Les programmes de 4 Avril 2007 19 juin 2008

Nous allons un peu plus détailler ces programmes car ce sont ceux en vigueur lors de notre

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Chapitre III – Les fractions : points d’appuis théoriques étude.

Les programmes de 2007 suivis de quelques correctifs en 2008 inscrivent le travail sur les fractions dans la rubrique : l’étude des nombres et calcul et la sous rubrique : « Les nombres décimaux et les fractions ». Le contenu du programme est proposé comme une suite de tâches à réaliser sans autre explication.

« fractions simples et décimales : écriture, encadrement entre deux nombres entiers consécutifs, écriture comme somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1, somme de deux fractions décimales ou de deux fractions de même dénominateur ».

On retrouve des indications de situation : fractions dans des cas simples de partage ou de codage de mesures de grandeurs. Les autres tâches : « placer sur une droite graduée, encadrement par des entiers consécutifs, écrire une fraction sous forme de somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1 », reprennent les tâches entre autres des programmes de 2002. En revanche le peu d’indications sur le comment et le pourquoi de cet enseignement fait qu’elles sont entièrement à la charge du PE. Dans le tableau suivant nous montrons des extraits de la programmation proposée pour le cycle 3.

CM1 CM2

Fractions

- Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire : demi, tiers,

quart, dixième, centième.

- Utiliser ces fractions dans des cas simples de partage ou de codage de mesures de grandeurs.

Fractions

- Encadrer une fraction simple par deux

entiers consécutifs.

- Écrire une fraction sous forme de somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1. - Ajouter deux fractions décimales ou deux fractions simples de même dénominateur

Nombres décimaux

- Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en fonction de sa

position (jusqu’au 1/100ème).

Savoir :

- les repérer, les placer sur une droite graduée,

- les comparer, les ranger,

- les encadrer par deux nombres entiers consécutifs,

- passer d’une écriture fractionnaire à une écriture à virgule et réciproquement

Nombres décimaux

- Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en fonction de sa

position (jusqu’au 1/10 000ème).

Savoir :

-les repérer, les placer sur une droite graduée en conséquence, les comparer, les ranger,

- produire des décompositions liées à une écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1

000... et 0,1 ; 0,01 ; 0,001...

- Donner une valeur approchée à l’unité près, au dixième ou au centième près.

Nous revenons également sur cette partie du programme « Utiliser ces fractions dans des cas simples de partage ou de codage de mesures de grandeurs. ». Deux interprétations des fractions apparaissent : l’une sur les partages dits simples, que nous mettons en relation avec l’usage des fractions simples (aspect partie d’un tout) et l’autre sur le codage de mesures de grandeurs (relevant plus de l’aspect mesure). Cette dernière instruction est extrêmement vague. Doit-on utiliser toutes les grandeurs, qu’appelle-t-on codage de mesures ? Doit-on enseigner la fraction quotient ? opérateur ?

Les lecteurs de ces programmes ne les interprètent pas de la même manière selon leurs connaissances mathématiques et didactiques et leurs connaissances des programmes

Chapitre III – Les fractions : points d’appuis théoriques précédents.

En 2012 un document qui vise à aider et orienter les pratiques est édité : le nombre au cycle 3.

Ce document recueille des articles de formateurs et de chercheurs en mathématiques. Barilly & Le Poche (2012) proposent un article d’une dizaine de pages sur les fractions. Ils y définissent un nombre fractionnaire (Annexe 1)

Leurs propositions font apparaitre explicitement, pour des professeurs qui ne sont pas spécialement à l’aise avec les mathématiques, que la fraction est un quotient. Cette définition donnée dans les premières pages laisse peu de place aux autres aspects bien que trois d’entre eux soient détaillés.

La barre de fraction appelée aussi « trait » de fraction est directement assimilée à une division et « 𝑎

𝑏 » à un quotient. Pour Perrin et Brousseau cette barre de fraction devait évoquer la relation (relation d’équivalence) entre les deux entiers. Ce point de vue est en rupture assez forte avec les programmes de 2002 et n’apparait pas explicitement dans les programmes en vigueur.

L’article, à plusieurs reprises, montre que la fraction doit être envisagée sous son aspect quotient :

« à l’école élémentaire, les fractions 5₃ ou 7₂ doivent être interprétées comme 5 fois le nombre 1

3 ou 7 fois le nombre 1

2 mais pourront aussi être vues comme des quotients, c’est-à-dire les résultats respectifs des divisions par 3 de 5 et par 2 de 7 :

-le tiers de 5 pour l’une, la moitié de 7 pour l’autre

-le nombre qui multiplié par 3 donne comme résultat 5 pour l’une, le nombre dont le double est 7 pour l’autre.

L’introduction de la division décimale permet ensuite d’établir que 1.666 est une valeur approchée au millième de 5/3 et que 3.5 est une écriture décimale de 7/2. » (Barilly & Lepoche 2012 p.96)

Nous ajoutons qu’avec des fractions équivalentes nous pouvons arriver aux mêmes résultats sans pour autant effectuer la division.Pour l’exemple de 7₂, 7₂=35₁₀ (en utilisant une droite

graduée) ou encore 7 2= 6 2+ 1 2 7 2=3+ 1

2 (les élèves auront établi les équivalences d’écriture suivantes 1₂ =₁₀5 =0.5).

Effectivement, pour obtenir l’écriture décimale de 5₃. il faudra avoir recours à la division car 5₃ =1+2₃ et 2₃ =0.6666.

Les tâches liées à l’équivalence de l’écriture des fractions sont plus complexes et requièrent d’établir des nombreuses substitutions. Utiliser la calculatrice pour déterminer le quotient, ou poser la division de 7 par 3 pour en déterminer le nombre décimal associé peut paraître plus accessibles dans le sens où la connaissance de l’algorithme de la division est un pré requis.

Pour réussir à concevoir que les fractions sont des nombres, les auteurs proposent de mesurer des bandes de papiers avec une unité qui ne permet pas d’exprimer la mesure avec

Chapitre III – Les fractions : points d’appuis théoriques des entiers. Ils recommandent d’avoir recours à différentes représentations (aires de différentes surfaces, mesures de segments), mais aussi à l’utilisation de bâtonnets pour favoriser la compréhension de la commensuration (les bâtonnets ne se pliant pas).Nos connaissances des ressources du premier degré nous permettent de dire que l’aspect commensuration est présent dans les manuels mais comme un savoir caché. Ce mot n’est ni évoqué dans les guides du maître ni dans les programmes et n’est pas spécialement connu des professeurs des écoles. Nous émettons l’hypothèse que nous n’observerons pas de pratiques de professeurs qui enseignent ou utilisent la commensuration.

Enfin, pour ces auteurs, concevoir la fraction comme nombre sera possible en liant à des activités sur les aires les segments des activités de graduation de droite. Placer les fractions sur cette droite graduée entre des entiers et des décimaux permettrait d’accéder à la fraction nombre.

Cela dit la partie sur le calcul des fractions rappelle qu’il faut se limiter à l’addition/soustraction de fractions simples car en CM2, « l’addition des fractions simples n’est accessible qu’en référence à une situation concrète et des oralisations »

Il n’est pas aisé à la lecture de ce document de savoir vraiment ce qui est attendu sur l’enseignement des fractions malgré des exemples de situations. La fraction est-elle un nombre ? Un quotient ? La réponse de ces auteurs semble être que l’expression de l’écriture décimale du quotient soit une bonne aide pour concevoir cela. Nous ne pensons pas qu’écrire 1

3 =0.333 suffisent à concevoir que la fraction soit un nombre ni même que ce soit

un quotient.

Un enseignant devra-t-il donner la définition de la fraction quotient tout en traitant de la fraction mesure en premier lieu ? Cette ressource sert-elle à outiller le professeur à faire classe ou à remettre à jour ses connaissances sur les fractions (moyennant quelques raccourcis mathématiques) ?

Cet article du nombre en cycle 3 évoque une possible progression sur cet enseignement sans être clairement explicite sur les moments où la définition de fraction-quotient devra intervenir.

La fraction-ratio n’apparait pas, la fraction opérateur est évoquée pour des tâches comme « prendre les ¾ des tartelettes » mais le raisonnement exposé repose sur des connaissances relevant du collège.

Chesne (1997) établit un rapport, à la demande des IA IPR en comparant les programmes de 1995 de l’école et du collège notamment sur la comparaison de deux aspects : l’aspect mesure (relevant de la primaire) et la définition de l’aspect quotient. Comme les programmes de 2008 ne semblaient pas proposer d’envisager la fraction comme quotient, son propos nous paraît donc adapté à la compréhension des programmes de 2008.

« en sixième, le problème posé aux professeurs pourrait donc se décrire ainsi : les élèves sortent du cycle 3 en sachant que 3

4x4 = 3, puisque 3 4.+ 3 4+ 3 4 + 3 4 = 12

4 . Il s’agit pour eux de leur faire comprendre que 3₄ est aussi l’écriture d’un nombre tel que 4x 3₄=3. On voit bien la différence entre « nombre qui est multiplié par » et « nombre par lequel il faut multiplier ». » Les exemples proposés dans le « nombre en cycle 3 » semblent ne pas avoir pris en compte cette difficulté entre « nombre qui multiplié par » et « nombre par lequel il faut multiplier ». Nous nous interrogeons donc sur l’impact de l’article du « nombre en cycle 3 » dans les classes observées et du lien à faire pour les PE entre les programmes de 2008 et leurs accompagnements de 2012.

Chapitre III – Les fractions : points d’appuis théoriques