Proc´edure d’extraction avec contrainte d’orientation

Notre travail est bas´e sur la m´ethode de suivi de vaisseau propos´ee par Deschamps et Co- hen [Deschamps and Cohen, 2002, Cohen and Deschamps, 2007] dans laquelle l’algorithme du ‘Fast-Marching 3D’ est combin´e avec la proc´edure de ‘Freezing’ afin d’extraire de longues structures vasculaires. Notre contribution se situe en particulier sur le d´eveloppement d’une fonction de coˆut sp´ecifique pour pallier aux inhomog´en´eit´es de contraste et aux zones faible- ment contrast´ees que l’on retrouve dans les bases de donn´ees scanner.

Nous proposons de restreindre la propagation du front `a la lumi`ere du vaisseau d’int´erˆet. Ainsi certaines contraintes sont appliqu´ees au front : (1) la direction de propagation du front est d´ependante de l’orientation locale du vaisseau ; (2) la propagation du front se fait selon un degr´e de vascularit´e attribu´e `a chaque voxel. De plus la minimisation de voxels visit´es par le front permet de r´eduire le temps de calcul de l’algorithme.

La d´efinition de la fonction de coˆut permet de faire ´evoluer le front plus rapidement dans la direction donn´ee par l’orientation locale du vaisseau et dans les r´egions o`u le degr´e de vascularit´e est le plus ´elev´e (proche de l’axe central du vaisseau). Cette fonction de coˆut est pr´esent´ee section 4.1.4.2. L’orientation locale du vaisseau et la mesure de vascularit´e sont estim´ees `a l’aide d’un filtre bas´e sur la matrice de Hessien con¸cu par Frangi et al. [Frangi et al., 1998] pr´esent´e section 4.1.4.1.

4.1.4.1 Mesure de vascularit´e et estimation d’orientation locale

Une approche multi-´echelle s’appuyant sur les d´eriv´ees secondes de gaussiennes permet de caract´eriser les structures tubulaires. Les d´eriv´ees de gaussiennes sont obtenues par convolu- tion de l’image d’origine avec un filtre gaussien 3D d’´ecart-type 𝜎 (en voxels) et sont utilis´ees pour construire la matrice de Hessien (3 × 3). A l’´echelle 𝜎 correspondant `a la d´eviation stan- dard, la matrice de Hessien est d´efinie `a la position (𝑥, 𝑦, 𝑧) et ses valeurs propres (𝜆1, 𝜆2, 𝜆3)

sont ordonn´ees selon leur amplitude tel que ∣𝜆1∣ ≤ ∣𝜆2∣ ≤ ∣𝜆3∣. L’analyse des valeurs propres

permet d’identifier la structure locale. Pour une structure tubulaire quasi-id´eale, la plus petite valeur propre 𝜆1 est proche de z´ero (refl´etant une variation d’intensit´e minimale). L’amplitude

des deux autres valeurs propres 𝜆2 and 𝜆3 est ´el´ev´ee et pratiquement similaire. Les directions

⃗

𝜈2, ⃗𝜈3) (figure 4.4) : ⃗𝜈1 donne la direction le long du vaisseau, ⃗𝜈2 et ⃗𝜈3 forment une base pour

le plan orthogonal.

Les hypoth`eses pr´ec´edentes sont utilis´ees dans un filtre afin de calculer une mesure de vraisemblance 𝐹𝑥,𝑦,𝑧 pour un voxel d’appartenir `a un vaisseau et d’estimer l’orientation lo-

cale du vaisseau. Nous utilisons dans notre algorithme le filtre d´evelopp´e par Frangi et al. [Frangi et al., 1998]. Th´eoriquement, ce filtre doit donner un d´egr´e de vascularit´e 𝐹𝑥,𝑦,𝑧 maxi-

mal au centre de la structure tubulaire et proche de z´ero au-del`a du contour.

Figure _{4.4 – Directions principales de la structure tubulaire donn´ees par les vecteurs propres : ⃗𝜈}1 donne

la direction le long du vaisseau, ⃗𝜈2 et ⃗𝜈3 forment une base pour le plan orthogonal.

A la position (𝑥, 𝑦, 𝑧) et `a l’´echelle 𝜎, la fonction de vascularit´e 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜎) est calcul´ee de la mani`ere suivante : 𝐹𝑥,𝑦,𝑧,𝜎 = {0, si 𝜆2> 0 ou 𝜆3 > 0 (1 − 𝑒𝑥𝑝(−𝑅 2 𝐴 2𝛼2 ) )𝑒𝑥𝑝(−𝑅 2 𝐵 2𝛽2 ) (1 − 𝑒𝑥𝑝(−𝑆_2𝛾22 ) ) (4.4) avec 𝑅𝐴=     𝜆2 𝜆3     , 𝑅𝐵= ∣𝜆1∣ √∣𝜆2𝜆3∣ et 𝑆 = √ 𝜆2 1+ 𝜆22+ 𝜆23

Les param`etres 𝛼 et 𝛽 sont utilis´es pour contrˆoler la sensibilit´e du filtre aux d´eviations de la forme cylindrique en pond´erant les rapports 𝑅𝐴 et 𝑅𝐵. D’apr`es l’´equation 4.4, 𝑅𝐴 est

petit lorsque 𝜆2 et 𝜆3 sont diff´erents et 𝜆2 est proche de z´ero. Ainsi lorsque 𝑅𝐴 tend vers

z´ero, la forme caract´eris´ee se rapproche d’un plan. Par contre, lorsque 𝑅𝐴 tend vers 1, on se

rapproche d’une forme cylindrique. De la mˆeme fa¸con, 𝑅𝐵 tend vers 1 lorsque 𝜆1 = 𝜆2 = 𝜆3,

ce qui repr´esente une forme de boule. Grˆace aux param`etres 𝛼 et 𝛽, il est possible de donner plus ou moins d’importance aux diff´erentes formes. La mesure 𝑆 aussi appel´ee norme de Frobenius est influenc´ee par le bruit et pond´er´ee par le param`etre 𝛾.

La fonction de vascularit´e 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜎) est appliqu´ee `a diff´erentes ´echelles variant de 𝜎𝑚𝑖𝑛

`

a 𝜎𝑚𝑎𝑥 (correspondant `a l’intervalle de rayon que peut pr´esenter la structure d’int´erˆet) :

𝐹𝑥,𝑦,𝑧= max 𝜎𝑚𝑖𝑛≤𝜎≤𝜎𝑚𝑎𝑥

Suivi de vaisseau 3D par une approche de chemins minimaux 79

La mesure de vraisemblance 𝐹𝑥,𝑦,𝑧correspond `a la r´eponse optimale donn´ee par la fonction

𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜎) `a une ´echelle approchant le rayon de la structure tubulaire. L’orientation locale de la structure est donn´ee par le vecteur propre ⃗𝜈1 correspondant `a la valeur propre la plus

faible 𝜆1 `a l’´echelle 𝜎 qui fournit la r´eponse optimale du filtre.

4.1.4.2 D´efinition de la fonction de coˆut

Le front de propagation est guid´e par la fonction de coˆut suivante qui consid`ere la r´eciproque de la mesure de vascularit´e 𝐹𝑥,𝑦,𝑧 pond´er´ee par une information d’orientation

𝜌 : Λ𝑥,𝑦,𝑧= { (_𝐹 1 𝑥,𝑦,𝑧 ⋅ 𝜌) 2 _{si 𝜃 < 𝑟 et 𝐹} 𝑥,𝑦,𝑧> 𝑠 𝐶, autrement (4.6) avec 𝜌 = 𝑠𝑖𝑛(𝜃)

o`u 𝐶 est le coˆut donn´e aux voxels localis´es en dehors de la r´egion de propagation (seuil 𝑟) et ´egalement aux positions ‘non-vasculaires’ (seuil 𝑠), 𝜃 est l’angle entre la direction de la normale au front→𝑛 et l’orientation locale du vaisseau→Γ. La direction de la normale au front

→

𝑛 est calcul´ee `a l’aide de l’approximation discr`ete propos´ee dans [Parker et al., 2002]. De plus, une fonction sinus est utilis´ee pour normaliser l’angle 𝜃 et discriminer les plus grandes valeurs, et renvoie la valeur 𝜌.

Des pr´ecautions particuli`eres sont prises pour l’estimation de l’orientation locale pour ´eviter les erreurs dues aux artefacts. Tout d’abord, nous ne consid´erons que les orientations estim´ees `a des points dont la valeur de vascularit´e est ´elev´ee. Puis, une valeur moyenne →Γ est estim´ee `a partir de quelques points derni`erement pass´es dans la cat´egorie ‘Accepted’.

Le coˆut 𝐶 n’est pas un param`etre sensible, il doit ˆetre assez ´elev´e pour arrˆeter l’´evolution du front aux positions consid´er´ees (𝐶 = 10000). Les mesures de vascularit´e 𝐹 sont norma- lis´ees en fonction de la plus haute r´eponse. Le seuil 𝑠 n’est pas non plus tr`es sensible, il doit ˆetre proche de z´ero (𝑠 = 0.01). Le seuil 𝑟 doit ˆetre assez restrictif afin d’empˆecher le front de fuir au-del`a des fronti`eres du vaisseau. Les valeurs adopt´ees pour 𝑟 sont donn´ees chapitre 5.

Cette d´efinition de fonction de coˆut permet ainsi au front de se propager plus rapidement dans la direction donn´ee par l’orientation locale du vaisseau, et proche de l’axe central du vaisseau o`u le degr´e de vascularit´e 𝐹𝑥,𝑦,𝑧 est le plus ´elev´e. De plus, dans le cas d’une erreur

dans le filtrage du vaisseau, i.e. une structure non-vasculaire n’est pas d´etect´ee proche du contour du vaisseau (fond ou structure avoisinante), l’information d’orientation 𝜌 permet au front de continuer sa propagation dans le vaisseau.

Figure_{4.5 –La propagation du front avec contrainte d’orientation et proc´edure de ‘Freezing’ dans l’espace}

2D. Le front peut seulement se propager dans une r´egion restreinte d´efinie par la valeur angulaire 𝑟. 𝜃 est l’angle entre la direction de la normale au front→𝑛 `a la position (𝑥, 𝑦, 𝑧) (fl`eches rouges et vertes) et l’orientation locale du vaisseau

→

Γ (fl`eches noires).