Construction de l’intégrale

6.7 Le cas rugueux d’ordre 3

6.7.1 Construction de l’intégrale

On ﬁxe un coeﬃcient γ ∈ (1/4,1/3], qui représente donc implicitement la régularité de

x. En se référant à la démarche impulsée dans les sections précédentes, nous savons que pour

être mesure d’inverser δ^ˆvia Λ^ˆ, nous devons ici chercher à identiﬁer un terme "d’ordre 4" lors

de la dissection de l’intégrale, ou plus exactement d’ordre γ + 3κ, avec κ un coeﬃcient tel

que κ < γ et γ + 3κ > 1. Dans ce contexte, le point crucial, à la base des constructions

de cette section, est l’existence (évidente) d’un élément κ ∈ (0,1/4) qui satisfait ces deux

dernières conditions. L’espace B

2κ,p

conserve alors la propriété fondamentale retranscrite par la

proposition 6.2.4, et l’on peut envisager l’éventualité d’une solution évoluant dans cet espace.

L’opérateurX

xa,i

introduit dans la section 6.4, et qui représente moralement l’intégraleX

_ts^xa,i

=

R

S

dx

ⁱ_u

(a

⊗Id), devient un opérateur d’ordre 3 :

X

^xa,i

∈ C

₂^γ⁺²^κ

(B

2κ,p

× B

,B

).

En tenant compte de cette observation, mais aussi en ayant à l’esprit les considérations de la

sous-section 2.2.3, il semble approprié d’introduire l’espace de processus contrôlés suivant :

Q

^κ2κ,p

:={y∈C^ˆ

1^κ

(B

2κ,p

) : (ˆδy)

_ts

=X

_ts^x,i

y

^x,i_s

+X

_ts^xx,ij

y

^xx,ij_s

+y

_ts^♯

,

(δy

^x,i

)

= (δx

)

·y

^xx,ji_s

+y

_ts^x,♯,i

,

y

^x,i

∈ C

1⁰

(B

2κ,p

)∩ C

1^κ

(B

) , y

^xx,ij

∈ C

1⁰

(B

2κ,p

)∩ C

1^κ

(B

) , y

^♯

∈ C

₂^γ

(B

2κ,p

)∩ C

2³^κ

(B

) ,

y

^x,♯,i

∈ C

2²^κ

(B

)}, (6.98)

avec la norme naturelle qui lui est associée.

Suivant la procédure usuelle, on suppose dans un premier temps le processusxdiﬀérentiable

et l’on déﬁnit les opérateurs X

^x,i

etX

^xx,ij

par les formules

X

_ts^x,i

:=

Z

t s

S

_tu

dx

ⁱ_u

, X

_ts^xx,ij

:=

Z

t s

S

_tu

dx

^j_u

(δx

ⁱ

)

_us

. (6.99)

Par ailleurs, comme dans la section 6.4, l’entier p est choisi tel que 4κp > n, et de cette façon,

B

2κ,p

est une algèbre de Banach. On suppose enﬁn quef

∈ X

(voir la déﬁnition 6.3.5) et l’on

pose [f

_i^′′

(ϕ)](ξ) :=∂

_y²

σ

(ξ, ϕ(ξ)).

Avec ces notations, siy∈ Q

^κ2κ,p

, un développement de Taylor élémentaire fournit

(δf

(y))

_us

= (X

_us^x,j

y

_s^x,j

)·f

_i^′

(y

) + (X

^xx,jk

y

_s^xx,jk

)·f

_i^′

(y

) +a

_us

y

·f

_i^′

(y

) +¹

2⁽^δy⁾

2 us

·f

_i^′′

(y

)

+y

_us^♯

·f

_i^′

(y

) +

Z

1 0

dr r

Z

1 0

dr

^′

f

_i^′′

(y

+rr

^′

(δy)

_us

)−f

_i^′′

(y

)

·(δy)

²_us

=x

¹,j us

·y

^x,j_s

·f

^′

(y

) +x

²,jk us

·y

_s^xx,jk

·f

_i^′

(y

) +a

y

·f

_i^′

(y

) +¹

2⁽^δy⁾

2 us

·f

_i^′′

(y

)

+ (X

_us^ax,j

y

^x,j_s

)·f

_i^′

(y

) +X

^axx,jk

(y

_s^xx,jk

)·f

_i^′

(y

)

+y

_us^♯

·f

_i^′

(y

) +

Z

1 0

dr r

Z

1 0

dr

^′

f

_i^′′

(y

+rr

^′

(δy)

_us

)−f

_i^′′

(y

)

·(δy)

²_us

6.7. LE CAS RUGUEUX D’ORDRE 3 171

et donc, en isolant les termes d’ "ordre 3",

(δf

(y))

_us

=x

¹,j us

·y

^x,j_s

·f

^′

(y

) +x

²,jk us

·y

^xx,jk_s

·f

_i^′

(y

) +a

_us

y

·f

_i^′

(y

)

+ ¹

2⁽^δx

)

_us

y

_s^x,j

·(δx

)

_us

y

_s^x,k

·f

_i^′′

(y

) +f

(y)

^♯_us

.

=x

¹,j us

·y

^x,j_s

·f

_i^′

(y

) +x

²,jk us

·ⁿy

^xx,jk_s

·f

_i^′

(y

) +y

^x,j_s

·y

^x,k_s

·f

_i^′′

(y

)^o+a

_us

y

·f

_i^′

(y

)

+f

(y)

^♯_us

, (6.100)

où f

(y)

^♯_ts

est un terme résiduel relativement long (mais facile) à expliciter, et que l’on peut

décomposer enf

(y)

^♯_ts

=P

k=1

f

(y)

^♯,k_ts

, avec (lorsque l’on revient à un processusx γ-höldérien)

N[f

(y)

^♯,k_ts

;B

p/k

]≤c

_x,f

|t−s|

³^κ

1 +N[y;Q

^κ2κ,p

]

. (6.101)

Il convient bien sûr de préciser que dans le calcul qui nous a menés à (6.100), nous avons

introduit les opérateurs

X

_ts^ax,i

:=

Z

t s

a

_tu

dx

ⁱ_u

, X

_ts^axx,ij

:=

Z

t s

a

_tu

dx

^j_u

(δx

ⁱ

)

_us

, (6.102)

et utilisé la relation de symétrie

x

²,jk

+x

²,kj

= (δx

)

(δx

)

.

Quant à l’estimation (6.101), elle est (en partie) obtenue grâce aux hypothèses de régularité

naturelles :

X

^ax,i

∈ C

₂^γ⁺²^κ

(L(B

2κ,p

× B

,B

)), et X

^axx,ij

∈ C

₂²^γ⁺²^κ

(L(B

2κ,p

,B

)). (6.103)

A présent, en vue d’interpréter J

( ˆdx

ⁱ

f

(y)) en présence de processus irréguliers, il suﬃt

d’injecter l’expression (6.100) dans la décomposition

Z

t s

S

_tu

dx

ⁱ_u

f

(y

) =X

_ts^x,i

f

(y

) +

Z

t s

S

_tu

dx

ⁱ_u

δf

(y)

_us

,

pour obtenir

Z

t s

S

_tu

dx

ⁱ_u

f

(y

) =X

_ts^x,i

f

(y

) +X

_ts^xx,ij

(y

^x,i_s

·f

_j^′

(y

)) +X

_ts^xa,i

(y

, f

_i^′

(y

))

+X

_ts^xxx,ijk

(y

^xx,ij_s

·f

_k^′

(y

) +y

^x,i_s

·y

_s^x,j

·f

_k^′′

(y

)) +r

_ts

, (6.104)

avec r

_ts

:=R

S

_tu

dx

ⁱ_u

f

(y)

^♯us

. L’opérateurX

^xxx,ijk

est ici déﬁni par

X

_ts^xxx,ijk

:=

Z

t s

S

dx

^k_u

x

²,ij

, (6.105)

et l’on associe à cet opérateur l’hypothèse de régularité légitime

X

^xxx,ijk

∈ C

2³^γ

(L(B

2κ,p

,B

2κ,p

))∩ C

2³^γ

(L(B

,B

)). (6.106)

Conformément aux considérations de la section 6.4.1, il reste uniquement à établir le fait queδr^ˆ

montrer que δr^ˆ ∈ C

₃^γ⁺³^κ⁻^n/p

(B

). Il suﬃra ensuite de choisir p assez grand pour queγ+ 3κ−

n/p >1.

Pour calculerˆ_δr, nous supposerons l’ensemble des conditions algébriques de l’hypothèse 10

satisfaites, et nous ajouterons à ces relations le comportement algébrique de X

xxx

:

(ˆδX

^xxx,ijk

)

tus

=X

_tu^x,k

x

²,ij

+X

_tu^xx,jk

x

¹,i

. (6.107)

En ce qui concerne les conditions analytiques, nous avons déjà mentionné l’hypothèse (6.106),

à laquelle nous ajoutons une version légèrement modiﬁée des conditions de l’hypothèse 10 :

X

^x,i

∈ C

2^γ

(L(B

,B

))∩ C

2^γ

(L(B

2κ,p

,B

2κ,p

)) (6.108)

X

^x,i

∈ C

2^γ⁻^n/⁽²^p⁾

(L(B

p/2

,B

))∩ C

2^γ⁻^n/p

(L(B

p/3

,B

)) (6.109)

X

^xx,ij

∈ C

2²^γ

(L(B

,B

))∩ C

2²^γ

(L(B

2κ,p

,B

2κ,p

))∩ C

2²^γ⁻^n/⁽²^p⁾

(L(B

p/2

,B

)). (6.110)

Par ailleurs, en vue de clariﬁer la présentation du développement, nous aurons recours à la

notation ≈pour signiﬁer "congru à un terme d’ordre au moins γ+ 3κ−n/p", ou en d’autres

termes : pour tous h, l∈ C

(B

),h≈l⇔h−l∈ C

3^γ⁺³^κ⁻^n/p

(B

). Avec cette convention, notre

objectif est donc d’établir la relation _δrˆ ≈0.

En revenant à (6.104), on a, par (6.18),

−(ˆδr)

_tus

= −X

_tu^x,i

δ(f

(y))

_us

+ (ˆδX

^xx,ij

)

_tus

(y

_s^x,i

·f

_j^′

(y

))−X

_tu^xx,ij

δ(y

^x,i

·f

_j^′

(y))

_us

+(ˆδX

^xxx,ijk

)

_tus

(y

_s^xx,ij

·f

_k^′

(y

) +y

^x,i_s

·y

^x,j_s

·f

_k^′′

(y

))

−X

_tu^xxx,ijk

δ(y

^xx,ij

·f

_k^′

(y) +y

^x,i

·y

^x,j

·f

_k^′′

(y))

+(ˆδX

^xa,i

)

_tus

(y

, f

_i^′

(y

))−X

_tu^xa,i

((δy)

_us

, f

_i^′

(y

))−X

_tu^xa,i

(y

, δ(f

_i^′

(y))

_us

).

On peut d’ores et déjà observer que les cinquième et huitième termes de cette dernière somme

admettent la régularité escomptée. En utilisant les relations algébriques satisfaites par les

opé-rateurs, ainsi que la décomposition (6.100), on déduit ensuite

−(ˆδr)

tus

≈ −X

_tu^xx,ij

((δy

^x,i

)

_us

·f

_j^′

(y

))−X

_tu^xx,ij

(y

_u^x,i

·δ(f

_i^′

(y))

_us

)

+X

_tu^xx,jk

x

¹,i

· y

^xx,ij_s

·f

_k^′

(y

) +y

_s^x,i

·y

_s^x,j

·f

_k^′′

(y

)

+X

_tu^xa,i

(a

y

, f

_i^′

(y

))−X

_tu^xa,i

((δy)

, f

_i^′

(y

))

≈ −X

_tu^xx,ij

(y

_us^x,♯,i

·f

_j^′

(y

))−X

_tu^xa,i

((ˆδy)

_us

, f

_i^′

(y

))

−X

_tu^xx,ij

y

_u^x,i

·δ(f

_j^′

(y))

−x

¹,k

·y

_s^x,k

·y

_s^x,i

·f

_j^′′

(y

)

≈ −X

_tu^xx,ij

y

_u^x,i

·ⁿδ(f

_j^′

(y))

_us

−x

¹,k

·y

_s^x,k

·f

^′′

(y

)^o.

Finalement, il est facile de voir que (δf

′

(y))

_us

=x

¹,k us

·y

_s^x,k

·f

′′ i

(y

) +f

′ i

(y)

^♯_us

, où f

′ i

(y)

♯

est tel

que

N[f

_i^′

(y)

^♯_ts

;B

p/2

]≤c

_x,f

|t−s|

²^κ

N[y;Q

^κ2κ,p

]

,

En se référant à l’hypothèse (6.110), cette inégalité permet de conclure ˆ_δr ≈0, ce qui achève

le raisonnement.

6.7. LE CAS RUGUEUX D’ORDRE 3 173

Hypothèse 12. Soit x ∈ C

1^γ

(R

), γ ∈ (1/4,1/3]. On admet qu’il existe une suite x

de

processus diﬀérentiables vériﬁant

N[x

^ε

−x;C

1^γ

([0, T];R

)]−→

^ε^→⁰

0 telle que les opérateurs

X

^x^ε^,i

, X

^ax^ε^,i

, X

^x^ε^x^ε^,ij

, X

^x^ε^a,i

, X

^ax^ε^x^ε^,ij

, X

^x^ε^x^ε^x^ε^,ijk

déﬁnis par (6.99), (6.102) et (6.105), convergent relativement aux normes associées aux

condi-tions (6.108)-(6.110), (6.103) et (6.106), et ce pour un triplet (γ, κ, p) tel que

γ ∈(1/4,1/3], κ∈(0,1/4), p∈N

^∗

, κ > n/p , γ−κ > n/p , γ+ 3κ−n/p >1.

Les processus limites, notés

X

^x,i

, X

^ax,i

, X

^xx,ij

, X

^xa,i

, X

^axx,ij

, X

^xxx,ijk

,

vériﬁent alors les relations algébriques qui apparaissent dans l’hypothèse 10, ainsi que la relation

(6.107).

Nous venons alors de prouver :

Proposition 6.7.1. On ﬁxe un intervalle I = [l

, l

] de [0, T]. Sous l’hypothèse 12 et en

supposant que f = (f

₁

, . . . , f

) avec f

∈ X

, on pose, pour tout y∈ Q

^κ2κ,p

(I), J( ˆdx

ⁱ

f

(y)) :=

(Id−Λˆ^ˆδ)(J), où, pour touss < t,

J

:=X

_ts^x,i

f

(y

) +X

_ts^xx,ij

(y

_s^x,i

·f

_j^′

(y

)) +X

_ts^xa,i

(y

, f

_i^′

(y

))

+X

_ts^xxx,ijk

(y

_s^xx,ij

·f

_k^′

(y

) +y

^x,i_s

·y

^x,j_s

·f

_k^′′

(y

)). (6.111)

Alors :

1. J( ˆdx

ⁱ

f

(y)) est bien déﬁni en tant qu’élément deC

₂^γ

(I;B

2κ,p

) et coïncide avec l’intégrale

de Riemann R

S

_tu

dx

ⁱ_u

f

(y

) lorsquex est un processus diﬀérentiable.

2. Pour tout ψ ∈ B

2κ,p

, il existe un unique processus z ∈ Q

^κ2κ,p

(I) tel que z

_l₁

= ψ et

(ˆδz)

_ts

=J

( ˆdx

ⁱ

f

(y)) sis < t∈I.

3. On dispose de l’estimation

N[z;Q

^κ2κ,p

(I)]≤c

f,X

1 +N[y;C

⁰1

(I;B

2κ,p

)]

+T

^α

N[y;Q

^κ2κ,p

(I)]

, (6.112)

pour un certain coeﬃcient α >0.

6.7.2 Résolution du système différentiel

Une fois munis de l’estimation (6.112), la résolutionlocaledu système découle des arguments

de point ﬁxe standards, et aboutit à l’énoncé :

Théorème 6.7.1. On suppose l’hypothèse 12 satisfaite et le champ f = (f

₁

, . . . , f

) composé

d’éléments de X

. Pour tout ψ∈ B

2κ,p

, il existe un tempsT

>0 tel que le système

(ˆδy)

=J

( ˆdx

ⁱ

f

(y)) , y

=ψ, (6.113)

interprété grâce à la proposition 6.7.1, admet une unique solution y dans Q

L’application de ce théorème abstrait passe ensuite par le prolongement du chemin

X

:= (X

^x^ε^,i

, X

^ax^ε^,i

, X

^x^ε^x^ε^,ij

, X

^x^ε^a,i

, X

^ax^ε^x^ε^,ij

, X

^x^ε^x^ε^x^ε^,ijk

)

à tout 3-rough path géométrique x= (x

,x

)∈ C

2^γ

(R

)× C

2²^γ

(R

^m,m

)× C

2³^γ

(R

^m,m,m

)(voir

l’hypothèse 2). On suit pour cela la même stratégie que dans la section 6.6, en reprenant les

formules (6.84)-(6.87), auxquelles s’ajoutent les deux expressions

X

_ts^axx,ij

:=

Z

t s

∆S

_tu

x

²,ij us

du,

X

_ts^xxx,ijk

:=x

³,ijk ts

+

Z

t s

∆S

_tu

x

³,ijk us

du.

Chapitre 7

Schémas d’approximation

7.1 Introduction

On poursuit dans ce chapitre l’analyse de l’équation de la chaleur rugueuse (5.91), en

adop-tant cette fois un point de vue plus "discret", à travers la mise en place de schémas numériques

facilement implémentables visant à approcher la solution y. L’eﬃcacité de ces schémas va

ré-sulter du rapprochement de deux types d’idées : D’une part, les considérations relatives à la

discrétisation du système rugueux standard, telles qu’elles apparaissent dans le chapitre 3 ou

dans [25] ; d’autre part, des méthodes classiques d’approximation de solutions d’EDPS dirigées

par un bruit de Wiener, et en particulier la méthode de Galerkin. Il serait vain de tenter de

fournir une liste exhaustive des très nombreux travaux aﬀérents à ce dernier sujet, et nous nous

contenterons de citer les références que constituent [52] ou [53].

Comme nous le verrons dans les sections 7.3 et 7.4, la structure des schémas sera en fait

directement dictée par les constructions de l’intégrale rugueuseR

S

_t₋_u

dx

ⁱ_u

f

(y

)établies dans

le chapitre précédent. Si l’on se réfère par exemple à (6.25) ou à (6.75), il apparaît dans les

deux cas que l’intégrale se décompose sous la forme

(ˆδy)

=

Z

t s

S

t−u

dx

ⁱ_u

f

(y

) =M

+R

, (7.1)

avec M un terme "principal" et R= ˆΛ(J)un terme "résiduel" (à ne pas confondre cependant

avec le résidu associé à la structure de processus contrôlé pour (6.75)) caractérisé par une grande

régularité vis-à-vis du couple (s, t). De façon tout à fait naturelle, les schémas que nous nous

apprêtons à étudier ne retiendrons que le terme principal entre deux temps de discrétisation,

pour s’écrire :

y

_tⁿn i+1

=S

_tn i+1tn i

y

_tⁿn i

+M

_tn i+1tn i

, y

ⁿ₀

=ψ,

où 0 = t

ⁿ₀

< t

ⁿ₁

< . . . < t

ⁿ_n

= T est une partition de [0, T] dont le pas tend vers 0. Le

raisonnement est en cela proche des récents travaux de Jentzen et Kloeden [55, 56, 57, 58] pour

le traitement d’un bruit de Wiener : pour obtenir des schémas numériques particulièrement

eﬃcaces, les deux auteurs prennent en eﬀet appui sur un développement de Taylor de la solution

du système, ce qui correspond exactement à une décomposition de la forme (7.1).

A la diﬀérence du chapitre précédent, l’équation sera ici considérée surL

([0,1]), avec des

conditions au bord de type Dirichlet, et ce pour proﬁter de la diagonalisabilité du semigroupe

associé. Il n’est pas diﬃcile de constater (ce que nous ferons dans la section 7.2) qu’une grande

partie des propriétés et du formalisme présentés dans la section 6.2 trouve son équivalent dans

ce contexte, ce qui permettra en particulier de transposer sans justiﬁcation supplémentaire

les résultats des sections 6.3 et 6.5. On ne pourra en revanche retranscrire les résultats des

sections 6.4 et 6.7, pour lesquels il importait que le paramètre p(dansL

(R

ⁿ

)) soit très grand.

L’étude de schémas d’approximation n’est de toute façon véritablement permise que lorsque

l’on dispose au préalable d’un résultat d’existenceglobale d’une solution, que ne fournissent pas

les théorèmes 6.4.1 et 6.7.1. Nous serons ainsi contraints de nous limiter aux deux situations

suivantes :

(i) Cas Young : le système se présente sous la forme

(ˆδy)

_ts

=

Z

t s

S

_t₋_u

dx

ⁱ_u

f

(y

), y

₀

=ψ, (7.2)

avec ψ une condition initiale dans un espace de Sobolev à préciser,x un processusγ-höldérien

pour un certain coeﬃcient γ >1/2, etf

les opérateurs de Nemytskii associés à des fonctions

˜

f

:R→R régulières, c’est-à-dire

f

(y)(ξ) := ˜f

(y(ξ)) pour tout y∈L

([0,1]).

(ii) Cas rugueux en présence d’un champ régularisé : Le système s’écrit

(ˆδy)

=

Z

t s

S

t−u

dx

ⁱ_u

S

f

(y

), y

=ψ, (7.3)

où les notations ont la même signiﬁcation que ci-dessus, mais où γ ∈ (1/3,1/2] et ε est un

paramètre supplémentaire strictement positif ﬁxé.

La stratégie que nous allons adopter dans les deux cas sera divisée en trois étapes, chacune

d’entre elles correspondant à un type de discrétisation diﬀérent :

(a) D’abord, une discrétisation du processus directeur x, rendue possible grâce aux propriétés

de continuité de l’application d’Itô associée au système. Nous reviendrons d’ailleurs en détail

sur ce dernier point, quelque peu négligé dans le chapitre précédent.

(b) Ensuite, une discrétisation en temps suivant la décomposition (7.1), comme nous l’avons

évoqué ci-dessus. Les systèmes (7.2) et (7.3) recevront à cette étape des traitements bien

dis-tincts : pour (7.2), la simplicité de la construction (6.25) de l’intégrale pousse à l’étude d’un

prolongement continu du schéma, tandis que pour (7.3), nous aurons plutôt recours à un

rai-sonnement discret, plus proche des preuves de [25].

(c) Enﬁn, une discrétisation en espace, qui consiste globalement à projeter le système sur un

espace de dimension ﬁnie, conformément à la méthode de Galerkin. L’eﬃcacité de la procédure

sera ici assurée par la régularité (en espace) de la solution.

A notre connaissance, il s’agit là de la première tentative de mise en place de schémas

d’approximation pour des EDP impliquant un bruit fractionnaire. Grâce aux estimations du

chapitre 3, nous serons en outre en mesure d’exhiber un taux de convergence explicite pour

cha-cun de ces schémas lorsque x désigne un mBf. Dans l’énoncé de ces résultats, la distance entre

la solution exacteyet son approximationy

M,N

sera comme dans les chapitres précédents

expri-mée à l’aide d’une norme höldérienne, topologie inhérente à la méthodologie rough paths. Ceci

rend malheureusement délicate la comparaison avec les taux obtenus par Jentzen et Kloeden

7.2. CADRE D’ÉTUDE 177

ou Hausenblas dans le cas d’un bruit de Wiener (voir les références ci-dessus), leurs résultats

faisant appel à la norme du supremum sur [0, T]. Nous devrons pour notre part nous contenter

de conjectures basées sur l’observation de l’erreur empirique pour quelques simulations (voir

les sous-sections 7.3.6 et 7.4.6).

Le chapitre est organisé de la façon suivante : La section 7.2 viendra très brièvement préciser

le cadre dans lequel s’incrit notre analyse ; elle soulignera surtout les analogies avec le modèle

étudié dans le chapitre précédent. La section 7.3 est dédiée à l’étude d’un schéma numérique

pour le système dans la conﬁguration (i); seule une discrétisation basée sur un développement

d’ordre 1 sera ici requise, de telle sorte que l’algorithme pourra être perçu comme une simple

adaptation du schéma d’Euler classique. Nous traiterons ensuite, dans la section 7.4, la

conﬁ-guration (ii); le schéma associé mettra logiquement en scène un développement d’ordre 2, et

ressemblera ainsi davantage, comme dans le chapitre 3, au schéma de Milstein standard. Enﬁn,

l’appendix contient la preuve détaillée du résultat fondamental de la section 7.4.

7.2 Cadre d’étude

On considérera l’opérateur laplacien ∆ sur l’espace hilbertien l’espace hilbertien B :=

L

([0,1]) avec conditions au bord de Dirichlet. Cet opérateur est diagonalisable, et l’on ﬁxe

d’ailleurs dès à présent une base orthonormée de Bconstituée de vecteurs propres :

e

(ξ) :=√

2 sin(πnξ) (n∈N

^∗

), et les valeurs propres relatives λ

:=π

n

.

On notera (dans cette section du moins) (y

ⁿ

)

les coeﬃcients d’une fonction y dans cette

base. Pour tout N ∈ N

^∗

, P

désignera l’opérateur de projection sur le sous-espace V

:=

Vect{e

, 1≤n≤N}.

Munis de ces notations, les espaces de Sobolev fractionnaires construits sur B deviennent

très faciles à caractériser :

Définition 7.2.1. Pour tout κ ≥ 0, on notera B

l’espace de Sobolev associé à l’opérateur

fractionnaire (−∆)

, espace que l’on peut caractériser par

B

={y∈L

([0,1]) :

∞

X

n=1

λ

²_n^κ

(y

ⁿ

)

<∞}, (7.4)

et l’on munit cet espace de sa norme naturelle

kyk

²Bκ

=k(−∆)

^κ

yk

²B

=

∞

X

n=1

λ

²_n^κ

(y

ⁿ

)

. (7.5)

En outre, pour tout κ <0, on pose B

:= (B

−κ

)

^′

, et B=B

=L

([0,1]).

Les propriétés élémentaires de ces espaces sont tout à fait analogues à celles du chapitre

Proposition 7.2.2. Avec les notations ci-dessus, on dispose des propriétés :

– Inclusions de Sobolev : Si κ > 1/4 et 0 < µ < 2κ−1/2, alors B

est inclus de façon

continue dans l’espace C

([0,1]) des fonctions µ-höldériennes sur [0,1].

– Algèbre de Banach : Si κ > 1/4, alors B

est une algèbre de Banach, c’est-à-dire kϕ·

– Projection : Pour tous 0≤κ < γ et tout ϕ∈ B

,

kϕ−P

ϕk

Bκ

≤λ

⁻_N⁽^γ⁻^κ⁾

kϕk

Bγ

. (7.6)

Démonstration. Les deux premières propriétés sont des résultats classiques, que l’on peut

trou-ver dans [2]. La dernière propriété est quant à elle immédiate : si ϕ=P

ϕ

ⁿ

e

∈ B

,

kϕ−P

ϕk

²Bκ

= ^X

n≥N+1

λ

²_n^κ

(ϕ

ⁿ

)

= ^X

n≥N+1

λ

²⁽_n^κ⁻^γ⁾

λ

²_n^γ

(ϕ

ⁿ

)

≤λ

²⁽_N^κ⁻^γ⁾

kϕk

²Bγ

.

Dans ce contexte, on sait que l’action du semigroupe de la chaleur prend la tournure

élé-mentaire : si ϕ=P

ϕ

ⁿ

e

∈ B, alors pour tout t≥0,S

ϕ=P

e

⁻^tλn

ϕ

ⁿ

e

. Il n’est alors pas

diﬃcile d’établir, par un calcul direct, les propriétés qui font le succès du formalisme _δˆ:

Proposition 7.2.3. On dispose des propriétés :

– Contraction : Pour tout κ ≥ 0, pour tout t ≥ 0, S

est un opérateur de contraction sur

B

.

– Régularisation : Pour tout t >0 et tous−∞< κ < α <∞, S

envoie B

sur B

et

kS

ϕk

Bα

≤c

_α,κ

t

⁻⁽^α⁻^κ⁾

kϕk

Bκ

. (7.7)

– Régularité höldérienne : Pour tous t >0, α >0 et tout ϕ∈ B

,

kS

ϕ−ϕk

≤c

_α

t

^α

kϕk

Bα

, (7.8)

k∆S

ϕk

≤c

t

⁻¹⁺^α

kϕk

Bα

. (7.9)

Démonstration. Par exemple, pour (7.9), on sait que si ϕ=P

ϕ

ⁿ

e

, alors

∆S

ϕ=^X

(λ

e

⁻^tλn

ϕ

ⁿ

)e

,

et donc

k∆S

ϕk

²_L2

= ^X

(λ

e

⁻^tλn

ϕ

ⁿ

)

= ^X

(λ

¹_n⁻^α

e

⁻^tλn

)

(λ

^α_n

ϕ

ⁿ

)

≤ c

(t

⁻¹⁺^α

)

^X

(λ

^α_n

ϕ

ⁿ

)

= c

(t

⁻¹⁺^α

)

kϕk

²Bα

,

où nous avons fait usage de l’inégalité élémentaireλ

^κ

e

⁻^tλ

≤c

_κ

t

⁻^κ

, valable pour tousλ, κ, t >0.

Les autres propriétés peuvent être établies avec des arguments similaires.

On rappelle que ce sont ces propriétés qui ont permis la mise en place du formalisme basé sur

l’opérateur d’incrément modiﬁé _δˆet surtout la construction de l’opérateur inverse (potentiel)

ˆ

Λ (voir [51]). La proposition 7.2.3 autorise ainsi une transposition immédiate de ces résultats,

et en particulier du théorème 6.2.2 :

7.2. CADRE D’ÉTUDE 179

Théorème 7.2.1. On ﬁxe un intervalle I de [0, T] et deux paramètres κ ≥0 et µ >1. Pour

tout h∈ C

₃^µ

(I;B

)∩Kerδ^ˆ

_|C₃₍_B_κ₎

, il existe un unique élément

ˆ

Λh∈ ∩

α∈[0,µ)

C

₂^µ⁻^α

(I;B

κ+α

)

tel que δ^ˆ(ˆΛh) =h. Λ^ˆh satisfait en outre la propriété de contraction : pour tout α∈[0, µ),

N[ˆΛh;C

2^µ⁻^α

(I;B

κ+α

)]≤c

_α,µ,T

N[h;C

3^µ

(I;B

)]. (7.10)

Il peut être intéressant de remarquer que les principaux arguments techniques qui

inter-viennent dans la construction de Λ^ˆ (voir [51]) feront leur apparition au travers des preuves des

propositions 7.3.12 et 7.4.10. Notez par ailleurs que nous serons plusieurs fois amenés à mettre

à contribution la relation télescopique : pour tous s=t

₀

< t

₁

< . . . < t

=t,

(ˆδy)

_ts

=

n−1

X

i=0

S

_tt_i₊₁

(ˆδy)

_t_i₊₁_t_i

. (7.11)

Souvenons-nous à présent que pour toute fonctionf :R→R, on déﬁnit l’opérateur de

Nemyts-kii N

associé à f par la formule : pour tout y ∈ B, pour tout ξ ∈[0,1],N

(y)(ξ) :=f(y(ξ)).

Sif est assez régulier, il est ici possible de contrôler la normekN

(y)k

Bκ

sans transiter par une

quelconque classe X

:

Proposition 7.2.4. Si 0≤κ <1/2 etf ∈ C

¹^,b

(R;R), alors pour touty ∈ B

,

kN

(y)k

Bκ

≤c

{1 +kyk

Bκ

}. (7.12)

Démonstration. Comme dans le chapitre précédent, l’inégalité est obtenue en utilisant une

norme équivalente, en l’occurrence (voir [2])

kyk

²Wκ

:=kyk

²B

+

Z

1 0

dξ

Z

1 0

dη|y(ξ)−y(η)|

|ξ−η|

¹⁺⁴^κ

^.

Remarque 7.2.5. Désormais, nous noterons plus simplement f pour N

.

La propriété (6.14), qui prenait appui sur un argument de convolution lié à la nature du

semigroupe, n’a pas d’équivalent direct dans le cadre qui nous intéresse. Nous lui substituerons,

au cours du raisonnement de la section 7.4, une relation basée sur l’inclusion suivante :

Proposition 7.2.6. Pour tout κ >1/4, on dispose de l’inclusion continue

L

(0,1)⊂ B

−κ

. (7.13)

Démonstration. C’est une retombée directe des inclusions de Sobolev rappelées ci-dessus. En

eﬀet, si u∈L

(0,1), alors pour toutϕ∈ B

,

Z

1 0

u(ξ)ϕ(ξ)dξ

≤ kϕk

∞

kuk

L1(0,1)

≤ kϕk

Bκ

kuk

L1(0,1)

.

7.3 Le cas Young

L’objectif de cette section consiste à introduire et analyser un schéma numérique

d’approxi-mation dans la conﬁguration(i)décrite en introduction. Nous nous permettons au préalable de

rassembler les diﬀérents outils et résultats théoriques tirés des sections 6.3 et 6.6. Pour

davan-tage de simplicité, nous travaillerons dans toute section sur l’intervalle de temps[0, T] = [0,1].

Dans le document Etude de systèmes différentiels fractionnaires (Page 172-182)

6.7 Le cas rugueux d’ordre 3

6.7.1 Construction de l’intégrale

On ﬁxe un coeﬃcient γ ∈ (1/4,1/3], qui représente donc implicitement la régularité de

x. En se référant à la démarche impulsée dans les sections précédentes, nous savons que pour

être mesure d’inverser δˆvia Λˆ, nous devons ici chercher à identiﬁer un terme "d’ordre 4" lors

de la dissection de l’intégrale, ou plus exactement d’ordre γ + 3κ, avec κ un coeﬃcient tel

que κ < γ et γ + 3κ > 1. Dans ce contexte, le point crucial, à la base des constructions

de cette section, est l’existence (évidente) d’un élément κ ∈ (0,1/4) qui satisfait ces deux

dernières conditions. L’espace B

conserve alors la propriété fondamentale retranscrite par la

proposition 6.2.4, et l’on peut envisager l’éventualité d’une solution évoluant dans cet espace.

L’opérateurX

introduit dans la section 6.4, et qui représente moralement l’intégraleX

=

R

S

dx

(a

⊗Id), devient un opérateur d’ordre 3 :

X

∈ C

(B

× B

,B

).

En tenant compte de cette observation, mais aussi en ayant à l’esprit les considérations de la

sous-section 2.2.3, il semble approprié d’introduire l’espace de processus contrôlés suivant :

Q

:={y∈Cˆ

(B

) : (ˆδy)

=X

y

+X

y

+y

,

(δy

)

= (δx

)

·y

+y

,

y

∈ C

(B

)∩ C

(B

) , y

∈ C

(B

)∩ C

(B

) , y

∈ C

(B

)∩ C

(B

) ,

y

∈ C

(B

)}, (6.98)

avec la norme naturelle qui lui est associée.

Suivant la procédure usuelle, on suppose dans un premier temps le processusxdiﬀérentiable

et l’on déﬁnit les opérateurs X

etX

par les formules

X

:=

Z

S

dx

, X

:=

Z

S

dx

être mesure d’inverser δ^ˆvia Λ^ˆ, nous devons ici chercher à identiﬁer un terme "d’ordre 4" lors

:={y∈C^ˆ

) +¹

2⁽^δy⁾

) +¹

2⁽^δy⁾