Prolongement de la solution

Pour clore ce chapitre, évoquons brièvement les difficultés techniques qui surgissent lorsque

l’on cherche à prolonger la solution locale y

⁽¹⁾

donnée par le théorème 4.3.1 via la méthode

utilisée dans le cas Young (Proposition 4.1.6).

Une première étape consisterait à mettre en évidence l’existence d’une constante ε > 0,

indépendante dey

⁽¹⁾

, et un rayonN

₁

, tels que la boule

{y∈ Q

^γ

([0, T

0

+ε]) : (y, y

^x

)

_|[0,T0]

= (y

⁽¹⁾

,(y

⁽¹⁾

)

^x

), N[y;Q

^γx

([0, T

0

+ε])]≤N

1

}

soit stable par Γ. En réalité, si z := Γ(y) pour un élément y dans cette boule, une série

d’estimations standards, similaires à celles établies dans la preuve de la proposition 4.3.3, montre

que

N[z;Q

^γx

([0, T

₀

+ε])]≤c

₁

N[y

⁽¹⁾

;Q

^γx

([0, T

₀

])] +c

₂

ⁿ1 +ε

^λ

N[y;Q

^γx

([0, T

₀

+ε])]

²

^o, (4.49)

pour un certain coefficient λ > 0 et deux constantes c

₁

, c

₂

avec c

₁

≥ 2. Il est alors clair

qu’en raison de la présence de l’exposant 2 dans cette dernière expression, la constante ε qui

assurerait la stabilité de l’ensemble doit dépendre de y

⁽¹⁾

, ce qui est contraire à la règle que

l’on s’est prescrite.

Imaginons plus précisément que les arguments de la preuve de la proposition 4.1.6 restent

valables en partant de (4.49), ce qui signifierait que l’on ait pu trouver une constante ε >0et

une suite de rayons (N

_i

)tels que

c

₁

N

_i

+c

₂

ⁿ1 +ε

^λ

N

_i²₊₁

^o≤N

_i+1

. (4.50)

En particulier,N

_i+1

≥c

₁

N

_i

≥2N

_i

, donc la suite(N

_i

)diverge vers l’infini. Par ailleurs, pour que

l’inégalité (4.50) admette effectivement une solutionN

_i+1

positive, la relation1−4ε

λ

c

₂

(c

₁

N

_i

+

c

2

)≥0doit être satisfaite, de telle sorte que (N

i

) doit être bornée, d’où la contradiction.

Il convient également de remarquer que même si l’on autorise ε à varier d’un intervalle à

l’autre pour devenir une suite ε

_i

telle queP

i

ε

_i

=∞ (condition qui garantit le recouvrement

de [0, T]), alors les mêmes arguments que ci-dessus aboutissent à l’inégalité

N1

2

2

i

≤N

_i

≤

_ελ^c i+1

,

de telle sorte que ε

i

≤

c

(21/λ)i

, ce qui contredit bien sûr l’hypothèse P

i

ε

i

=∞.

C’est cette faille dans notre appréhension du système général (4.1) qui nous a poussés

vers l’analyse d’un cas particulier de l’équation de Volterra, pour lequel une modification du

formalisme classique (basé surδ) permet d’éliminer, en un sens à préciser, le terme qui lie(δy)

_st

à son passé sur [0, s]dans la décomposition (4.2). Cette étude fait l’objet du chapitre suivant.

4.4 Appendix

Nous avons réuni dans cette section les quelques preuves de résultats de régularité qui

restaient en suspens.

Preuve du lemme 4.1.5. Pour (4.7), il suffit bien sûr d’observer que si u < v,

|[σ

_t

−σ

_s

](Y

v

)−[σ

_t

−σ

_s

](Y

u

)| ≤ kD(σ

_t

−σ

_s

)k

∞

|Y

v

− Y

u

|

4.4. APPENDIX 95

ce qui donne le résultat.

Afin d’établir (4.8), on introduit l’opérateur R défini pour tout ϕ ∈ C

1,b

(R

^d+1

) et tous

ξ, ξ

^′

∈R

^d+1

, par

Rϕ(ξ, ξ

^′

) :=

Z

1 0

Dϕ(αξ+ (1−α)ξ

^′

)dα.

Clairement, kRϕk

∞

≤ kDϕk

∞

et kRϕ(ξ

₁

, ξ

′ 1

)−Rϕ(ξ

₂

, ξ

′ 2

)k ≤ kD

2

ϕk

∞

(|ξ

₁

−ξ

₂

|+|ξ

′ 1

−ξ

′ 2

|).

Avec cette notation, siu < v,

[σ

_t

(Y

v

)−σ

_t

( ˜Y

v

)]−[σ

_t

(Y

u

)−σ

_t

( ˜Y

u

)]

=

Rσ

_t

(Y

v

,Y^˜

v

)(Y

v

−Y^˜

v

)−Rσ

_t

(Y

u

,Y^˜

u

)(Y

u

−Y^˜

u

)

≤

Rσ

_t

(Y

v

,Y^˜

v

)([Y

v

−Y^˜

v

]−[Y

u

−Y^˜

u

])

+

[Rσ

_t

(Y

v

,Y^˜

v

)−Rσ

_t

(Y

u

,Y^˜

u

)](Y

u

−Y^˜

u

)

≤ kDσ

_t

k

∞

|[y

_v

−y˜

_v

]−[y

_u

−y˜

_u

]|

+kD

²

σ

_t

k

∞

(2|v−u|+|y

_v

−y

_u

|+|y˜

_v

−y˜

_u

|)|y

_u

−y˜

_u

|

≤ N[y−y˜;C

₁^γ

]|v−u|

^γ

kDσk

∞

+kD

²

σk

∞

(2T

^1−γ

+N[y;C

₁^γ

] +N[˜y;C

₁^γ

])T

^γ

,

où, dans la dernière inégalité, on a utilisé le fait quey

_u

−y˜

_u

= [y

_u

−y˜

_u

]−[y

₀

−y˜

₀

]. L’estimation

(4.8) est ainsi démontrée.

En ce qui concerne (4.9), remarquons tout d’abord qu’il ne s’agit pas d’une conséquence

de (4.8), dans la mesure où nous ne disposons pas nécessairement d’une inégalité du type

kD

2

(σ

_t

−σ

_s

)k

∞

≤ c|t−s|. Un argument un peu plus fin doit donc être mis en œuvre. Pour

cela, introduisons l’opérateurL défini pour toutϕ∈ C

2,b,κ

(R

^d+2

) et touss, t∈R,ξ, ξ

^′

∈R

^d+1

par

Lϕ(s, t, ξ, ξ

^′

) :=

Z

1 0

Z

1 0

D

²

ϕ(s+µ(t−s), ξ+λ(ξ

^′

−ξ))dµ dλ.

Ainsi,Lϕ(s, t, ξ, ξ

^′

)est une application bilinéaire de R×(R×R

^d

) telle quekLϕk

∞

≤ kD

²

ϕk

∞

etkLϕ(s, t, ξ

₁

, ξ

′

1

)−Lϕ(s, t, ξ

₂

, ξ

′

2

)k ≤ kD

2

ϕk

κ

(|ξ

₁

−ξ

₂

|

^κ

+|ξ

′ 1

−ξ

′

2

|

^κ

).

Avec cette notation, il est facile de vérifier que

σ(t, ξ)−σ(s, ξ)−σ(t, ξ

^′

) +σ(s, ξ

^′

) =Lσ(s, t, ξ, ξ

^′

)((t−s,0),(0, ξ

^′

−ξ))

pour tous s, t∈[0, T],ξ, ξ

′

∈[0, T]×R

^d

, de telle sorte que

[σ

_t

−σ

_s

](Y

u

)−[σ

_t

−σ

_s

]( ˜Y

u

)−[σ

_t

−σ

_s

](Y

v

) + [σ

_t

−σ

_s

]( ˜Y

v

)

(4.51)

= Lσ(s, t,Y

u

,Y^˜

u

)((t−s,0),(0,Y

u

−Y^˜

u

))

−Lσ(s, t,Y

v

,Y^˜

v

)((t−s,0),(0,Y

v

−Y^˜

v

))

≤

Lσ(s, t,Y

u

,Y^˜

u

)((t−s,0),(0,[Y

u

−Y^˜

u

]−[Y

v

−Y^˜

v

]))

+

[Lσ(s, t,Y

u

,Y^˜

u

)−Lσ(s, t,Y

v

,Y^˜

v

)]((t−s,0),(0,Y

v

−Y^˜

v

))

≤ kD

²

σk

∞

|t−s| |[y

_u

−y˜

_u

]−[y

_v

−y˜

_v

]|

+kD

²

σk

κ

(2|u−v|

^κ

+ky

_u

−y

_v

k

^κ

+|y˜

_u

−y˜

_v

|

^κ

)|t−s| |y

_v

−y˜

_v

|

≤ c

_σ

|t−s|

N[y−y˜;C

1^κ

]|u−v|

^γ

+ (2|u−v|

^κ

+|u−v|

^κγ

{N[y;C

₁^γ

]

^κ

+N[˜y;C

₁^γ

]

^κ

})N[y−y˜;C

₁^γ

]T

^γ

,

Preuve du lemme 4.3.2. Les normes que nous envisagerons dans ce qui suit seront

(implicite-ment) relatives à l’intervalle [0, T

₀

]. Les estimations (4.45) et (4.46) sont une conséquence de

la proposition 2.2.7. En effet, en identifiant Y en tant qu’élément deQ

^γx

comme dans la preuve

de la proposition 4.3.1 et en utilisant (4.41), on déduit de (2.19) :

N[[σ

t

−σ

s

](Y);Q

^γx

]≤c

σt−σs

{1 +N[y;Q

^γx

]},

avec

c

_σt−σs

= c

1 +kσ

_t

−σ

_s

k

∞

+kD(σ

_t

−σ

_s

)k

∞

+kD

²

(σ

_t

−σ

_s

)k

∞

≤ c|t−s|

1 +kDσk

∞

+kD

²

σk

∞

+kD

³

σk

∞

,

tandis que, d’après (2.20),

N[σ

_t

(Y)−σ

_t

( ˜Y);Q

^γx

]≤c

_σt

1 +N[y;Q

^γx

]

²

+N[˜y;Q

^γx

]

²

N[y−y˜;Q

^γx

],

avec

c

σt

= c

1 +kσ

t

k

∞

+kDσ

t

k

∞

+kD

²

σ

t

k

∞

+kD

³

σ

t

k

∞

≤ c

1 +kσk

∞

+kDσk

∞

+kD

²

σk

∞

+kD

³

σk

∞

.

Cherchons à présent à établir l’inégalité (4.47). A cette fin, notonsζ

_st^ij

:=D

2

(σ

_t^ij

−σ

s^ij

), de

telle sorte que [(σ

t

−σ

s

)(Y)]

^x,ijk

=ζ

_st^ij

(Y)(y

^x,.k

).Ainsi,δ([(σ

t

−σ

s

)(Y)]−[(σ

t

−σ

s

)( ˜Y)])

^x,ijkuv

=

A

^st,ijkuv

+B

uv^st,ijk

+C

uv^st,ijk

+D

^st,ijkuv

, avec

A

^st,ijk_uv

:=δ(ζ

_st^ij

(Y))

_uv

([y−y˜]

^x,.k_v

) , B

_uv^st,ijk

:=ζ

_st^ij

(Y

u

)(δ([y−y˜])

^x,.k

)

_uv

,

C

_uv^st,ijk

:= [ζ

_st^ij

(Y

v

)−ζ

_st^ij

( ˜Y

v

)]((δy˜

^x,.k

)

_uv

) , D

^st,ijk_uv

:=δ([ζ

_st^ij

(Y)−ζ

_st^ij

( ˜Y)])

_uv

(˜y

^x,.k_u

).

Etant donnée la régularité supposée deσ, nous pouvons utiliser le résultat du lemme 4.1.5 pour

affirmer

N[A

^st

,C

₂^κγ

] ≤ N[D

₂

(σ

_t

−σ

_s

)(Y);C

₁^γ

]T

^γ(1−κ)

N[y−y˜;Q

^γx

]

≤ c

σ

|t−s| {1 +N[y;Q

^γx

]} N[y−y˜;Q

^γx

],

et

N[D

^st

;C

2^κγ

] ≤ N[D

₂

(σ

_t

−σ

_s

)(Y)−D

₂

(σ

_t

−σ

_s

)( ˜Y);C

^κγ1

]N[˜y;Q

^γx

]

≤ c

_σ

|t−s| {1 +N[y;Q

^γx

]

^κ

+N[˜y;Q

^γx

]

^κ

} N[y−y˜;Q

^γx

]N[˜y;Q

^γx

].

Il est par ailleurs facile de constater que N[B

st

;C

1^κγ

] ≤c

_σ

|t−s| N[y−y˜;Q

^γx

], tandis que

N[C

^st

;C

₁^κγ

]≤c

_σ

|t−s| N[˜y;Q

γ

]N[y−y˜;Q

^γx

], d’où

N[([σ

_i^t

−σ

_i^s

](Y)−[σ

^t_i

−σ

_i^s

]( ˜Y))

^x

;C

₁^κγ

]

≤c

_σ

|t−s|

1 +N[y;Q

^γx

]

^1+κ

+N[˜y;Q

^γx

]

^1+κ

N[y−y˜;Q

^γx

]. (4.52)

En ce qui concerner

_uv^st

:= ([σ

_t

−σ

_s

](Y)−[σ

_t

−σ

_s

]( ˜Y))

^♯

, nous savons que son expression est

donnée, en notant ϕ

_uv

(r) :=Y

u

+r(Y

v

− Y

u

),ϕ˜

_uv

(r) := ˜Y

u

+r( ˜Y

v

−Y^˜

u

) etσ

_st

:=σ

_t

−σ

_s

, par

r

st uv

=r

^st,_uv¹

+r

^st,_uv²

+r

^st,_uv³

, avec

r

_uv^st,1,ij

=

Z

1 0

dr[D

₁

σ

_st^ij

(ϕ

_uv

(r))−D

₁

σ

_st^ij

( ˜ϕ

_uv

(r))](v−u),

4.4. APPENDIX 97

r

_uv^st,2,ij

=D

₂

σ

_st^ij

(Y

u

)(y

^♯_uv

)−D

₂

σ

^ij_st

( ˜Y

u

)(˜y

_uv^♯

),

r

^st,_uv^3,ij

=

Z

1 0

dr{[D

₂

σ

^ij_st

(ϕ

_uv

(r))−D

₂

σ

_st^ij

(Y

u

)]((δy)

_uv

)−[D

₂

σ

_st^ij

( ˜ϕ

_uv

(r))−D

₂

σ

_st^ij

( ˜Y

u

)]((δy˜)

_uv

)}.

Il est tout d’abord aisé d’établirN[r

st,1

;C

2^γ+γκ

]≤c

_σ

|t−s| N[y−y˜;Q

^γx

]. Pour estimerr

st,2

, on

utilise l’écriture

r

^st,_uv^2,ij

= [D

2

σ

^ij_st

(Y

u

)−D

2

σ

^ij_st

( ˜Y

u

)](y

_uv^♯

) +D

2

σ

_st^ij

( ˜Y

u

)([y

_uv^♯

−y˜

_uv^♯

]),

qui mène directement à N[r

st,2

;C

2^γ+γκ

]≤c

_σ

|t−s| {1 +N[y;Q

^γx

]} N[y−y˜;Q

^γx

]. Enfin, on

dé-compose r

^st,3

en r

^st,3

=r

^st,3,1

+r

^st,3,2

, avec

r

_uv^st,3,1,ij

=

Z

1 0

dr[D

₂

σ

^ij_st

(ϕ

_uv

(r))−D

₂

σ

_st^ij

)(Y

u

)](δ(y−y˜)

_uv

),

r

^st,_uv^3,2,ij

=

Z

1 0

dr ^hD

₂

σ

^ij_st

(ϕ

_uv

(r))−D

₂

σ

^ij_st

(Y

u

)−D

₂

σ

_st^ij

( ˜ϕ

_uv

(r)) +D

₂

σ

_st^ij

( ˜Y

u

)ⁱ((δy˜)

_uv

).

Clairement, N[r

st,3,1

;C

2^γ+γκ

] ≤ c

_σ

|t−s| {1 +N[y;Q

^γx

]} N[y−y˜;Q

^γx

]. Pour conclure, il suffit

d’observer que l’incrément double qui apparaît entre crochets dansr

^st,uv^3,2

peut être traité

exac-tement comme (4.51) (on remplace [σ

_t

−σ

_s

]par D

₂

[σ

_t

−σ

_s

]etY

v

par ϕ

_uv

(r)), ce qui conduit

à

N[r

^st,3,2

;C

2^γ+γκ

]≤c

_σ

|t−s| {1 +N[y;Q

^γx

]

^κ

+N[˜y;Q

^γx

]

^κ

} N[y−y˜;Q

^γx

]N[˜y;Q

^γx

].

Nous venons ainsi de prouver que l’inégalité

N[r

^st

;C

₂^γ+γκ

]≤c

_σ

|t−s|

1 +N[y;Q

^γx

]

^1+κ

+N[˜y;Q

^γx

]

^1+κ

N[y−y˜;Q

^γx

],

Chapitre 5

Le cadre convolutionnel

5.1 Introduction

Nous poursuivons notre analyse de l’équation de Volterra rugueuse

y

ⁱ_t

=a

ⁱ

+

Z

t

0

σ

^ij

(t, u, y

_u

)dx

^j_u

, t∈[0, T], (5.1)

avec x un bruit γ-höldérien m-dimensionnel, en nous concentrant sur le cas particulier où le

champ de vecteursσ se décompose en

σ

^ij

(t, u, y) =φ(t−u)ψ

^ij

(y), i= 1, . . . , d, j = 1, . . . , m, (5.2)

avec

– ψ:R

^d

→R

^d,m

une application régulière,

– φ:R

⁺

→Run noyau que l’on peut écrire sous la forme

φ(v) =

Z

A

dξ S

_v

(ξ) ˜φ(ξ), (5.3)

pour une certaine fonction S :R

⁺

× A →C qui satisfait les trois conditions : pour tout

ξ∈ A, pour tous t, t

^′

≥0, pour toutα ∈[0,1],

|S

_t

(ξ)| ≤1 , |S

_t

(ξ)−1| ≤c

_α

|ξ|

^α

t

^α

, S

_t+t′

(ξ) =S

_t

(ξ)·S

_t′

(ξ). (5.4)

Notez que les trois conditions (5.4) sont en particulier satisfaites par le noyau de Laplace

(A =R

⁺

,S

_t

(ξ) =e

−ξt

) et le noyau de Fourier (A= R, S

_t

(ξ) =e

−2iπξ

), qui sont, à vrai dire,

les deux exemples que nous avons à l’esprit.

L’objectif de ce chapitre est de montrer que pour ce modèle particulier, les difficultés

tech-niques liées au prolongement de la solution donnée par le théorème 4.3.1 peuvent être

surmon-tées pour donner naissance à une solution globale définie sur un intervalle[0, T]quelconque. A

cette fin, nous avons d’abord pris appui sur les deux observations élémentaires successives (on

suppose pour l’instant xdifférentiable) :

– Siσest donnée par (5.2), alors en appliquant le théorème de Fubini, le système (5.1) peut

s’écrire sous la forme

(

y

ⁱ_t

=a

ⁱ

+R

A

y˜

ⁱ_t

(ξ) ˜φ(ξ)dξ

˜

y

i t

(ξ) =R

t 0

S

_t−v

(ξ)dx

^j_v

ψ

ij

(y

_v

). (5.5)

99

– Avec ces notations, et àξ ∈ Afixé, les incréments de y˜

i

(ξ) se décomposent en

˜

y

_tⁱ

(ξ)−y˜

ⁱ_s

(ξ) =

Z

t s

S

_t−u

(ξ)dx

^j_u

ψ

^ij

(y

_u

) +

Z

s 0

[S

_t−u

(ξ)−S

_s−u

(ξ)] dx

^j_u

ψ

^ij

(y

_u

)

=

Z

t s

S

t−u

(ξ)dx

^j_u

ψ

^ij

(y

u

) + [S

t−s

(ξ)−1]

Z

s 0

S

u−s

(ξ)dx

^j_u

ψ

^ij

(y

u

),

où pour obtenir cette dernière relation, on a mis à contribution la propriété d’additivité

S

_t+t′

(ξ) =S

t

(ξ)·S

_t′

(ξ). En posanta

ts

(ξ) :=S

t−s

(ξ)−1, on obtient

˜

y

ⁱ_t

(ξ)−y˜

_sⁱ

(ξ) =

Z

t s

S

_t−u

(ξ)dx

^j_u

ψ

^ij

a+

Z

A

dξφ^˜(ξ) ˜y

_u

(ξ)

+a

_ts

(ξ) ˜y

_s

(ξ). (5.6)

Si l’on compare le système (4.2) à la formulation (5.6), il apparaît immédiatement que la

dépendance des variations du processus inconnu (ici y˜) entre deux temps s < t vis-à-vis de

son "passé" (sur [0, s]) est réduite à une dépendance vis-à-vis du seul "présent" s. C’est cette

observation heuristique qui va permettre la mise en évidence d’une solution cette fois globale

pour le système, d’abord sous la forme (5.6), puis, en posant simplementy

_t

:=R

A

dξφ^˜(ξ) ˜y

_t

(ξ),

sous la forme initiale (5.1), et ce lorsque xest un processus γ-höldérien avec γ >1/3.

Bien entendu, la transformation du système (5.1) en (5.6) présente un coût non négligeable :

le processus inconnu n’est plus à valeurs fini-dimensionnelles mais à valeurs fonctionnelles, ce

qui nous conduira à manipuler, outre les espaces de processus höldériens introduits dans la

sous-section 2.1.2, des espaces de fonctions particuliers liés à φ^˜. Sous l’hypothèse d’intégrabilité

R

A

dξ(1+|ξ|

^α

)|φ^˜(ξ)| <∞, avecαun paramètre à préciser, nous serons ainsi incités à introduire

l’espace

L

α

=L

_α,φ˜

:={h:A →R:

Z

A

dξ(1 +|ξ|

^α

)|φ^˜(ξ)| |h(ξ)| <∞}. (5.7)

La résolution du système (5.6) s’effectuera ensuite dans un espace de processus höldériens à

valeurs dans L

α

.

L’autre idée fondamentale qui va guider notre analyse de l’équation (5.6) est inspirée des

considérations développées dans [51] dans le cadre des EDPS (nous reviendrons en détail sur

ces considérations dans la partie suivante). Elle consiste à introduire un nouvel opérateur

d’in-crément, noté˜_δ, qui agit sur les processus de deux variables à valeurs fonctionnelles de la façon

suivante : si s < t,

(˜δ^˜h)

ts

(ξ) := (δ^˜h)

ts

(ξ)−a

ts

(ξ) ˜h

s

(ξ). (5.8)

Avec cette notation, le système (5.6) devient alors

(˜δy˜

ⁱ

)

_ts

(ξ) =

Z

t s

S

_t−u

(ξ)dx

^j_u

ψ

^ij

a+

Z

A

dξφ^˜(ξ)˜y

_u

(ξ)

. (5.9)

En réalité, si nous nous permettons de substituer à l’incrément classique δ une formulation

"convolutionnelle" basée sur _δ˜, c’est parce que ce dernier objet rend lui aussi possible la

construction d’une théorie de l’intégration, par le biais d’un opérateur d’inversion que l’on

notera _Λ˜ (voir Section 5.2). En cela, notre démarche est à rapprocher des idées contenues dans

[75] : le traitement du système va passer par une préalable adaptation des outils classiques de

la théorie (δ,Λ, espaces höldériens, intégrales itérées) aux comportements algébriques induits

par ˜_δ, avec notamment la mise en avant d’un chemin x˜ = (˜x

¹

,˜x

²

) mieux adapté au problème

Dans le document Etude de systèmes différentiels fractionnaires (Page 96-103)