Chapitre IV Théories de Jauge locale, applications à différentes fonctions d’onde (de Dirac 1928, Schrödinger 1925 à Pauli 1927)
IV.1 Généralités sur les théories de Jauge locale
Les termes invariance de Jauge et transformation de Jauge peuvent sembler à priori énigmatiques, ils s’inspirent en fait de notions déjà présentes en mécanique newtonienne. On propose ici d’éclairer ces 2 termes via leurs ressemblances avec la mécanique newtonienne.
IV.1.1 Qu’est-ce qui est invariant ?
L’invariance, c’est le respect des lois fondamentales de la Nature quel que soit le changement de référentiels ou la transformation de Jauge locale, c’est-à-dire le principe de relativité cher à A. Einstein.
En mécanique newtonienne, lors de l’annulation d’un vecteur rotation 𝛺⃗ (c’est-à-dire lors d’un changement de référentiels), on ajoute des forces d’inertie centrifuge et de Coriolis, cela afin de respecter le principe fondamental de la dynamique de Newton.
Sur un mode similaire, dans les théories de Jauge locale, lors de l’annulation d’une partie de la phase de la fonction d’onde (c’est-à-dire lors d’une transformation de Jauge locale), on ajoute des quadrivecteurs énergies impulsions d’interaction (associés à l’interaction électromagnétique ou aux interactions fortes et faibles), cela afin de respecter l’équation d’onde.
C’est ce respect de l’équation d’onde, quel que soit la transformation de Jauge locale, qui est considéré comme l’invariant de Jauge recherché.
Ainsi, en mécanique newtonienne, la loi fondamentale de la Nature, c’est-à-dire l’invariant à respecter lors l’un changement de référentiels, c’est le principe fondamental de la dynamique de Newton 𝑚𝑎⃗ = 𝛴𝐹⃗, quitte à ajouter des forces d’inertie.
En mécanique ondulatoire (ou en Physique quantique), la loi fondamentale de la Nature ou l’invariant à respecter lors l’une d’une transformation de Jauge locale, c’est l’équation d’onde, quitte à ajouter des énergies impulsions potentielles.
Nota 1
On verra néanmoins qu’on ne parvient pas à généraliser ce principe aussi loin que l’on le souhaiterait. En effet, suivant le cas où on se place, l’équation d’onde à respecter n’est pas exactement la même. Dans le vide (pas de masse et pas de charge électrique), l’équation d’onde à respecter, c’est celle proposée par Jean Le Rond d’Alembert en 1746 :
𝛥𝜓 − 1 𝑐
𝜕 𝜓 𝜕𝑡 = 0
En Physique quantique relativiste, l’équation d’onde à respecter, c’est celle de Klein Gordan proposée en 1926 : 𝛥𝜓 − 1 𝑐 𝜕 𝜓 𝜕𝑡 = 𝑚 𝑐 ℏ 𝜓
En Physique quantique non relativiste, l’équation d’onde à respecter, c’est celle de Schrödinger libre proposée en 1925 (absence de potentiel électrique) :
𝛥𝜓 −𝑖2𝑚 ℏ
𝜕𝜓 𝜕𝑡 = 0
Cette dernière équation d’onde de Schrödinger libre rappelle l’équation de chaleur (ou équation de diffusion : la variation d’une concentration dans le Temps est proportionnelle au surplus relatif de cette concentration dans son environnement infinitésimal) proposée par Joseph Fourrier en 1807 :
𝛥𝑢 −1 𝛼
𝜕𝑢 𝜕𝑡 = 0
Nota 2
A souligner que le tenseur de Maxwell Faraday, ainsi que les équations de Maxwell, sont aussi conservés lors d’une transformation de Jauge locale. Tenseur de Maxwell Faraday et équations de Maxwell sont donc considérés comme des lois fondamentales de la Nature dans les théories de Jauge locale.
IV.1.2 Qu’est-ce qu’on transforme ?
Une transformation de Jauge locale consiste à modifier (annuler en partie) d’une part la phase de la fonction d’onde, d’autre part les potentiels (électromagnétiques ou autres).
On peut rapprocher une transformation de Jauge locale d’un changement de référentiels de la mécanique newtonienne où l’on modifie le mouvement du corps de référence (par exemple, on annule un vecteur rotation 𝛺⃗).
IV.1.3 Qu’est-ce qu’on fait pour conserver l’invariance (des lois de la Nature) lors de la transformation ?
En mécanique newtonienne, lorsqu’on effectue un changement de référentiels galiléen à non galiléen, on ajoute des forces d’inertie dans le principe fondamental de la dynamique de Newton. Ces forces peuvent dériver d’une énergie potentielle, comme c’est le cas pour la force d’inertie centrifuge.
Dans les théories de Jauge locale, lors d’une transformation de Jauge locale, on transforme la dérivée de la fonction d’onde en une dérivée covariante. On verra que cela revient à ajouter un quadrivecteur énergie impulsion potentielle, que l’on associe à une interaction.
Ces interactions sont en quelque sorte le pendant des forces d’inertie de la mécanique newtonienne. Dans leur nature, elles diffèrent puisqu’il ne s’agit pas de la force centrifuge ou de la force de Coriolis, mais de l’interaction électromagnétique et des interactions nucléaires faible et forte.
Nota
En Electrodynamique quantique relativiste ou dans le Modèle standard, l’ajout d’un quadrivecteur énergie impulsion potentielle 𝑖𝑒𝐴 (𝜇 = 𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧) (dans les dérivées partielles ou dans les équations d’ondes) revient à ajouter une énergie d’interaction dans les Lagrangien. Cette énergie d’interaction peut représenter les interactions électromagnétique, forte et faible.
Dans le cas de l’interaction électromagnétique, l’énergie d’interaction est justement égale à l’énergie potentielle généralisée, qui à l’aide de l’équation d’Euler-Lagrange permet de retrouver la force électromagnétique.
Par contre, pour les interactions forte et faible, ce n’est pas le cas. En fait, pour ces interactions, la notion de force n’existe pas, au sens que ces interactions n’interviennent pas dans le principe fondamental de la dynamique de Newton.
IV.1.4 Quelle est la référence ?
En mécanique newtonienne, le référentiel de base, c’est le référentiel galiléen, où le principe fondamental de la dynamique s’applique sans avoir de forces d’inertie à ajouter.
Pour les théories de Jauge locale, le vide (c’est-à-dire un milieu homogène, linéaire et isotrope sans masse et charge électrique) pourrait apparaître comme la référence. L’équation d’onde à respecter serait alors celle d’Alembert.
Cependant, cela ne convient pas à la Physique quantique relativiste où l’équation d’onde à respecter est celle de Klein Gordan. Par rapport à celle d’Alembert, il apparait un terme de masse supplémentaire.
Nous ne connaissons pas de transformation de Jauge locale qui permette de passer de l’équation d’onde d’Alembert à celle de Klein Gordan. Dans ce dernier cas, la référence serait plutôt un milieu « massique », homogène, linéaire et isotrope.
Un problème analogue se pose en Physique quantique non relativiste où l’équation d’onde à respecter est celle de Schrödinger libre. Nous ne connaissons pas de transformation de Jauge locale qui permette de passer de l’équation d’onde d’Alembert à celle de Schrödinger libre.