faut une direction et un sens. En physique (quantique, relativiste, etc.), on définit fréquemment la densité de charge comme la composante temporelle d’un quadrivecteur densité de charge courants. Cela permet d’orienter la densité de charge électrique dans le Temps.
On construit une force électrique sur le modèle de la force de Coriolis, 𝑞 la quantité conservée, 𝐸⃗𝑙 / le vecteur rotation généralisée dans un plan spatiotemporel annulé lors du passage de 𝑅 à 𝑅 . On obtient :
𝐹⃗ = 𝑞⃗ ∧ 𝐸⃗𝑙 /
On a la figure suivante :
Figure 4 : force électrique Nota 1
On note que la force électrique ainsi obtenue possède la même direction que la force électrique telle qu’on la définit usuellement.
Nota 2
Pour une onde électromagnétique, on parle de polarisation horizontale ou verticale lorsque le champ électrique est horizontal ou vertical. On utilise alors une antenne verticale ou horizontale pour émettre ou recevoir ce type d’ondes.
Dans le cas d’une réorientation du champ électrique (qui possède alors la même direction que le vecteur d’onde 𝑘⃗ de l’onde électromagnétique), la polarisation de l’onde électromagnétique correspond à la direction de la force électrique et non plus à celle du champ électrique.
Nota 3 y tx l E 1/ Plan spatiotemporel t, x t
q
y tx t x ty Elq
El
F
1/On utilise assez peu fréquemment le terme de force électrique, puisque toujours couplée avec la force magnétique (sauf dans le cas de la force électrostatique), elle donne la force électromagnétique.
Lorsque = 0, les phénomènes magnétiques sont absents, et on a simplement le champ électrostatique :
𝐸⃗𝑠 / = −𝜕𝐴 𝜕𝑥
On obtient de même la force électrostatique de Coulomb (cas particulier de la force électrique) : 𝐹⃗ = 𝑞⃗ ∧ 𝐸⃗𝑠 /
Nota, analogie intuitive
Dans un mouvement circulaire uniforme, on a la relation entre la vitesse angulaire de rotation 𝛺 / et la vitesse linéaire de rotation 𝑉 : 𝑉 = 𝑟𝛺 / (𝑉 étant considéré ici comme un potentiel vitesse). Pour trouver 𝛺 / , on peut dériver 𝑉 par rapport à 𝑟.
𝛺 / =𝜕𝑉 𝜕𝑟 = 𝜕𝑟𝛺 / 𝜕𝑟 = 𝛺 / En électrostatique, on a : 𝐸𝑠 / = −𝜕𝐴 𝜕𝑥
Si on poursuit l’analogie, le potentiel électrique 𝐴 joue le rôle d’une « vitesse linéaire de rotation généralisée » dans un plan spatiotemporel annulée lorsqu’on passe de 𝑅 à 𝑅 .
V.4.3 Force gravitationnelle
On a vu que le champ vecteur d’onde 𝐾⃗ / correspondant au vecteur rotation « généralisée » dans un plan spatiotemporel, est le pendant du champ pulsation 𝛺⃗ / correspondant au vecteur rotation dans un plan spatial.
Suivant une stricte analogie avec la force électrique, l’idée c’est de construire une force gravitationnelle avec :
- un champ vecteur d’onde 𝐾⃗ / , dont le vecteur rotation « généralisée » correspondant s’annule lors du changement de référentiels de 𝑅 à 𝑅 ,
- une quantité conservée qui ne va plus être une charge électrique 𝑞⃗ mais une masse dirigée dans le Temps 𝑚⃗ .
Une difficulté consiste donc à accepter la vectorisation de la masse 𝑚⃗ dans le Temps. Il est vrai que la masse est très rarement vectorisée en mécanique classique. En physique relativiste, on distingue parfois les notions de masse longitudinale et de masse transversale.
Suivant une stricte analogie avec la force électrique, on a la force gravitationnelle (qui inclut les gravitations dites newtonienne et einsteinienne) :
avec : 2𝑐 𝐾⃗ / =𝜕𝑉 𝜕𝑡 − 𝜕𝑉 𝜕𝑥 On a : 2𝑐 𝐾⃗ / = 𝐺⃗𝑟 / − 𝑎⃗ avec : 𝑎 = −𝜕𝑉 𝜕𝑡 𝐺𝑟 / = −𝜕𝑉 𝜕𝑥 On a la figure suivante :
Figure 5 : force gravitationnelle
Dans le cas de la gravitation newtonienne, on a :
𝐺⃗𝑟 / = 2𝑐 𝐾⃗ / = (−𝜕𝑉 𝜕𝑥) avec :
= 0
On a la force gravitationnelle newtonienne classique qui s’ajoute dans le référentiel 𝑅 où on annule 𝐺⃗𝑟 / :
𝐹⃗ = 𝑚⃗ ∧ 𝐺⃗𝑟 / = −𝑚⃗ ∧ (𝜕𝑉 𝜕𝑥)
Dans le cas de la gravitation einsteinienne, on a :
𝑎⃗ = −2𝑐 𝐾⃗ / = (−𝜕𝑉 𝜕𝑡 ) avec : Plan spatiotemporel t, x y tx
K
1/ tm
y tx t x ty Km
c
K
F
22
1/= 0
On a la force gravitationnelle einsteinienne qui s’ajoute dans le référentiel 𝑅 où on annule 𝑎⃗ : 𝐹⃗ = 𝑚⃗ ∧ 𝑎⃗ = −𝑚⃗ ∧ (𝜕𝑉
𝜕𝑡 )
On souligne que la force gravitationnelle einsteinienne 𝐹⃗ est orientée dans la même direction 𝑥 que la vitesse 𝑣⃗ .
Nota 1, longueur d’onde infinie Dans le cas où on a :
𝑚𝑎⃗ = 𝑚𝐺⃗𝑟 / On obtient : −𝜕𝑉 𝜕𝑡 = − 𝜕𝑉 𝜕𝑥 2𝑐 𝐾 / =𝜕𝑉 𝜕𝑡 − 𝜕𝑉 𝜕𝑥 = 0
La longueur d’onde 𝜆 = / est donc infinie.
Nota 2, analogue de la relation de Larmor pour des vecteurs rotations généralisées dans un plan spatiotemporel
On rappelle la relation de Larmor qui traduit des effets identiques d’un champ pulsation 𝛺⃗ / et d’un champ magnétique 𝐵⃗ / (c’est-à-dire 2 champs dans un plan spatial), lorsque les valeurs de la masse et de la charge sont correctement choisies (ici 𝑚 masse de l’électron et −𝑒 charge de l’électron) :
2𝑚 𝛺⃗ / = 𝑒𝐵⃗ /
On cherche une relation analogue pour des vecteurs rotations dans un plan spatiotemporel.
On applique le principe fondamental de la dynamique de Newton pour un électron à la fois dans un champ gravitationnel newtonien et dans un champ électrique :
𝑚 𝑎⃗ = 𝑚 𝐺⃗𝑟 / − 𝑒𝐸⃗𝑙 /
𝑚 𝑎⃗ − 𝑚 𝐺⃗𝑟 / = −𝑒𝐸⃗𝑙 / En passant aux potentiels vitesses :
𝑚 (−𝜕𝑉 𝜕𝑡 + 𝜕𝑉 𝜕𝑥) = −𝑒𝐸⃗𝑙 / 𝑚 (𝜕𝑉 𝜕𝑡 − 𝜕𝑉 𝜕𝑥) = 𝑒𝐸⃗𝑙 / On obtient : 2𝑚 𝑐 𝐾⃗ / = 𝑒𝐸⃗𝑙 /
On trouve une relation analogue à la relation de Larmor pour des vecteurs rotations généralisées dans un plan spatiotemporel. 2𝑚 𝑐 𝐾⃗ / et 𝑒𝐸⃗𝑙 / ont ici les mêmes effets qui peuvent se compenser. V.4.4 Qu’est-ce qui distingue une accélération d’inertie d’une force d’inertie ?
Une accélération d’inertie (de type centrifuge ou de Coriolis) se distingue d’une force d’inertie par le fait que :
- lorsqu’une accélération d’inertie doit être ajoutée lors d’un changement de référentiels, ce qui est annulé, c’est un vecteur rotation « généralisée » dans un plan spatial (vecteur rotation associé à un champ pulsation 𝛺⃗ / ),
- lorsqu’une force d’inertie doit être ajoutée lors d’un changement de référentiels, ce qui est annulé, c’est un vecteur rotation « généralisée » dans un plan spatiotemporel (vecteur rotation associé à un champ électrique 𝐸⃗𝑙 / ou à un champ vecteur d’onde 𝐾⃗ / ).
Une force est orientée dans l’Espace et une accélération dans le Temps. Une accélération d’inertie est en quelque sorte l’analogue, dans le Temps, de la force d’inertie dans l’Espace.
V.4.5 Définitions force de type électrique et force de type gravitationnel
On appelle force de type électrique, toute force dont la quantité conservée lors du changement de référentiels est une charge électrique 𝑞⃗ .
La quantité annulée lors du changement de référentiels étant un vecteur rotation généralisées dans un plan spatiotemporel (correspondant au champ 𝐸⃗𝑙 / ), on a une force électrique 𝐹⃗ = 𝑞⃗ ∧ 𝐸⃗𝑙 / orientée dans l’Espace (par exemple suivant x).
On appelle force de type gravitationnel, toute force dont la quantité conservée lors du changement de référentiels est une masse 𝑚⃗ .
La quantité annulée lors du changement de référentiels étant un vecteur rotation généralisées dans un plan spatiotemporel (correspondant au champ 𝐾⃗ / ), on a une force gravitationnelle 𝐹⃗ = 𝑚⃗ ∧ 𝑐 2𝐾⃗ / orientée dans l’Espace (par exemple suivant x).