3.2 Systèmes LPV à temps discret, sous contraintes et affectés par une perturbation
3.2.4 Mise en oeuvre sur un exemple
Considérons un exemple académique pour valider les résultats théoriques obtenus dans cette section. Soit le système LPV :
ψ(k + 1) = Ap(θ(k))ψ(k) + Bpτ(k), y(k) = Cpψ(k), (3.163) où Ap(θ(k)) = " 0,8 0,5 −0,4 1,1θ(k) # , Bp= " 0 0,7 # , Cp=h0 1i, θ ∈ [−1, 1], k ∈ N. On vérifie aisément que le modèle n’est pas strictement stable.
Pour annuler les erreurs statiques on ajoute une action intégrale :
τ(k) =τ(k − 1) + ∆τ(k). (3.164) Le système final a la forme (3.80) avec :
x(k) = " ψ(k) τ(k − 1) # , u(k) = ∆τ(k), A(θ(k)) = " Ap(θ(k)) Bp 0 I # , B = " Bp I # , C =hCp 0i. (3.165)
Ce système est affecté par une perturbation d’état avec Bw= 0, 001[1 1 1]T et une perturbation de mesure avec Dv= 0, 01. Le vecteur de bruit
"
w v
#
est considéré borné
3.2 Systèmes LPV à temps discret, sous contraintes et affectés par une perturbation bornée 73
Soit le retour d’état stabilisant polytopique ayant les sommets :
F1=h−0,5219 −1,1978 1i, F2=h−0,5217 1,2541 1i (3.166) et un observateur polytopique, calculé afin d’avoir une dynamique plus rapide que la boucle fermée, ayant les sommets :
L1= 0,9342 −0,4628 1,0355 , L2= 0,9693 1,5008 1,1274 . (3.167)
Un paramètre de Youla de taille nQ= nx est introduit pour améliorer la robustesse vis-à-vis d’incertitudes additives :
AQ1= 0,8179 0,5501 −0,0318 −0,2108 −0,6906 0,3593 0,2531 0,5370 0,5439 , BQ1= −0,8045 0,4002 −0,8984 , AQ2= 0,7891 0,5303 0,0146 −0,2563 0,7341 0,4242 0,1863 −0,4713 0,6318 , BQ2 = −0,8039 −0,6380 −0,0186 , CQ1 =h−0,2829 −0,7001 0,5688i, DQ1= −0,2805, CQ2=h−0.,3275 0,7602 0,6213i, DQ2= 0, 5969. (3.168)
Ce paramètre de Youla a été considéré afin d’avoir un certain compromis entre la ro-bustesse et la performance. Les deux paramètres de Youla ont été obtenus à partir des techniques qui seront présentées au chapitre suivant. Le but ici est uniquement de mettre en évidence en termes d’analyse les propriétés vues précédemment.
Des contraintes sur la norme Euclidienne de la commande sont considérées : || u(k) ||≤
umax avec umax= 1.
Pour ce système LPV à temps discret affecté par des perturbations bornées, soumis à des contraintes et avec l’état estimé via l’observateur (3.134), l’intersection ellipsoïdale minimale a été obtenue pour unαoptim= 0, 2. Cette intersection minimale est donnée Fi-gure3.8par l’ellipsoïde vert. Le volume de cette intersection est VPO= 0, 0108. Pour le système avec observateur et paramètre de Youla (3.154), l’intersection ellipsoïdale mini-male est représentée Figure3.8par l’ellipsoïde magenta et a le volume VPY = 0, 00044. Ce volume a été obtenu pour un αoptim = 0, 096. Pour le système avec observateur et paramètre de Youla, l’intersection minimale est un peu plus petite et donc l’effet de la perturbation est un peu plus faible.
FIGURE3.8: Intersections minimales.
Pour le système avec observateur (3.134) la projection maximale est obtenue pour un
αoptim = 0, 024. Cette projection est représentée Figure3.9 par l’ellipsoïde vert de vo-lume VGO = 9, 6065. Pour le système avec observateur et paramétrisation de Youla (3.154), la projection ellipsoïdale maximale est obtenue pour un αoptim= 0, 01. Cette projection maximale est représentée Figure 3.9 par l’ellipsoïde magenta de volume
VPY = 64, 0783. Ainsi, avec un paramètre de Youla, la projection ellipsoïdale maxi-male obtenue est plus grande que celle donnée par le système avec observateur seul. Le gain en volume se traduit par une amélioration en termes de robustesse.
Trois trajectoires de l’état sont tracées Figures3.8 et3.9: la Trajectoire 1 correspond à l’évolution de l’état pour un point initial
x0= [0, 0169 0, 0087 0, 0703 0, 0153 0, 0076 0, 0154 − 0,0020 0,0002 − 0,0423]
situé à l’intérieur de l’intersection ellipsoïdale minimale obtenue pour le système avec observateur et Youla ; la Trajectoire 2 correspond à l’évolution de l’état pour un point initial
x0= [−4,3617 − 0,0666 − 2,9001 − 0,8073 − 0,1013 − 0,6621 2,9159 − 0,0762 1,7478]
situé à l’intérieur de la projection ellipsoïdale maximale obtenue pour le système avec observateur et la Trajectoire 3 correspond à l’évolution de l’état pour un point initial
3.2 Systèmes LPV à temps discret, sous contraintes et affectés par une perturbation bornée 75
FIGURE3.9: Projections maximales.
x0= [7, 2970 0, 1099 4, 6445 0, 3184 0, 0822 0, 3097 − 6,5974 − 0,0274 − 4,0206]
situé à l’intérieur de la projection ellipsoïdale maximale obtenue pour le système avec observateur et Youla (et à l’extérieur de la projection maximale du système avec obser-vateur seul). Pour ces trois cas, on a tracé Figures 3.10 et3.11 l’évolution temporelle de l’entrée et de la sortie : la première sous figure correspond à la Trajectoire 1, la deuxième à la Trajectoire 2 et finalement la troisième à la Trajectoire 3.
Pour les simulations temporelles, Figures3.10 et3.11on a considéré une perturbation en échelon d’amplitude 0,01 (revenant à Bw) sur le signal d’entrée à l’instant 0,0045s, une perturbation en échelon d’amplitude 0,01 sur le signal de sortie à l’instant 0,007s et un bruit de mesure sur le signal de sortie prenant des valeurs aléatoires dans l’intervalle [−0,001 0,001] (correspondant à Dv). A l’instant 0,0015 on commute du système avec une dynamique correspondant àθ(k) = −1 vers le système avec une dynamique correspondant à θ(k) = 1. Le paramètre θ peut varier dans l’intervalle [−1 1], mais, pour les simulations temporelles, nous considérons seulement le cas particulier où θ
commute entre −1 et 1
On peut observer, Figure3.10que la commande est moins oscillante quand le paramètre de Youla est considéré. On observe également que pour un point initial situé à l’extérieur de l’ellipsoïde invariant du système avec observateur et à l’intérieur de l’ellipsoïde in-variant du système avec le paramètre de Youla (Trajectoire 3) les contraintes ne sont pas satisfaites pour la dynamique correspondant au système avec observateur, en revanche
elles sont satisfaites pour la dynamique correspondant au système avec observateur et paramètre de Youla.
temps (s)
temps (s)
temps (s)
FIGURE3.10: Evolution temporelle de l’entrée.
La Figure3.11illustre les évolutions temporelles de la sortie. On peut voir que pour le système avec paramètre de Youla les performances en boucle fermée sont plus lentes. Donc le prix à payer pour une robustesse plus grande est une performance moindre en rejet de perturbation.
Ces résultats ont été obtenus par des simulations effectuées à l’aide du logiciel Yal-mip [67] avec le solveur SeDuMi [104] dans l’environnement MatLab. Les simulations temporelles ont été réalisées dans Simulink.
3.2 Systèmes LPV à temps discret, sous contraintes et affectés par une perturbation bornée 77
temps (s) temps (s)
temps (s)
FIGURE3.11: Evolution temporelle de la sortie.
3.2.5 Conclusion
Pour un système LPV à temps discret affecté par des perturbations bornées et soumis à des contraintes sur la commande la démarche mise en oeuvre dans le cas LTI et étendue au cas LPV a permis de donner les conditions suffisantes garantissant l’ISS par rapport a une perturbation bornée et de déterminer l’ellipsoïde invariant minimal (où ayant l’inter-section minimale) et l’ellipsoïde invariant maximal (où ayant la projection maximale) satisfaisant les contraintes malgré la présence d’une perturbation bornée. L’ellipsoïde invariant minimal est le plus petit ellipsoïde contenant l’union des ellipsoïdes invariants minimaux correspondant à chaque variation du paramètre. L’ellipsoïde invariant maxi-mal est l’ellipsoïde invariant maximaxi-mal situé à l’intérieur de l’intersection de tous les
ellipsoïdes invariants maximaux correspondant à chaque variation du paramètre). L’introduction d’un paramètre de Youla afin d’améliorer la robustesse se traduit par une projection maximale plus grande que celle obtenue pour le système avec observateur seul, illustrant une moindre influence de perturbations et une meilleure robustesse du système asservi. Comme l’intersection ellipsoïdale minimale est située à l’extérieur de l’union de toutes les intersections correspondant à chaque variation du paramètre, on ne peut pas garantir aussi une intersection minimale plus petite.
Les évolutions temporelles tracées dans les deux dernières figures montrent que le gain en volume vis-à-vis des ellipsoïdes revient à une commande moins oscillante et à des performances un peu dégradées pour le système avec observateur et Youla en rejet de perturbations.