Il s’agit d’approches faisant appel `a la th´eorie des graphes et `a la programmation dyna- mique, dans laquelle la proc´edure de segmentation revient `a d´efinir le chemin optimal sur un graphe repr´esentant l’image. Chaque point de l’image correspond `a un noeud du graphe auquel un coˆut est associ´e. Un chemin entre deux points est dit optimal si la somme des coˆuts en chaque point composant ce chemin est la plus faible parmi tous les autres chemins possibles entre ces deux points. Une fonction de coˆut est con¸cue pour favoriser l’estimation de la localisation de la courbe d’int´erˆet (e.g. ligne centrale). Consid´erant une fonction de coˆut Λ attribuant de faibles coˆuts aux points situ´es pr`es de la courbe d’int´erˆet et un point source 𝑃0, le coˆut cumul´e minimal 𝑈𝑥,𝑦,𝑧 le long de la courbe 𝐶(𝑠) du point 𝑃0 `a un point 𝑃𝑥,𝑦,𝑧
s’exprime par : 𝑈𝑥,𝑦,𝑧= min 𝐶 ∫ (𝑥,𝑦,𝑧) 𝑃0 Λ(𝐶(𝑠))𝑑𝑠 (2.6)
L’existence d’un optimum global est l’atout majeur de ces approches, menant `a une ro- bustesse aux anomalies des structures. Les techniques de chemins minimaux se diff´erencient par leur proc´edure d’optimisation num´erique.
Certaines approches sont bas´ees sur l’algorithme bien connu de la litt´erature et propos´e par Dijkstra (1959) ([Olabarriaga et al., 2003b], [Wink et al., 2000a], [Wink et al., 2001] et [Wink et al., 2002]). Il s’agit d’un processus de recherche qui d´emarre d’un point source 𝑠, qui construit it´erativement tous les sous-chemins de longueur minimale et qui se termine une fois le point final atteint. L’algorithme de Dijkstra permet une r´esolution discr`ete du probl`eme des chemins minimaux dont la distance entre deux points est calcul´ee `a l’aide de la m´etrique 𝐿1.
Approches bas´ees chemins minimaux 47
permet de r´esoudre la formulation continue du probl`eme des chemins minimaux comme d´ecrit dans [Cohen and Kimmel, 1997] et [Deschamps and Cohen, 2001]. Elle utilise une mesure de distance Euclidienne (𝐿2) qui permet d’obtenir la connection diagonale entre deux points.
L’algorithme du ‘Fast-Marching’ peut ˆetre vu comme la propagation d’un front d’ondes (cf. paragraphe 2.3.2) o`u le coˆut cumul´e minimal 𝑈𝑥,𝑦,𝑧 est le temps 𝑡 auquel ce front passe par
le point 𝑃𝑥,𝑦,𝑧. Le front se propage ‘en-avant’ et sa vitesse est plus rapide dans les r´egions de
faible coˆut. Le temps d’arriv´ee 𝑈𝑥,𝑦,𝑧 est calcul´e grˆace `a l’´equation Eikonal :
∣∇𝑈 ∣ = Λ (2.7)
Les deux approches d’optimisation pr´ec´edentes pr´esentent la mˆeme complexit´e de calcul, mais des erreurs dans la mesure de distance peuvent survenir avec l’algorithme de Dijkstra dˆu `a la m´etrique 𝐿1 [Deschamps and Cohen, 2001].
Dans l’espace 3D, deux approximations discr`etes de l’´equation Eikonal ont ´et´e d´evelopp´ees ind´ependemment par Sethian [Sethian, 1996] (2.8) et Tsitsiklis [Tsitsiklis, 1995] (2.9).
𝑚𝑎𝑥(𝑈𝑥,𝑦,𝑧− 𝑈𝑥−1,𝑦,𝑧, 𝑈𝑥,𝑦,𝑧− 𝑈𝑥+1,𝑦,𝑧, 0)2 (2.8) + 𝑚𝑎𝑥(𝑈𝑥,𝑦,𝑧− 𝑈𝑥,𝑦−1,𝑧, 𝑈𝑥,𝑦,𝑧− 𝑈𝑥,𝑦+1,𝑧, 0)2 + 𝑚𝑎𝑥(𝑈𝑥,𝑦,𝑧− 𝑈𝑥,𝑦,𝑧−1, 𝑈𝑥,𝑦,𝑧− 𝑈𝑥,𝑦,𝑧+1, 0)2 = Λ2𝑥,𝑦,𝑧 𝑈𝑥,𝑦,𝑧 = min 𝑡1,𝑡2,𝑡3 (𝑡1𝑈1+ 𝑡2𝑈2+ 𝑡3𝑈3+ √ 𝑡21+ 𝑡22+ 𝑡23⋅ Λ𝑥,𝑦,𝑧) (2.9) 𝑠.𝑡. 𝑡𝑖 ≥ 0 𝑒𝑡 ∑ 𝑖 𝑡𝑖= 1 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑈1= 𝑈𝑥±1,𝑦,𝑧, 𝑈2 = 𝑈𝑥,𝑦±1,𝑧 𝑒𝑡 𝑈3 = 𝑈𝑥,𝑦,𝑧±1
Deschamps et Cohen [Deschamps and Cohen, 2001] ont adapt´e la m´ethode du ‘Fast- Marching’ pour extraire des trajectoires dans des images 3D. Ils ont d´evelopp´e un algorithme pour mettre `a jour le temps d’arriv´ee 𝑈𝑥,𝑦,𝑧 dans l’espace 3D `a partir de l’´equation 2.8.
De plus, une m´ethode pour extraire un chemin centr´e dans des structures tubulaires est propos´ee. En effet, les auteurs mettent en avant des erreurs de pr´ecision dans le cas o`u la r´eponse de la fonction de coˆut ne varie pas dans une mˆeme zone. Dans ce cas de figure, le chemin minimal peut ˆetre tangent au contour du vaisseau. La m´ethode propos´ee se compose de trois propagations de front successives avec diff´erentes fonctions de coˆut afin de segmen- ter les contours de la structure tubulaire dans un premier temps, puis de calculer une carte de distance `a l’int´erieur de la structure segment´ee `a partir des contours et enfin de d´efinir le chemin centr´e. Ils ont appliqu´e leur m´ethode sur diff´erentes structures anatomiques 3D avec une fonction de coˆut bas´ee sur une information d’intensit´e pour d´etecter les contours. Cette approche apparaˆıt robuste sur des volumes scanner du colon ou de la trach´ee puisque ces structures pr´esentent un contraste homog`ene. Cependant des difficult´es sont rencontr´ees pour des structures pr´esentant un contraste non-uniforme, telles que pour l’aorte en IRM.
Dans [Cohen and Deschamps, 2007], les auteurs ont propos´e une m´ethode de segmen- tation pour extraire des r´eseaux vasculaires dans l’espace 3D `a partir des techniques du ‘Fast-Marching’ et des ‘Level-Set’. Une premi`ere ´etape de segmentation grossi`ere est obtenue `a l’aide de l’algorithme du ‘Fast-Marching’ combin´ee `a une proc´edure de ‘Freezing’ bas´ee sur une notion de distance. En effet, dans le cas de structures vasculaires allong´ees, la proc´edure de ‘Freezing’ permet de limiter la propagation du front aux abords de la structure vasculaire en gelant les points `a la surface du front ´eloign´es de la tˆete du front (en supposant qu’ils aient atteint le contour du vaisseau). Cette premi`ere segmentation est ensuite raffin´ee en fai- sant ´evoluer un mod`ele d´eformable sur quelques it´erations pour obtenir la surface finale avec pr´ecision. Les auteurs ont propos´e ´egalement un crit`ere d’arrˆet pour la propagation du front en exploitant le taux d’augmentation de la distance g´eod´esique. Enfin, bas´ee sur la m´ethode de d´etection de trajectoire centr´ee pr´esent´ee dans [Deschamps and Cohen, 2001], les auteurs ont d´evelopp´e une m´ethode pour la d´etection de bifurcations.
En ce qui concerne les fonctions de coˆut, les travaux diff`erent selon la modalit´e d’ima- gerie et les caract´eristiques des structures. Nous avons vu qu’une fonction de coˆut bas´ee sur une information d’intensit´e n’´etait pas robuste pour des structures pr´esentant un contraste non-uniforme [Deschamps and Cohen, 2001]. Tandis que l’utilisation de mesure de vascula- rit´e semble donner des r´esultats satisfaisant pour l’extraction d’axe central de structures vasculaires dans les modalit´es CT et IRM avec r´ehaussement de contraste [Wink et al., 2002, Olabarriaga et al., 2003b, Jackowski et al., 2005, Metz et al., 2008a]. De plus, de r´ecentes ´etudes [Li and Yezzi, 2007, Li et al., 2009, Benmansour and Cohen, 2010] proposent d’intro- duire une dimension suppl´ementaire `a la recherche de ligne centrale, `a savoir le rayon local du vaisseau. La position spatiale de la ligne centrale et le rayon local sont optimis´es conjoin- tement. Dans [Li and Yezzi, 2007], deux fonctions de coˆut ont ´et´e con¸cues en utilisant des sph`eres multi-´echelles, bas´ees respectivement sur un crit`ere de similarit´e et de contraste. En- fin, Benmansour et al. [Benmansour and Cohen, 2010] ont coupl´e l’optimisation multi-´echelle avec une information d’orientation en d´eveloppant une mesure anisotrope multi-´echelle et une proc´edure d’optimisation num´erique anisotrope.