Projections maximales

x₀= [7, 2970 0, 1099 4, 6445 0, 3184 0, 0822 0, 3097 − 6,5974 − 0,0274 − 4,0206]

situé à l’intérieur de la projection ellipsoïdale maximale obtenue pour le système avec observateur et Youla (et à l’extérieur de la projection maximale du système avec obser-vateur seul). Pour ces trois cas, on a tracé Figures 3.10 et3.11 l’évolution temporelle de l’entrée et de la sortie : la première sous figure correspond à la Trajectoire 1, la deuxième à la Trajectoire 2 et finalement la troisième à la Trajectoire 3.

Pour les simulations temporelles, Figures3.10 et3.11on a considéré une perturbation en échelon d’amplitude 0,01 (revenant à Bw) sur le signal d’entrée à l’instant 0,0045s, une perturbation en échelon d’amplitude 0,01 sur le signal de sortie à l’instant 0,007s et un bruit de mesure sur le signal de sortie prenant des valeurs aléatoires dans l’intervalle [−0,001 0,001] (correspondant à Dv). A l’instant 0,0015 on commute du système avec une dynamique correspondant àθ(k) = −1 vers le système avec une dynamique correspondant à θ(k) = 1. Le paramètre θ peut varier dans l’intervalle [−1 1], mais, pour les simulations temporelles, nous considérons seulement le cas particulier où θ

commute entre −1 et 1

On peut observer, Figure3.10que la commande est moins oscillante quand le paramètre de Youla est considéré. On observe également que pour un point initial situé à l’extérieur de l’ellipsoïde invariant du système avec observateur et à l’intérieur de l’ellipsoïde in-variant du système avec le paramètre de Youla (Trajectoire 3) les contraintes ne sont pas satisfaites pour la dynamique correspondant au système avec observateur, en revanche

elles sont satisfaites pour la dynamique correspondant au système avec observateur et paramètre de Youla.

temps (s)

temps (s)

temps (s)

FIGURE3.10: Evolution temporelle de l’entrée.

La Figure3.11illustre les évolutions temporelles de la sortie. On peut voir que pour le système avec paramètre de Youla les performances en boucle fermée sont plus lentes. Donc le prix à payer pour une robustesse plus grande est une performance moindre en rejet de perturbation.

Ces résultats ont été obtenus par des simulations effectuées à l’aide du logiciel Yal-mip [67] avec le solveur SeDuMi [104] dans l’environnement MatLab. Les simulations temporelles ont été réalisées dans Simulink.

3.2 Systèmes LPV à temps discret, sous contraintes et affectés par une perturbation bornée 77

temps (s) temps (s)

temps (s)

FIGURE3.11: Evolution temporelle de la sortie.

3.2.5 Conclusion

Pour un système LPV à temps discret affecté par des perturbations bornées et soumis à des contraintes sur la commande la démarche mise en oeuvre dans le cas LTI et étendue au cas LPV a permis de donner les conditions suffisantes garantissant l’ISS par rapport a une perturbation bornée et de déterminer l’ellipsoïde invariant minimal (où ayant l’inter-section minimale) et l’ellipsoïde invariant maximal (où ayant la projection maximale) satisfaisant les contraintes malgré la présence d’une perturbation bornée. L’ellipsoïde invariant minimal est le plus petit ellipsoïde contenant l’union des ellipsoïdes invariants minimaux correspondant à chaque variation du paramètre. L’ellipsoïde invariant maxi-mal est l’ellipsoïde invariant maximaxi-mal situé à l’intérieur de l’intersection de tous les

ellipsoïdes invariants maximaux correspondant à chaque variation du paramètre). L’introduction d’un paramètre de Youla afin d’améliorer la robustesse se traduit par une projection maximale plus grande que celle obtenue pour le système avec observateur seul, illustrant une moindre influence de perturbations et une meilleure robustesse du système asservi. Comme l’intersection ellipsoïdale minimale est située à l’extérieur de l’union de toutes les intersections correspondant à chaque variation du paramètre, on ne peut pas garantir aussi une intersection minimale plus petite.

Les évolutions temporelles tracées dans les deux dernières figures montrent que le gain en volume vis-à-vis des ellipsoïdes revient à une commande moins oscillante et à des performances un peu dégradées pour le système avec observateur et Youla en rejet de perturbations.

3.3 Systèmes en commutation à temps discret, sous contraintes et

affectés par une perturbation bornée

Ces dernières années, l’étude des systèmes en commutation a suscité une attention crois-sante. Un système linéaire en commutation est un système dynamique hybride composé de plusieurs sous-systèmes gouvernés par une loi de commutation. Cette loi de com-mutation spécifie le sous-système actif à chaque instant de temps (un aperçu sur les principaux problèmes rencontrés avec les systèmes en commutation peut être trouvé dans [64]).

L’intérêt croissant pour cette classe de systèmes est dû à leur importance pratique car ils peuvent être trouvés dans de nombreux secteurs tels que : le contrôle des systèmes mécaniques, des robots manipulateurs [47], l’industrie automobile, le contrôle aérien et l’aéronautique, la gestion du trafic [106], les convertisseurs de puissance en commuta-tion [59].

L’analyse de la stabilité et la stabilisation des systèmes en commutation a été largement étudiée par de nombreux chercheurs : [65] présente les problèmes de base concernant la stabilité des systèmes en commutation (stabilité pour des séquences de commutation arbitraires, la construction des séquences de commutation stabilisantes), [21] adresse le problème de l’analyse de la stabilité et la synthèse d’une loi de commande stabili-sante pour des systèmes à temps discret en commutation en utilisant une fonction de Lyapunov en commutation. Les systèmes à temps discret en commutation affectés par des perturbations (bornées) ont été peu traités dans la littérature. Notre contribution ré-side justement en la prise en compte de perturbations bornées lorsque les conditions de stabilité sont données ou lorsque le calcul des ensembles invariants est réalisé.

3.3 Systèmes en commutation à temps discret, sous contraintes et affectés par une perturbation

bornée 79

Si l’on se rappelle que les systèmes LPV vus précédemment sont des systèmes pour lesquels la matrice dynamique évolue dans un polytope défini par ses sommets, les systèmes en commutation peuvent être considérés comme des systèmes polytopiques avec la particularité que les valeurs admissibles pour la matrice dynamique sont celles qui correspondent uniquement aux sommets du polytope.

Dans le prolongement de la démarche des sections précédentes, ce paragraphe traite des systèmes en commutation à temps discret linéaire affectés par de perturbations bornées. Dans une première étape les conditions suffisantes garantissant l’ISS vis-à-vis d’une perturbation bornée seront données. Puis, en considérant des contraintes sur l’entrée, nous recherchons l’ellipsoïde invariant maximal (où ayant la projection maximale sur le sous-espace d’état initial) et l’ellipsoïde invariant minimal (où ayant l’intersection minimale sur le sous-espace d’état initial).

Remarque 3.21. Un système en commutation affecté par des perturbations est

globale-ment ISS si chaque mode est ISS pour toutes les transitions possibles [63], [111]. La stabilité du système en commutation doit être assurée pour toutes les transitions possibles, puisque la stabilité ISS pour chaque mode linéaire n’implique pas l’ISS par rapport à une perturbation du système en commutation.

3.3.1 Systèmes en commutation à temps discret

Soit le système discret en commutation :

x(k + 1) = Aσx(k) + Bσu(k) + Bww(k),

y(k) = Cσx(k) + Dvv(k), (3.169)

x(k) ∈ Rn_x est l’état du système, u(k) ∈ Rm est la commande, y(k) ∈ Rp est la sortie,

w(k) ∈ Rn_w est la perturbation d’état et v(k) ∈ Rn_v est la perturbation de mesure.

σ est une règle de commutation prenant ses valeurs dans l’ensemble fini d’indices I = {1,...,N}. En d’autres termes, les matrices (Aσ, Bσ, Cσ) peuvent prendre n’im-porte quelle valeur dans l’ensemble fini {(Ai, Bi, Ci), i = 1, N}, à un instant arbitraire. Nous supposons que la règle de commutation est inconnue a priori, mais sa valeur ins-tantanée est disponible en temps réel. Contrairement au cas LPV, pour les systèmes en commutation on peut considérer des matrices d’entrée ou de sortie dépendantes du pa-ramètre, B_σ et C_σ sans faire appel à [91] (le système avec observateur et paramétrisation de Youla reste un système en commutation).

La loi de commande est donnée par :

où F_σ ∈ Rmxnx est la loi de commande en commutation. F_σ prend ses valeurs dans l’ensemble fini {Fi, i = 1, N}.

Le système en boucle fermée devient :

x(k + 1) = Ab fσx(k) + Bww(k), (3.171) où Ab fσ = A_σ− BσF_σ. Selon la loi de commutationσ, les matrices (Ab fσ, F_σ) prennent des valeurs dans l’ensemble {(Ab f i= Ai− BiF_i, Fi), i = 1,N}.

Définissons la fonction "indicateur" :

λ(k) = [λ₁(k), . . . ,λN(k)] (3.172) telle que : A_{b fσ} = ( N

∑

i=1 λi(k)Ab f i) et Fσ = ( N

∑

i=1

λi(k)Fi) avec la configuration particulière

λi(k) = 1,λ_l6=i(k) = 0,λj(k + 1) = 1,λ_{l6= j}(k + 1) = 0, i, j = 1, N (i n’est pas nécessai-rement différent de j). Cette configuration est en fait celle du cas LPV adaptée pour le cas à commutation.

On suppose toujours que le vecteur de perturbation est borné :

n^T(k)n(k) ≤ 1 (d’où w^T(k)w(k) ≤ 1, v^T(k)v(k) ≤ 1). ^(3.173) On considère également des bornes sur la norme Euclidienne de la commande u(k) :

|| u ||2≤ umax. (3.174)

L’ensemble invariant ellipsoïdal a toujours pour expression3.6.

3.3.1.1 ISS vis-à-vis d’une perturbation bornée

Cette section décrit les conditions suffisantes garantissant l’ISS par rapport à une per-turbation bornée. Comme les systèmes en commutations représente en fait un classe de systèmes LPV, les conditions suffisantes garantissant l’ISS par rapport à une perturba-tion bornée sont données dans le théorème3.11ou dans le théorème équivalent3.12en remplaçant B par Bi.

La condition (2.29) est dans ce cas satisfaite pourα₁=λ_min(Pi) > 0 etα₂=λ_max(Pi) > 0, i = 1,N. La condition (2.30) revient àα₃=αλ_min(Pi) etδ =β, i = 1,N.

3.3 Systèmes en commutation à temps discret, sous contraintes et affectés par une perturbation

bornée 81

3.3.1.2 Ellipsoïde minimal

Le théorème donnant l’ellipsoïde minimal qui nous garantit que l’état va rester à l’inté-rieur même en présence de perturbations bornées s’obtient de façon similaire avec le cas LPV3.14en remplaçant B par Biet sera omis pour ne pas alourdir la lecture. Rappelons maintenant que l’ellipsoïde invariant minimal est le plus petit ellipsoïde qui contient les ellipsoïdes invariants minimaux associés à chaque mode.

Même si les ellipsoïdes invariants minimaux correspondant à chaque transition existent tous, si les contraintes sont trop fortes et/ou les perturbations sont trop importantes et/ou le système a une dynamique très rapide, alors l’ellipsoïde invariant minimal situé à l’extérieur de l’union des ellipsoïdes invariants minimaux correspondant à chaque transition peut ne pas exister.

3.3.1.3 Ellipsoïde maximal

A chaque mode de fonctionnement correspond un ellipsoïde invariant maximal. L’ob-jectif de ce paragraphe est de calculer le plus grand ellipsoïde situé à l’intérieur de l’intersection de tous les ellipsoïdes maximaux correspondant à chaque mode de fonc-tionnement en tenant compte de toutes les transitions possibles. Comme le théorème offrant cet ellipsoïde est en fait un cas particulier du cas LPV, l’ellipsoïde invariant maximal sera donné par le théorème3.16en remplaçant B par B_i.

3.3.2 Systèmes en commutation et observateur

Soit le système en commutation (3.169) et un observateur en commutation utilisé pour estimer l’état :

ˆx(k + 1) = Aσˆx(k) + Bσu(k) + Lσ(y(k) − ˆy(k)),

ˆy(k) = Cσˆx(k), ^(3.175)

où L_σ ∈ Rn_xxpest le gain de l’observateur en commutation.

σ est la règle de commutation ayant ses valeurs dans l’ensemble d’indices I = {1,...,N}. La matrice Lσ peut prendre une valeur dans l’ensemble fini {Li), i = 1, N}. La règle de commutation est inconnue a priori, mais sa valeur instantanée est disponible en temps réel.

La commande est donnée par :

où F_σ ∈ Rmxnxest le retour d’état en commutation F_σ ∈ {Fi, i = 1, N}.

Pour le système (3.169) avec un observateur en commutation (3.175) la représentation d’état augmentée suivante est considérée :

x_o(k + 1) = Aoσx_o(k) + Boσn(k), (3.177) où : x_o(k) = " x(k) ε(k) #

, ε(k) = x(k) − ˆx(k) est l’erreur d’estimation, n(k) = "

w(k)

v(k) #

est le vecteur de bruit, Aoσ = " A_σ− BσF_σ B_σF_σ 0 A_σ− LσC_σ # et B_oσ = " B_w 0 B_w −LσD_v # . La loi de commande en commutation peut être réécrite sous la forme suivante :

u(k) = −Foσ· xo(k) (3.178) avec Foσ =^hF_σ −Fσ

i

. Selon la loi de commutation σ, les matrices (Aoσ, Boσ, Foσ) prennent des valeurs dans l’ensemble {(A_oi, B_oi, F_oi), i = 1,N}.

Avec la fonction "indicateur"λ(k), on a : Aoσ = (

N

∑

i=1 λ_i(k)Aoi), Boσ = ( N

∑

i=1 λ_i(k)Boi) et F_oσ= ( N

∑

i=1

λ_i(k)Foi) avec la configuration particulièreλ_i(k) = 1,λ_l6=i(k) = 0,λ_j(k +1) = 1,λ_{l6= j}(k + 1) = 0, i, j = 1, N (i n’est pas nécessairement différent de j).

Le vecteur de bruit est considéré borné :

n^T(k)n(k) ≤ 1. (3.179)

Des contraintes sur la norme Euclidienne de la commande sont imposées sous la forme :

|| u ||2≤ umax. (3.180)

L’ensemble ellipsoïdal est donné par 3.37. L’intersection ellipsoïdale de cet ellipsoïde avec le sous-espace x est issue de l’expression3.42 et la projection ellipsoïdale de cet ellipsoïde sur le sous-espace x est3.43.

3.3.2.1 ISS vis-à-vis d’une perturbation bornée. Intersection ellipsoïdale minimale. Pro-jection ellipsoïdale maximale

Les théorèmes donnant les conditions suffisantes garantissant l’ISS par rapport à une perturbation bornée, l’intersection ellipsoïdale minimale et la projection ellipsoïdale

3.3 Systèmes en commutation à temps discret, sous contraintes et affectés par une perturbation

bornée 83

maximale sont obtenus de manière similaire avec celles donnés pour le cas LPV (3.17,

A.3 et 3.19 respectivement) en remplaçant B par Bi et C par Ci. Ils seront donc omis pour ne pas alourdir la lecture. L’intérêt de présenter le cas en commutation est plus évident dans le chapitre suivant dédié à la synthèse. On considère quand même ce cas aussi dans le cadre de l’analyse pour fixer les bases dont on a besoin pour le chapitre suivant et pour garder une ligne logique à ce mémoire.

3.3.3 Système en commutation avec observateur et paramètre de Youla

Soit le système en commutation avec observateur (3.177). Afin d’améliorer la robustesse du système un paramètre de Youla en commutation est inséré dans la boucle fermée :

x_Q(k + 1) = AQσx_Q(k) + BQσ˜y(k), ˜u(k) = CQσx_Q(k) + DQσ˜y(k), ˜y(k) = y(k) − ˆy(k),

(3.181)

où x_Q∈ RⁿQest l’état du paramètre de Youla, ˜u ∈ Rmest la sortie, ˜y ∈ Rpest l’entrée et

A_Qσ ∈ RⁿQxnQ, BQσ ∈ RⁿQxp,CQσ ∈ R^mxnQ, DQσ ∈ R^{mxpsont les matrices d’état.} La loi de commande a la forme :

u(k) = −Fσˆx(k) − ˜u(k) (3.182) où F_σ ∈ {Fi, i = 1, N}.

Pour le système (3.177) avec la paramétrisation de Youla (3.181), la représentation d’état augmentée suivante est choisie :

xy(k + 1) = Ayσxy(k) + Byσn(k) (3.183) où : x_y(k) =    x(k) ε(k) x_Q(k)    , Ayσ =    A_σ− BσF_σ B_σF_σ− BσD_QσC_σ −BσC_Qσ 0 A_σ− LσC_σ 0 0 B_QσC_σ A_Qσ    et B_yσ =    B_w −BσD_QσD_v B_w −LσD_v 0 B_QσD_v    .

Finalement la commande peut s’écrire sous la forme : u(k) = −Fxσ· xy(k) − Fnσ· n(k) ^(3.184) avec Fxσ =^hF_σ −Fσ+ DQσC_σ C_Qσ i et Fnσ = [0 DQσD_v]. Le vecteur de bruit n(k) = " w(k) v(k) #

est toujours considéré borné :

n^T(k)n(k) ≤ 1. ^(3.185)

Des contraintes sur l’entrée sont également prises en compte :

|| u ||2≤ umax. (3.186)

La Figure3.12donne une vue d’ensemble de la structure par bloc du système augmenté.

u -Système( )s + u F( )s Observateur( )s x C x x C y y= - ˆ -+ Q( )s -yref ~ ~ b ˆ v y x Csˆ s s w ^Dv

Dans le document Outils ensemblistes d'analyse et de synthèse des lois de commande robustes pour des systèmes incertains. (Page 96-105)