1.5.1 Problématique
L’étude de la résilience des réseaux complexes nécessite en général la prédiction des états stables dynamiques. Celle-ci peut être faite par une multitude de techniques. Il n’existe tou- tefois pas une méthode universelle qui est à la fois simple et précise pour toutes les structures et dynamiques.
Lorsque la dynamique et la structure sont connues, l’approche par passage de messages est à prioriser. Elle mène à une grande précision des résultats. De plus, elle peut être utilisée aussi bien pour les dynamiques récurrentes que non récurrentes. Par contre, lorsque la structure contient plusieurs cycles et s’éloigne de l’approximation en arbre, alors il peut exister des disparités entre les prédictions et les observations. Par conséquent, il semble y avoir un certain manque à combler si le seul objectif est de maximiser la qualité de la prédiction. Considérant que toutes les données (structure et dynamique) sont disponibles, il serait intéressant d’étudier une technique qui repousse cette limite imposée par les structures en arbre.
Pour simplifier l’analyse de la bifurcation des systèmes, nous avons vu l’approche de réduc- tion dimensionnelle proposée par Gao et al. [52]. Cette avenue est très intéressante, car elle s’applique à plusieurs systèmes et l’exactitude des prédictions est satisfaisante malgré la sim- plicité de l’approche. Toutefois, elle n’est pas totalement valide dans le contexte où certaines espèces sont prédatrices [10]. Également, la démonstration mathématique présentée ne paraît pas suffisante pour conclure de sa validité pour les réseaux modulaires et à exposants d’échelle. Il existe peu de techniques qui traitent des problèmes basés complètement sur les données et qui ne nécessitent pas l’utilisation de modèles explicites. Nous avons vu l’approche bayésienne qui suggère une inférence de paramètres à partir des observations de la dynamique. La grande lacune est la nécessité de poser une forme mathématique au modèle. Dans un contexte réel, la forme posée peut être simplement invalide ou encore trop simple pour la complexité du mécanisme. Il serait intéressant de lever cette inutile difficulté, le tout dans un contexte qui profite à l’analyse de la résilience.
1.5.2 Objectifs et guide de lecture
L’objectif général de cette thèse est de développer des outils mathématiques pour qualifier la résilience des réseaux complexes. À partir des problématiques énoncées, cette direction de recherche peut maintenant être précisée sous quatre sous-objectifs :
1. Développer une méthode très précise de prédiction des états stables pour les structures avec cycles et une dynamique connue ;
2. Valider mathématiquement l’approche de réduction dimensionnelle pour les réseaux mo- dulaires et biparties ;
3. Développer une nouvelle approche de réduction dimensionnelle plus précise ;
4. Valider l’utilisation de l’apprentissage automatique pour les problèmes où la dynamique est inconnue.
Chapitre 2
Le premier objectif sera discuté au Chapitre 2. Pour ce faire, il faut d’abord sélectionner une dynamique précise. Nous utiliserons la cascade sur réseaux, car elle fait partie de celles pouvant être solutionnées par la méthode de passage de messages. Plus encore, la cascade n’est pas récurrente ce qui réduit la difficulté du problème. Les travaux sont inspirés de la contribution de Allard et al. [6] où une méthode exacte a été développée pour la dynamique de percolation par liens. Il est attendu que le recours à une méthode exacte implique de lourds calculs. Nous évaluerons donc sa valeur pratique pour différentes tailles de réseaux et tenterons d’optimiser ces calculs. L’objectif 1 se précise ainsi :
1. Obtenir une méthode exacte de prédiction des états stables pour tout réseau et pour une dynamique de cascade ;
2. Établir les limites pratiques du modèle, notamment pour les grands réseaux ; 3. Optimiser le calcul des états stables.
Chapitre 3
Le Chapitre 3 vise à traiter les objectifs 2 et 3. Nous réviserons et étofferons d’abord la démonstration mathématique pour parvenir à la réduction dimensionnelle. À la Sec. 1.4.2, l’observable était obtenue par une moyenne pondérée de l’activité par rapport au poids sor- tant. Nous construirons une nouvelle technique de réduction où la pondération, notée ai dans l’équation suivante, sera laissée libre.
Gao et al. → R ∝ N X i=1 souti xi → Obtenir ˙R (1.97) Nouvelle approche → R ∝ N X i=1 aixi → Obtenir ai et ˙R. (1.98) Notre hypothèse est que la réduction de Gao et al. sera validée si la moyenne pondérée par le degré est réobtenue naturellement, c.-à-d. ai ∝ souti . Autrement, un nouveau choix d’obser- vables sera introduit. L’objectif 3 sera traité en soumettant le nouveau système à différentes dynamiques et réseaux, dont certains avec des structures modulaires et d’autres biparties. Nous
quantifierons notamment l’erreur sur les prédictions pour différents contextes. Les objectifs 2 et 3 se détaillent ainsi :
1. Valider l’utilisation du poids sortant comme pondération dans la réduction dimension- nelle de Gao et al ;
2. Développer un nouveau système réduit en levant la contrainte sur la pondération de l’observable ;
3. Valider le nouveau système réduit pour des dynamiques de populations, de propagation et de neurones, ainsi que pour des réseaux modulaires, aléatoires, biparties et invariant d’échelle.
Chapitre 4
Enfin, l’objectif 4 est abordé au Chapitre4. Pour valider l’utilisation de l’apprentissage auto- matique, nous introduirons une nouvelle tâche, soit celle de prédire une perturbation structu- relle sur un réseau dont le modèle dynamique est inconnu. L’idée derrière cette tâche est de produire un contexte où l’apprentissage automatique s’impose naturellement par le manque de connaissances a priori du système. De plus, cette nouvelle tâche s’inscrit dans le contexte où nous cherchons à documenter les perturbations appliquées sur des réseaux. Pour faire l’in- férence, nous admettrons des séries temporelles de l’activité sur le réseau. Cette approche sera comparée à des méthodes de reconstruction fonctionnelles, qui seront introduites en détail dans le Chapitre, et des méthodes où le modèle dynamique est connu. Étant donné que cette contribution est fondée sur des jeux de données, nous ferons la validation de l’approche sur des réseaux réels et des dynamiques variées telles que de populations, de diffusion et de neurones. Le tout se décline sous deux sous-objectifs :
1. Valider l’utilisation de l’apprentissage automatique sur graphes pour détecter une per- turbation structurelle et pour une dynamique quelconque ;
2. Documenter l’approche pour des dynamiques de populations, de propagation et de neu- rones, et sa robustesse au bruit.
Chapitre 2
Solution exacte de la dynamique de
cascade sur réseaux complexes
Exact analytical solution of irreversible binary dynamics on networks Edward Laurence1, Jean-Gabriel Young1, Sergey Melnik2 et Louis J. Dubé1,
1 Département de Physique, de Génie Physique, et d’Optique Université Laval, Québec, Québec, Canada G1V 0A6 2 MACSI, Department of Mathematics & Statistics
University of Limerick, Ireland
Référence : Phys. Rev. E, 97 (2018), p. 032302.
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