Interprétation géométrique du théorème de Nagumo

Définition 2.9. Un ensemble de type C est un ensemble convexe et compact Rⁿx qui inclut l’origine comme point intérieur.

Pour les systèmes en temps discret, on ne peut pas affirmer qu’un ensemble (peu importe sa forme) est invariant si pour tout point sur la frontière sa dérivée pointe vers l’inté-rieur (ou est tangent). [9] a adapté le théorème de Nagumo pour les systèmes linéaires invariants en temps discret :

2.4 Ensembles invariants 15

Théorème 2.10. Soit le système discret linéaire, invariant dans le temps :

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), (2.17)

et supposons que S est un ensemble de type C . Alors S est invariant en boucle fermée si et seulement si pour tout x∈∂S il existe une commande u (qui dépend de x) telle

que :

Ax(k) + Bu(k) ∈ S . (2.18)

Le théorème 2.10 peut être étendu pour les systèmes discrets avec contraintes sur la commande u ∈ U (U est un ensemble de type C ), ou pour les systèmes incertains :

x(k + 1) = A(θ(k))x(k) + B(θ(k))u(k) + Ew(k), (2.19) avec w ∈ W et θ ∈ Θ. La condition devient maintenant : pour tout x ∈∂S il existe

u∈ U tel que A(θ(k))x(k) + B(θ(k))u(k) + Ew(k) ∈ S pour tout w ∈ W etθ ∈ Θ.

Nota bene : Un ensemble ellipsoïdal est un ensemble de type C .

2.4.2 Ensemble invariant minimal et maximal

Les systèmes considérés tout au long de ce mémoire sont des systèmes linéaires LTI, LPV ou en commutation avec l’origine comme seul point d’équilibre. Pour ce type des systèmes (et non seulement) les ensembles invariants présentant le plus d’intérêt sont l’ensemble invariant maximal et l’ensemble invariant minimal.

• En l’absence de perturbations l’ensemble invariant minimal (s’il existe) est l’ori-gine. Quand le système est affecté par des perturbations (et éventuellement aussi par des incertitudes paramétriques) l’ensemble invariant minimal représente la plus pe-tite région de l’espace d’état assurant l’invariance, la stabilité¹ et la satisfaction des contraintes (si définies) malgré la présence des perturbations (et des incertitudes pa-ramétriques). La dimension de l’ensemble invariant minimal nous donne en effet une mesure de l’influence de la perturbation. Ainsi plus l’ensemble minimal est petit, plus l’effet de la perturbation est faible. Dans la Figure 2.2 l’ensemble ellipsoïdal bleu représente la plus petite région ellipsoïdale où l’invariance est assurée malgré les perturbations. Cet ensemble invariant est appelé 0-reachable set [9] comme dé-fini ultérieurement.

• Dans le cas des systèmes linéaires sans contraintes, l’ensemble invariant maximal (s’il existe) est représenté par l’espace d’état entier. Quand le système linéaire est soumis à des contraintes l’ensemble invariant maximal est donné par la plus grande 1. En présence de perturbations, la notion de stabilité entrée-état (input to state stability-ISS) est utilisée (voir Section2.5).

région de l’espace d’état où on peut garantir l’invariance (et donc la stabilité) et la satisfaction des contraintes (malgré la présence des perturbations ou des incertitudes paramétriques s’elles existent).

Le volume de l’ensemble invariant maximal dépend des contraintes imposées (plus les contraintes sont dures, plus l’ensemble invariant maximal est petit). Quand, de plus, le système est affecté par des perturbations, le volume de l’ensemble invariant maximal peut devenir encore plus petit. On peut affirmer que plus la perturbation est importante, plus l’ensemble invariant maximal est petit. Dans la Figure2.2 l’en-semble ellipsoïdal rouge représente la plus grande région ellipsoïdale de l’espace d’état ou l’invariance et la satisfaction des contraintes sont assurées malgré la pré-sence de perturbations bornées.

Si les contraintes sont trop rigides par rapport aux perturbations considérées alors l’ensemble invariant minimal (ainsi que l’ensemble invariant maximal) ne peut plus être défini. Dans ce cas il n’existe pas de région dans l’espace d’état satisfaisant l’in-variance et les contraintes. Donc, face à des perturbations et des contraintes, les en-sembles invariants n’existent que si les contraintes ne sont pas trop fortes par rapport aux perturbations considérées.

Exemple. Considérons le système LTI affecté par de perturbations bornées :

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) + Bww(k), u(k) = −Fx(k) ^(2.20) avec : A =    1,1 0,1 0,5 0,7 0,8 0,12 0,32 0,51 0,62   , B =    0,15 0,0787 0,63   , B^w= 0, 1B, F = [0, 5736 0, 8033 − 0,0702] et wTw≤ 1.

Le système est soumis à des contraintes sur la commande :

|| u ||≤ um, um= 8, (2.21)

et à des contraintes sur chaque élément du vecteur d’état :

| xi|≤ xim, xim= 10, i = 1, 2, 3. (2.22) Pour le système perturbé, sous contraintes (2.21) et (2.22), dans la Figure2.2on a repré-senté l’ensemble défini par les contraintes (l’ensemble jaune), l’ensemble invariant (el-lipsoïdal) maximal pour le système sans perturbation (l’ensemble vert), l’ensemble in-variant (ellipsoïdal) maximal pour le système affecté par une perturbation bornée (l’en-semble rouge), l’en(l’en-semble invariant (ellipsoïdal) minimal pour le système affecté par une perturbation bornée (l’ensemble bleu) et la trajectoire d’état.

2.4 Ensembles invariants 17

FIGURE2.2: Ensembles invariants.

La différence de volume entre l’ensemble invariant maximal pour le système perturbé et l’ensemble invariant maximal pour le système sans perturbation ou le volume de l’ensemble invariant minimal nous donne une mesure de l’effet de la perturbation sur le système. On peut aussi voir que pour un état initial (x(0)) à l’intérieur de l’ensemble invariant maximal (l’ensemble rouge) la trajectoire converge vers l’ensemble invariant minimal (l’ensemble bleu).

2.4.3 Approximation des ensembles invariants. Ellipsoïdes

Les ensembles invariants les plus utilisés pour approcher les ensembles invariants sont de type ellipsoïdal ou polytopique. Dans ce mémoire, on s’est focalisé sur les ensembles ellipsoïdaux car ils peuvent être aisément associés à des outils puissants tels que l’équation de Lyapunov ou les inégalités linéaires matricielles (Linear Matrix Inequalities -LMI - [96], [13]). Les ensembles invariants ellipsoïdaux ont l’avantage d’avoir une dé-finition simple qui permet de réduire la complexité, mais ils ont l’inconvénient d’intro-duire plus de conservatisme (comparativement aux ensembles invariants polytopiques). D’autre part, les ensembles polytopiques sont souvent des expressions naturelles des contraintes physiques sur les variables d’état et de contrôle. En outre, leur forme est dans un certain sens plus flexible que celle des ellipsoïdes, permettant une plus fidèle approximations des ensembles invariants pour les systèmes dynamiques. Le prix à payer pour cette flexibilité est en général une représentation plus complexe.

La théorie des ensembles invariants ellipsoïdaux a été étudiée dans de nombreux ou-vrages. Dans [45], les ensembles ellipsoïdaux (parmi d’autres) sont considérés dans le cadre de la commande sous contraintes. Dans [97], les ellipsoïdes sont utilisés comme zone de confinement pour les systèmes incertains. Des travaux pionniers sur la stabilité quadratique dans le contexte de la stabilisation des systèmes incertains peuvent être trouvés dans [43], [39] ou [4]. Des propriétés concernant les ensembles positifs invariants ellipsoïdaux, en particulier leurs liens avec l’équation de Riccati, peuvent être trouvées dans les ouvrages sur les systèmes linéaires, comme par exemple [13,84,97,113].

Un ensemble ellipsoïdal est défini par la relation :

E= {x ∈ Rⁿx: (x − xc)^TP(x − xc) = (x − xc)^TG⁻¹(x − xc) ≤ 1, P = P^T = G⁻¹≻ 0} (2.23) où P = PT ∈ Rn_xxnx est une matrice définie positive et xc∈ Rn_x est le centre de l’ellip-soïde E.

Dans ce mémoire, on considérera souvent xc= 0 et donc l’expression (2.23) devient :

E = {x ∈ Rⁿx: xTPx= x^TG⁻¹x≤ 1, P = P^T = G⁻¹≻ 0}. (2.24) Les propriétés suivantes seront utiles pour la suite de l’étude.

Proposition 2.11. La longueur des demi-axes d’un ellipsoïde est√

λ_i, oùλ_i, (i = 1, nx) sont les valeurs propres de P⁻¹. Les directions des demi-axes sont les vecteurs propres de P⁻¹. x_c √ λ1 √ λ2