Processus contrôlés localisés

A ce stade, nous sommes pleinement en mesure de donner sens au système (5.36) sous les

hypothèses 7 et 8, comme vient le résumer la boucle :

˜

Q

^γx ^Prop.

5.4.4

−→ Q

^γx Prop.2.2.7

−→ Q

^γx ^Prop.

5.4.5

−→ Q^˜

^γx

˜

y

i

7−→ y

i

=a

i

+R

A

dξφ^˜(ξ)˜y

i

(ξ) 7−→ ψ

ij

(y) 7−→ (˜δz˜

i

) =J( ˜dx

j

ψ

ij

(y)).

La preuve de l’existence (et de l’unicité) d’une solutionglobale pour ce système va résulter

d’une succession d’arguments de point fixe dans les espaces Q˜

^γx

(I

_n

), pour une certaine suiteI

_n

d’intervalles qui couvrent [0, T]. Le recollement de ces différentes solutions locales nécessitera

un contrôle simultané des normes dey˜et de la condition initiale^˜h

ⁿ

= ˜y

_ln

sur chaque intervalle

I

_n

= [l

_n

, l

_n+1

], lors de la procédure décrite par le schéma ci-dessus.

L’idée la plus naturelle consiste à décomposer la recherche d’un tel contrôle en trois

esti-mations successives, correspondant aux trois opérations qui apparaissent dans la procédure, et

ce lorsque l’espace intermédiaire Q

^γx

(I) est muni de sa norme usuelle N[.;Q

^γx

(I)], définie par

(2.16).

L’utilisation de cette dernière norme ne permet malheureusement pas d’obtenir un contrôle

suffisamment optimal, exprimé en termes de N[˜y; ˜Q

^γx

(I

_n

)] etN[˜y

_ln

;L

1

], et un argument

tech-nique supplémentaire doit être mis en œuvre. Cet argument passe par l’introduction d’un

sous-espace (affine) particulier deQ

^γx

(I

n

), qui permettra essentiellement d’isoler les termes dépendant

de la condition initiale y˜

_ln

.

On supposera dans cette sous-section que le processusx satisfait l’hypothèse 8, et l’on fixe

un intervalleI = [l

1

, l

2

]arbitraire de[0, T].

Définition 5.4.7. Soit k ∈N

^∗

, f ∈ C

1

2

(I;R

^k

). Un processus y ∈ C

1^γ

(I;R

^k

) sera dit γ-contrôlé

(par x) autour de f sur I si ses incréments se décomposent de la façon suivante : pour tous

s < t∈I,

(δy

ⁱ

)

_ts

−f

_tsⁱ

=x

¹,j

ts

y

^x,ij_s

+y

^♭,i_ts

avecy

^x

∈ C

₁^γ

(I;R

^m,k

) et y

^♭

∈ C

₂^2γ

(I;R

^k

). (5.54)

On notera A

^γ_x,f

(I;R

^k

) l’ensemble de ces processus, et à tout y∈ A

^γ_x,f

(I;R

^k

), on associe la

quantité

5.4. LE CAS RUGUEUX 119

Comme dans le cas des processus contrôlés standards, on définit ensuite, pour tout f ∈

C

1

2

(I;R

^k,l

), A

^γ_x,f

(I;R

^k,l

) comme l’ensemble des processus y ∈ C

₁^γ

(I;R

^k,l

) tels que, pour tout

j= 1, . . . , l, y

^.j

∈ A

^γ_x,f

(I;R

^k

), et l’on associe à ces éléments la quantité

M[y;A

^γ_x,f

(I;R

^k,l

)] :=

l

X

j=1

N[y

^.j

;A

^γ_x,f

(I;R

^k

)].

Evidemment, A

^γx,0

(I) = Q

^γx

(I) et plus généralement, pour tout f ∈ C

1

2

(I;R

^k

), A

^γ_x,f

(I) ⊂

Q

^γx

(I). Le point essentiel de cette procédure de localisation autour def réside dans le fait que

ce dernier incrément n’intervient pas (directement) dans le calcul de M[y;A

^κx,h

(I;R

^k

)].

Observons de quelle manière les ensembles A

^γ_x,f

apparaissent lors de l’intégration (contre

ξ) d’un processus convolutionnel contrôlé :

Proposition 5.4.8. On suppose les hypothèses 5 et 7 satisfaites. Soit y˜ ∈ Q^˜

^γx

(I;R

^k

) tel que

˜

y

_l1

= ˜h∈ L

1

et δ^˜y˜= ˜X

^x,j

y˜

^x,ij

+ ˜y

^♯,i

. On pose y :=a+R

A

dξφ^˜(ξ) ˜y(ξ). Alors y∈ A

^γ_x,f

(I;R

^k

),

avec f

_ts

:=R

A

dξφ^˜(ξ)a

_ts

(ξ)S

_s−l1

(ξ)˜h(ξ). En outre,

M[y;A

^γ_x,f

(I;R

^d

)]≤c

_x

ⁿN[˜y; ˜Q

^γx

(I;R

^d

)] +|I|

^1−γ

N[˜h;L

1

]^o. (5.55)

Démonstration. A partir de (5.44), on peut écrire, pour tous s < t∈I,

(δy

ⁱ

)

_ts

= x

¹,j

ts

(L

_φ˜

y˜

_s^x,ij

) + ˜X

_ts^ax,j

y˜

_s^x,ij

+

Z

A

dξφ^˜(ξ) ˜y

_ts^♯,i

(ξ) +

Z

A

dξφ^˜(ξ)a

_ts

(ξ)˜y

_sⁱ

(ξ)

= x

¹,j

ts

(L

_φ˜

y˜

_s^x,ij

) + ˜X

_ts^ax,j

y˜

_s^x,ij

+

Z

A

dξφ^˜(ξ) ˜y

_ts^♯,i

(ξ) +

Z

A

dξφ^˜(ξ)a

_ts

(ξ)(˜δy˜

ⁱ

)

_sl1

(ξ) +f

_tsⁱ

.

On pose alorsy

^x,ij_s

:=L

_φ˜

y˜

_s^x,ij

,y

^♭,i_ts

:= ˜X

_ts^ax,j

y˜

^x,ij_s

+R

A

dξφ^˜(ξ)ⁿy˜

_ts^♯,i

(ξ) +a

_ts

(ξ)(˜δy˜

i

)

_sl1

(ξ)^o.

Clai-rement,

N[y

^♭

;C

2^2γ

]≤c

_x

ⁿN[˜y

^x

;C

1⁰

] +N[˜y

^♯

; ˜C

₂^2γ

] +N[˜y; ˜C

₁^γ

]^o≤c

_x

N[˜y; ˜Q

^γx

],

et|(δy)

_ts

| ≤ |f

_ts

|+|t−s|

^γ

N[X

^x

;C

2^γ

]N[˜y

^x

;C

1⁰

] +|t−s|

^2γ

N[y

^♭

;C

2^2γ

]. Or |f

_ts

| ≤ |t−s| N[˜h;L

1

],

d’oùN[y;C

1^γ

]≤ |I|

^1−γ

N[˜h;L

1

] +c

_x

N[˜y; ˜Q

^γx

], et (5.55) est ainsi prouvé.

Le résultat qui suit constitue l’analogue de la proposition 2.2.7 dans le contexte des processus

contrôlés localisés :

Proposition 5.4.9. Soit y∈ A

^γ_x,f

(I;R

^d

) avecy

_l1

=h etδy

ⁱ

−f

ⁱ

=x

¹,j

y

^x,ij

+y

^♭,i

, et

considé-rons une fonction ψ∈ C

^3,b

(R

^d

;R

^d,m

). Alors ψ(y)∈ A

^γ_x,Dψ(h)f

(I;R

^d,m

) et l’estimation suivante

est vérifiée :

M[ψ(y);A

^γ_x,Dψ(h)f

(I)]

≤c

_x,ψ

ⁿ1 +M[y;A

^γ_x,f

(I)]

²

+|I|

^1−γ

M[y;A

^γ_x,f

(I)]N[f;C

2¹

(I)] +|I|

^1−γ

N[f;C

2¹

(I)]^o. (5.56)

En outre, si y

⁽¹⁾

, y

⁽²⁾

∈ A

^γ_x,f

(I;R

^d,m

) avecy

_l⁽¹⁾₁

=y

⁽²⁾_l1

, alors

N[ψ(y

⁽¹⁾

)−ψ(y

⁽²⁾

);Q

^γx

(I)]

≤c

x,ψ

N[y

⁽¹⁾

−y

⁽²⁾

;Q

^γx

(I)]

1 +M[y

⁽¹⁾

;A

^γ_x,f

(I)]

²

+M[y

⁽²⁾

;A

^γ_x,f

(I)]

²

Démonstration. Pour tous s, t∈I,

δ(ψ

^ij

(y))

_ts

=

Z

1 0

dλ ∂

_l

ψ

^ij

(y

_s

+λ(δy)

_ts

)(δy

^l

)

_ts

=

Z

1 0

dλ ∂

_l

ψ

^ij

(y

_s

+λ(δy)

_ts

)f

_ts^l

+

Z

1 0

dλ ∂

_l

ψ

^ij

(y

_s

+λ(δy)

_ts

)(x

¹,k ts

y

^x,lk_s

+y

^♭,l_ts

)

= Dψ(h)f

ts

+x

¹,k

ts

ψ(y)

^x,ijk_s

+ψ(y)

^♭,_ts^1,ij

+ψ(y)

^♭,_ts^1,ij

, (5.58)

où l’on a noté ψ(y)

^x,ijk_s

:=∂

_l

ψ

^ij

(y

_s

)y

^x,lk

,

ψ(y)

^♭,_ts^1,ij

:=x

¹,k ts

Z

1 0

dλ

∂

_l

ψ

^ij

(y

_s

+λ(δy)

_ts

)−∂

_l

ψ

^ij

(y

_s

)

y

^x,lk_s

+

Z

1 0

dλ ∂

_l

ψ

^ij

(y

_s

+λ(δy)

_ts

)y

^♭,l_ts

,

ψ(y)

^♭,_ts^2,ij

:=

Z

1 0

dλ

∂

_l

ψ

^ij

(y

_s

+λ(δy)

_ts

)−∂

_l

ψ

^ij

(y

_s

)

f

_ts^l

+

∂

_l

ψ

^ij

(y

_s

)−∂

_l

ψ

^ij

(y

_l1

)

f

_ts^l

.

Une succession d’arguments de calcul différentiel standard permet aisément d’établir

N[ψ(y)

^x

;C

1⁰

] +N[ψ(y)

^x

;C

₁^γ

] +N[ψ(y)

^♭,1

;C

₂^2γ

]≤c

_x,ψ

ⁿ1 +M[y;A

^γ_x,f

]

²

^o.

Par ailleurs,

ψ(y)

^♭,_ts²

≤ kD

²

ψk

∞

N[y;C

1^γ

]N[f;C

2¹

]ⁿ|t−s|

^1+γ

+|s−l

₁

|

^γ

|t−s|^o,

d’oùN[ψ(y)

^♭,2

;C

₂^2γ

]≤c

_ψ

M[y;A

^γ_x,f

]N[f;C

1

2

]|I|

^1−γ

. En revenant finalement à la décomposition

(5.58), on obtient :

|δ(ψ(y))

_ts

|

≤ kDψk

∞

|t−s| N[f;C

2¹

] +|t−s|

^γ

N[x;C

1^γ

]M[y;A

^γ_x,f

]kDψk

∞

+|t−s|

^2γ

N[ψ(y)

^♭

;C

2^2γ

],

de telle sorte que N[ψ(y);C

1^γ

] ≤ c

_ψ,x

ⁿ|I|

^1−γ

N[f;C

1

2

] +M[y;A

^γ_x,f

] +N[ψ(y)

♭

;C

2^2γ

]^o, ce qui

achève la preuve de (5.56).

En ce qui concerne (5.57), commençons par écrire, avec les notations de (5.58),

δ(ψ

^ij

(y

⁽¹⁾

)−ψ

^ij

(y

⁽²⁾

))

_ts

=x

¹,k

ts

[ψ(y

⁽¹⁾

)

^x,ijk_s

−ψ(y

⁽²⁾

)

^x,ijk_s

] + [ψ(y

⁽¹⁾

)

^♭,_ts^1,ij

−ψ(y

⁽²⁾

)

^♭,_ts^1,ij

] + [ψ(y

⁽¹⁾

)

^♭,_ts^2,ij

−ψ(y

⁽²⁾

)

^♭,_ts^2,ij

].

Si l’on se réfère à la preuve de la proposition 2.2.7, on déduit sans effort

N[ψ(y

⁽¹⁾

)

^x

−ψ(y

⁽²⁾

)

^x

;C

1⁰

(I)]+N[ψ(y

⁽¹⁾

)

^x

−ψ(y

⁽²⁾

)

^x

;C

1^γ

(I)]+N[ψ(y

⁽¹⁾

)

^♭,1

−ψ(y

⁽²⁾

)

^♭,1

;C

2^2γ

(I)]

≤c

_x,ψ

ⁿ1 +M[y

⁽¹⁾

;A

^γ_x,f

(I)]

²

+M[y

⁽²⁾

;A

^γ_x,f

(I)]

²

^oN[y

⁽¹⁾

−y

⁽²⁾

;Q

^γx

(I)].

Pour le terme ψ(y

(1)

)

♭,2

−ψ(y

(2)

)

♭,2

, remarquons d’abord l’estimation

ψ(y

⁽¹⁾

)

^♭,2

−ψ(y

⁽²⁾

)

^♭,2

≤ |t−s| N[f;C

2¹

(I)]

n^Z

1 0

dλ

Dψ(y

_s⁽¹⁾

+λ(δy

⁽¹⁾

)

ts

)−Dψ(y

⁽¹⁾_s

)−Dψ(y

_s⁽²⁾

+λ(δy

⁽²⁾

)

ts

) +Dψ(y

⁽²⁾_s

)

+

Dψ(y

⁽¹⁾_s

)−Dψ(y

_l⁽¹⁾ 1

)−Dψ(y

⁽²⁾_s

) +Dψ(y

_l⁽²⁾ 1

)

o

.

5.4. LE CAS RUGUEUX 121

En faisant à nouveau appel aux arguments de la preuve de la proposition 2.2.7, il est facile de

vérifier à partir de cette dernière écriture que

N[ψ(y

⁽¹⁾

)

^♭,2

−ψ(y

⁽²⁾

)

^♭,2

;C

₂^2γ

(I)]

≤c

_ψ

|I|

^1−γ

N[f;C

2¹

(I)]ⁿ1 +N[y

⁽¹⁾

;C

₁^γ

(I)] +N[y

⁽²⁾

;C

₁^γ

(I)]^oN[y

⁽¹⁾

−y

⁽²⁾

;C

^γ₁

(I)].

L’inégalité (5.57) est ensuite immédiate.

Soulignons à nouveau le fait que A

^γ_x,f

est un sous-ensemble de Q

^γx

; ceci signifie en

parti-culier que pour tout élément z ∈ A

^γ_x,f

(I;R

^d,m

), l’intégrale J( ˜dx

^j

z

^ij

) peut être définie via la

proposition 5.4.5. Dans ce contexte particulier, nous disposons de l’estimation suivante :

Proposition 5.4.10. On suppose les hypothèses 5 et 8 satisfaites. Si z∈ A

^γ_x,f

(I;R

^d,m

), alors

la semi-norme du processusz˜∈Q^˜

^γx

(I;R

^d

) défini par z˜

_l1

= ˜h∈ L

1

et δ^˜z˜

i

=J( ˜dx

j

z

ij

) peut être

majorée par

N[˜z; ˜Q

^γx

(I;R

^d

)]

≤c

x

n

N[z;C

1⁰

(I;R

^d,m

)] +z

_l^x₁

+|I|

^γ

M[z;A

^γ_x,f

(I;R

^d,m

)] +|I|

^1−γ

N[f;C

2¹

(I;R

^d,m

)]^o. (5.59)

Démonstration. D’après la proposition 5.4.5, la décomposition dez˜en tant que processus

convo-lutionnel contrôlé est donnée parδ^˜z˜

i

= ˜X

x,j

z˜

x,ij

+ ˜z

♯,i

, avec z˜

x

=zetz˜

♯

= ˜z

♯,1

+ ˜z

♯,2

, où

˜

z

^♯,1,i

= ˜X

^xx,jk

z

^x,ijk

et z˜

^♯,2,i

= ˜Λ( ˜X

^x,j

(z

^♭,ij

+f

^ij

) + ˜X

^xx,jk

δz

^x,ijk

).

Puisque(δz

^ij

)

ts

=f

_ts^ij

+x

¹,k ts

z

s^x,ijk

+z

^♭,ij_ts

=f

_ts^ij

+x

¹,k ts

z

_l^x,ijk₁

+x

¹,k ts

(δz

^x,ijk

)

_sl1

+z

_ts^♭,ij

,

N[ζ

^z˜

;C

1^γ

(I)] =N[z;C

1^γ

(I)]≤c

_x

ⁿ|I|

^1−γ

N[f;C

2¹

(I)] +

z

_l^x₁

+|I|

^γ

M[z;A

^γ_f,h

(I)]^o.

Quant au terme résiduel, en écrivant z˜

_ts^♯,1,i

= ˜X

_ts^xx,jk

z

_l^x,ijk₁

+ ˜X

_ts^xx,jk

(δz

^x,ijk

)

_sl1

, on a d’abord

N[˜z

^♯,1

; ˜C

₂^2γ

] ≤ c

_x

ⁿz

_l^x₁

+|I|

^γ

M[z;A

^γ_x,f

(I)]^o, tandis que, grâce à la propriété de contraction

(2.6),

N[˜z

^♯,2

; ˜C

₂^2γ

(I)]≤c

x

n

|I|

^γ

M[z;A

^γ_x,h

(I)] +|I|

^1−γ

N[f;C

2¹

(I)]^o.

Finalement, comme δ^˜z˜

ⁱ

= ˜X

^x,j

z˜

^x,ij

+ ˜z

^♯,i

,

N[˜z; ˜C

1^γ

(I)]≤c

_x

ⁿN[z;C

1⁰

(I)] +

z

^x_l1

+|I|

^γ

M[z;A

^γ_f,h

(I)] +|I|

^1−γ

N[f;C

2¹

(I)]^o,

ce qui achève la preuve de (5.59).

5.4.4 Résolution de l’équation

Nous sommes à présent en mesure de résoudre le système :

Théorème 5.4.1. On suppose les hypothèses 5, 7 et 8 satisfaites. Si ψ ∈ C

3,b

(R

^d

;R

^d,m

),

alors l’équation (5.23), interprétée grâce à la proposition 5.4.5, admet une unique solution dans

˜

Démonstration. Comme nous l’annoncions, la preuve va consister en une succession

d’argu-ments de point fixe sur une suite d’intervalles (I

_n

)

_n

qui recouvrent [0, T]. Nous considérerons

plus exactement la suite donnée par :

I

_n^N

= [l

^N_n

, l

_n^N₊₁

] avec l

₀^N

= 0 etε

_n

=ε

^N_n

=l

^N_n+1

−l

_n^N

= ¹

N +n^, (5.60)

où N est un paramètre qui sera fixé au cours de la preuve.

Sur chacun de ces intervalles, la procédure se déroule (comme d’habitude) en deux temps :

nous commençons par établir l’existence de sous-ensembles invariants pour l’application Γ

as-sociée au système, puis nous montrons que Γ, restreinte à certains de ces sous-ensembles, est

une contraction stricte.

Les résultats établis dans la sous-section 5.4.3 montrent que pour contrôler l’imagez˜:= Γ(˜y)

d’un processusy˜∈Q^˜

^γx

(I

_n^N

), il est important de disposer d’une estimation de la norme dey˜dans

˜

Q

^γx

(I

N

n

), mais aussi de la norme de la condition initiale ˜_h

_n

_{:= ˜y}

lN

n

. C’est ce principe général qui

va guider notre raisonnement.

Etape 1 : Invariance de boules. On fixe momentanément le paramètre N qui intervient

dans la définition (5.60) des intervalles I

N

n

, et l’on introduit deux paramètres supplémentaires

α

₁

, α

₂

>0dont les valeurs seront déterminées dans un instant. On considère les ensembles

B

^h˜n

n

:={y˜∈Q^˜

^γx

(I

_n^N

) : ˜y

_lN

n

= ˜h

_n

,y˜

^x_lN

n

=ψ(h

_n

),N[˜y; ˜Q

^γx

(I

_n^N

)]≤(N +n)

^α2

},

où ˜_h

_n

∈ L

1

est tel que N[˜h

_n

;L

1

] ≤ (N +n)

α1

et h

_n

:= a+R

A

dξφ^˜(ξ)˜h

_n

(ξ). Si y˜ ∈ B

^˜hn

n

,

˜

z := Γ(˜y) désigne l’élément de Q˜

^γx

(I

_n^N

) défini par les deux conditions : z˜

_lN

n

= ˜h

_n

et pour tous

s, t∈I

N

n

,(˜δz˜)

_ts

=J

ts

( ˜dx

j

ψ

ij

(y)), où y:=a+R

A

dξφ^˜(ξ)˜y(ξ).

Avec ces notations, nous allons prouver queα

₁

etα

₂

peuvent être choisis de telle sorte que,

d’une part, les ensembles B

^˜hn

n

soient stables parΓ, et, d’autre part, que la propriété suivante

soit vérifiée :

(H) Siy˜∈B

^˜hn

n

, alors N[˜y

_lN

n+1

;L

1

]≤(N+n+ 1)

^α1

.

Cette dernière condition permettra de garantir la possibilité de recoller les points fixes successifs,

comme nous le verrons à la fin de la preuve.

Soity˜∈B

^˜hn

n

,z˜:= Γ(˜y). En vue d’appliquer les résultats de la sous-section 5.4.3, on notera,

pour tous s < t∈I

N n

,

y

t

:=a+

Z

A

dξφ^˜(ξ)˜y

t

(ξ), f

_tsⁿ

:=

Z

A

dξφ^˜(ξ)a

ts

(ξ)S

_s−lN n

(ξ)˜h

n

(ξ) , g

_tsⁿ

:=Dψ(y

_lN n

)f

_tsⁿ

. (5.61)

L’estimation (5.59) montre tout d’abord que

N[˜z; ˜Q

^γx

(I

_n^N

)]

≤c

_x

ⁿN[ψ(y);C

1⁰

(I

_n^N

)] +

ψ(y)

^x_lN n

+ε

^γ_n

M[ψ(y);A

^γx,gn

(I

_n^N

)] +ε

¹_n^−γ

N[g

ⁿ

;C

2¹

(I

_n^N

)]^o. (5.62)

Or, d’après les propositions 5.4.9 et 5.4.8, on sait que

ψ(y)

^x,ijk_lN n

=∂

p

ψ

^ij

(y

_lN n

)y

_l^x,pkN n

=∂

p

ψ

^ij

(y

_lN n

) (L

_φ˜

y˜

^x,pk_lN n

) =L

_φ˜

∂

p

ψ

^ij

(y

_lN n

)ψ

^pk

(h

n

),

5.4. LE CAS RUGUEUX 123

et donc

ψ(y)

^x_lN n

≤c

_ψ

. Par ailleurs, il est évident que

N[g

ⁿ

;C

2¹

(I

_n^N

)]≤ kDψk

∞

N[f

ⁿ

;C

2¹

(I

_n^N

)]≤c

_ψ

N[˜h

_n

;L

1

].

Il découle ainsi de (5.62)

N[˜z; ˜Q

^γx

(I

_n^N

)]≤c

_x,ψ

ⁿ1 +ε

^γ_n

M[ψ(y);A

^γx,gn

(I

_n^N

)] +ε

¹_n^−γ

N[˜h

n

;L

1

]^o.

En mettant ensuite à contribution les estimations (5.56) et (5.55), on obtient

N[˜z; ˜Q

^γx

(I

_n^N

)]

≤c

¹_x,ψ

ⁿ1 +ε

¹_n^−γ

N[˜h

_n

;L

1

] +ε

^γ_n

N[˜y; ˜Q

^γx

(I

_n^N

)]

²

+ε

_n

N[˜y; ˜Q

^γx

(I

_n^N

)]N[˜h

_n

;L

1

] +ε

²_n^−γ

N[˜h

_n

;L

1

]

²

^o.

(5.63)

Pour établir la stabilité de B

^˜hn

n

, c’est-à-dire prouver que N[˜z; ˜Q

^γx

(I

N

n

)] ≤(N +n)

α2

(pour N

assez grand), une première série de conditions s’imposent alors naturellement :























α

₁

−(1−γ)< α

₂

2α

2

−γ < α

2

α

₁

+α

₂

−1< α

₂

2α

₁

−2 +γ < α

₂

,

(5.64)

système qui se résume en fait à

(

α

2

< γ

α

₁

<1−γ+α

₂

. (5.65)

Si α

₁

, α

₂

> 0 vérifient ces conditions et N est suffisamment grand, la propriété de stabilité

de B

^˜hn

n

est alors vérifiée. En effet, à partir de (5.63), on déduit N[˜z; ˜Q

^γx

(I

N

n

)] ≤ 6c

1

x,ψ

(N +

n)

^α3

, où α

₃

désigne le plus grand élément parmi les membres de gauche du système (5.64).

Comme α

₃

< α

₂

, on peut choisir N tel que pour tout n ≥ 0,(N +n)

^α2−α3

≥6c

¹_x,ψ

, et donc

N[˜z; ˜Q

^γx

(I

_n^N

)]≤(N+n)

^α2

.

Il reste à analyser la condition (H). Pour cela, écrivons

˜

y

_lⁱN n+1

=S

_εn

y˜

_lⁱN n

+ (˜δy˜

ⁱ

)

_lN n+1lN n

=S

_εn

^˜h

ⁱ_n

+ ˜X

^x,j lN n+1lN n

ψ

^ij

(h

_n

) + ˜y

^♯,i lN n+1lN n

,

ce qui conduit à

y˜

_lN n+1

≤

˜_h

_n

+c

_x,ψ

ε

^γ_n

+ε

²_n^γ

N[˜y; ˜Q

^γx

(I

_n^N

)]≤(N+n)

^α1

+c

_x,ψ

(N+n)

^−γ

+(N+n)

^α2−2γ

. (5.66)

Observons ensuite l’équivalent

^cx,ψm−γ+mα₂−2γ

(m+1)α₁−mα₁

∼

m→∞ ^cx,ψm

−γ+mα₂−2γ

α1mα₁−1

, qui nous indique qu’en

ajoutant à (5.65) la condition (compatible)

α

₁

>1−γ, (5.67)

on peut trouverN suffisamment grand tel que, pour toutn∈N

^∗

,

On choisit donc N de cette façon pour obtenir, à partir de (5.66), la propriété (H).

Etape 2 : Propriété de contraction. Soit y˜

⁽¹⁾

,y˜

⁽²⁾

∈ B

^˜hn

n

, z˜

⁽¹⁾

:= Γ(˜y

⁽¹⁾

),z˜

⁽²⁾

:= Γ(˜y

⁽²⁾

), et

l’on définit y

(1)

, y

(2)

comme dans (5.61). La propriété recherchée va là encore découler des

estimations de la sous-section 5.4.3. Pour cela, il convient d’abord d’observer que si y

⁽¹⁾

, y

⁽²⁾

∈

A

^γ_x,f

(I), alors y

⁽¹⁾

−y

⁽²⁾

∈ A

^γx,0

(I) et N[y

⁽¹⁾

−y

⁽²⁾

;A

^γx,0

(I)] = N[y

⁽¹⁾

−y

⁽²⁾

;Q

^γx

(I)]. Ainsi,

d’après (5.59),

N[˜z

⁽¹⁾

−z˜

⁽²⁾

; ˜Q

^γx

(I

_n^N

)]

≤cⁿN[ψ(y

⁽¹⁾

)−ψ(y

⁽²⁾

);C

1⁰

(I

_n^N

)] +

ψ(y

⁽¹⁾

)

^x_lN n

−ψ(y

⁽²⁾

)

^x_lN n

+ε

^γ_n

N[ψ(y

⁽¹⁾

)−ψ(y

⁽²⁾

);Q

^γx

(I

_n^N

)]^o.

Orψ(y

⁽¹⁾

)

^x_lN n

=ψ(y

⁽²⁾

)

^x_lN n

etN[ψ(y

⁽¹⁾

)−ψ(y

⁽²⁾

);C

0 1

(I

_n^N

)]≤ε

^γn

N[ψ(y

⁽¹⁾

)−ψ(y

⁽²⁾

);Q

^γx

(I

_n^N

)]. En

associant ces deux observations aux estimations (5.57) et (5.55), on déduit aisément

N[˜z

⁽¹⁾

−z˜

⁽²⁾

; ˜Q

^γx

(I

_n^N

)]≤c

_x,ψ

J

_N+n

N[˜y

⁽¹⁾

−y˜

⁽²⁾

; ˜Q

^γx

(I

_n^N

)],

avec

J

_n

=n

^−γ

+n

^−γ+2α2

+n

^2α1−(2−γ)

+n

^α1−1

+n

^α1+α2−1

,

et l’on est cette fois amenés à envisager, pour que lim

_N→∞

J

_N

= 0, le système























2α

₂

−γ <0

2α

₁

−2 +γ <0

α

₁

−1<0

α

1

+α

2

−1<0.

(5.68)

Ce système, intersecté avec les conditions (5.65) et (5.67), fournit alors l’hypothèse finale

(

0< α

₂

<

^γ₂

1−γ < α

1

<1−γ+α

2

.

Une fois munis de tels coefficients, il suffit de prendre N assez large pour que la propriété de

contraction et la propriété (H) soient simultanément satisfaites sur les ensembles invariants

B

^˜hn

n

.

Etape 3 : Recollement des solutions. La construction de la solutiony˜∈Q^˜

^γx

([0, T])annoncée est

à présent réduite à une procédure de recollement, que nous nous proposons de détailler.

On définit tout d’abord la suite(˜y

⁽ⁿ⁾

,y˜

^(n),x

)

_n≥0

suivant la procédure itérative :(˜y

⁽⁰⁾

,y˜

^(0),x

)∈

˜

Q

^κ

(I

₀^N

) est le point fixe deΓ dansB

₀⁰

et pour tout n≥1,(˜y

⁽ⁿ⁾

,y˜

^(n),x

)∈Q^˜

^κ

(I

_n^N

) est le point

fixe de Γ dans B

^y˜

(n−1)

lN_n

n

. Cette construction est bien entendu rendu possible grâce aux deux

premières étapes. On pose ensuite, pour tout t∈[0, T],

˜

y

_t

=

NT

X

n=0

˜

y

⁽_tⁿ⁾

1

_IN n

(t) , y˜

^x_t

=

NT

X

n=0

˜

y

⁽_t^n),x

1

_IN n

(t),

où N

_T

désigne le plus petit entier tel que P

NT

n=0

|I

_n^N

| ≥T.

Sil

^N_k−1

< s≤l

^N_k

< . . . < l

^N_k′

≤t < l

^N_k′+1

, on utilise la décomposition

(˜δy˜)

_ts

=S

_t−lN k

·(˜δy˜)

_lN ks

+ (˜δy˜)

_tlN k′

+

k′−1

X

i=k

S

_t−lN i+1

·(˜δy˜)

_lN i+1lN i

, (5.69)

5.4. LE CAS RUGUEUX 125

ainsi que la relationδ^˜X^˜

x

= 0, pour déduire(˜δy˜

i

)

_ts

= ˜X

_ts^x,j

y˜

_s^x,ij

+ ˜y

_ts^♯,i

, avecy˜

_ts^♯,i

= ˜y

_ts^♯,1,i

+ ˜y

_ts^♯,2,i

,

˜

y

_ts^♯,1,i

:= ˜X

^x,j tlN k

h

˜

y

^(k),x,ij lN k

−y˜

⁽_s^k−1),x,ij

ⁱ+

k′

X

p=k+1

˜

X

_tl^x,j_N p

˜

y

⁽_lN^p),x,ij p

−y˜

^(p−1),x,ij lN p−1

,

˜

y

^♯,_ts²

:=S

_t−lN k

·y˜

^{(k−1),♯,i} lN ks

+ ˜y

^(k′),♯,i tlN k^′

+

k′−1

X

p=k

S

_t−lN p+1

·y˜

_l⁽n^p),♯,i p+1lN p

.

A partir de ces expressions, et en raison de la régularité de chaque y˜

^(k),x

, il est facile de voir

que(˜y,y˜

^x

) appartient effectivement àQ˜

^γx

([0, T]).

Revenons finalement à la décomposition (5.69) pour déduire

(˜δy˜

ⁱ

)

_ts

=S

_t−lN k

· J

_lN ks

( ˜dx

^j

ψ

^ij

(y)) +J

_tlN k^′

( ˜dx

^j

ψ

^ij

(y)) +

k′−1

X

p=k

S

_t−lN p+1

· J

_lN p+1lN p

( ˜dx

^j

ψ

^ij

(y)).

En invoquant à présent la relationδ^˜J( ˜dx

^j

z

^ij

)= 0, on obtient :

J

tlN k′−1

( ˜dx

^j

ψ

^ij

(y)) =J

tlN k′

( ˜dx

^j

ψ

^ij

(y)) +S

_t−lN k′

· J

lN k′lN k′−1

( ˜dx

^j

ψ

^ij

(y)),

d’où

(˜δy˜

ⁱ

)

ts

=S

_t−lN k

· J

lN ks

( ˜dx

^j

ψ

^ij

(y)) +J

tlN k′−1

( ˜dx

^j

ψ

^ij

(y)) +

k′−2

X

p=k

S

_t−lN p+1

· J

lN p+1lN p

( ˜dx

^j

ψ

^ij

(y)).

En itérant ce procédé, on aboutit à la relation (˜δy˜

ⁱ

)

_ts

=J

ts

( ˜dx

^j

ψ

^ij

(y))pour tous s, t∈[0, T],

ety˜constitue bien une solution globale de (5.23).

L’unicité de cette solution est ensuite facile à établir en reprenant les estimations de l’étape

2, comme dans la preuve du théorème 2.3.1.

Corollaire 5.4.11. Sous les hypothèses 5, 7 et 8, et en supposant que ψ ∈ C

3,b

(R

^d

;R

^d,m

), le

système

y

ⁱ_t

=a

ⁱ

+

Z

A

dξφ^˜(ξ)

Z

t 0

S

_t−u

(ξ)dx

^j_u

ψ

^ij

(y

_u

), (5.70)

interprété grâce aux propositions 5.4.5 et 5.4.8, admet une unique solution dans Q

^γx

([0, T];R

^d

).

Démonstration. Comme dans le cas Young, il suffit de poser, pour toutt∈[0, T],

y

_t

:=a+

Z

A

dξφ^˜(ξ) ˜y

_t

(ξ),

où y˜est le processus donné par le théorème 5.4.1.

Remarque 5.4.12. Il est possible de vérifier, en utilisant les arguments de la sous-section 2.3.2,

que la propriété de continuité de l’application d’Itô est satisfaite pour le système (5.70). Nous

reviendrons de toute façon sur ce type d’arguments à travers la preuve de la proposition 7.4.6.

Dans le document Etude de systèmes différentiels fractionnaires (Page 120-128)