Probl` emes d’ordonnancement

Les probl`emes d’ordonnancement se posent dans des domaines aussi vari´es que la gestion de production et les transports, l’exploitation de syst`emes informatiques ou la conduite de projets. Ils consistent `a coordonner l’ex´ecution de tˆaches ou op´erations soumises `a des contraintes de

temps et de ressources, de mani`ere `a r´ealiser un travail global en satisfaisant un ou plusieurs objectifs.

Dans ce qui suit, nous emploierons le terme g´en´erique de tˆache, bien que le terme d’op´eration est g´en´eralement utilis´e en ordonnancement de la production. Le probl`eme peut donc se poser comme suit : ´etant donn´e un horizon de temps, un ensemble de ressources ainsi que leur disponi- bilit´e sur l’horizon, un ensemble de tˆaches et un ensemble de contraintes de pr´ec´edence entre ces tˆaches, il s’agit de d´eterminer les dates de d´ebut et de fin de chaque tˆache, ainsi que la ressource r´ealisant son ex´ecution.

De nombreux travaux de recherche ont ´et´e consacr´es `a la r´esolution des probl`emes d’ordon- nancement. Classiquement, on recherche une solution exacte ou approch´ee au probl`eme d’opti- misation combinatoire ainsi formul´e (Baker, 1974). La complexit´e du probl`eme `a traiter (NP- difficult´e) incite souvent `a l’utilisation de m´ethodes approch´ees (heuristiques) au d´etriment de m´ethodes exactes, garantissant l’optimalit´e des solutions trouv´ees mais au prix d’un temps pro- hibitif dans un contexte r´ealiste (taille des probl`emes, “richesse” des contraintes r´eelles). Dans cette ´etude, nous allons nous int´eresser aux m´ethodes de recherche arborescente et locale pour r´esoudre le probl`eme de fa¸con efficace.

VI.2.1

D´efinitions

Pr´ecisons la d´efinition des principaux concepts des probl`emes d’ordonnancement.

Les tˆaches

Les tˆaches sont les entit´es ´el´ementaires du probl`eme. Elles sont localis´ees dans le temps par une date de d´ebut et n´ecessitent pour leur r´ealisation un certain nombre d’unit´es de temps (dur´ee de la tˆache) et de ressources. Selon les probl`emes, les tˆaches peuvent ˆetre ex´ecut´ees par morceaux (probl`emes pr´eemptifs) ou doivent ˆetre ex´ecut´ees sans interruption (probl`emes non pr´eemptifs).

Les ressources

Une ressource est un moyen, humain ou technique, de disponibilit´e (limit´ee ou non) connue a priori. On distingue parmi les ressources `a disponibilit´e limit´ee les ressources renouvelables et les ressources consommables. Une ressource est renouvelable si elle est `a nouveau disponible en mˆeme quantit´e apr`es avoir ´et´e allou´ee `a une ou plusieurs tˆaches, dans le cas contraire elle

est consommable. A titre d’exemple, les machines sont des ressources renouvelables, les mati`eres premi`eres des ressources consommables.

La fonction objectif

La fonction objectif est l’outil dont on dispose pour quantifier la qualit´e d’une solution. Plusieurs crit`eres peuvent d´efinir cette fonction, comme des crit`eres li´es au temps (temps total de l’ordonnancement, retards des tˆaches lorsque des dates limites sont fix´ees pour leur ex´ecution, ...), des crit`eres li´es aux coˆuts de production ou li´es aux ressources (l’´equilibrage de la production dans les ressources, ...). Notons que certains probl`emes de d´ecision ne sont pas associ´es `a l’optimisation d’une fonction objectif, mais consistent `a prouver l’existence d’une solution afin de d´emontrer l’admissibilit´e (respect des contraintes) du probl`eme ; on parle alors de probl`eme de satisfaction de contraintes (Constraint Satisfaction Problem, CSP).

Les diff´erents types de contraintes

• Contraintes temporelles

Le probl`eme pr´esente par exemple ce type de contraintes lorsque les tˆaches sont li´ees par des contraintes de pr´ec´edence. Ainsi, si la tˆache i pr´ec`ede la tˆache j, on ne peut commencer l’ex´ecution de j avant la fin de l’ex´ecution de la tˆache i. Ces contraintes de pr´ec´edence sont ce qu’on appelle des contraintes de potentiels dans le sens o`u elles ´etablissent des relations entre dates de d´ebut (ou de fin) de tˆaches.

Pour les probl`emes n’int´egrant que des contraintes de potentiels, le calcul des dates de d´ebut au plus tˆot et d’un ordonnancement de dur´ee minimale est de r´esolution ais´ee, par l’utilisation de m´ethodes comme PERT (Program Evaluation and Review Technique) ou MPM (M´ethode des Potentiels-Metra). En termes math´ematiques, il s’agit de calculer le plus long chemin dans le graphe de contraintes de pr´ec´edence. Ce type de probl`eme peut ˆetre r´esolu avec un algorithme de complexit´e polynomiale (algorithme de Bellman-Ford). • Contraintes sur les ressources

Les contraintes sur les ressources sont de nature diff´erente : – Contraintes d’allocation de ressources

Une ressource disponible doit ˆetre allou´ee `a chaque tˆache `a ex´ecuter. – Contraintes de partage de ressources disjonctives

Une ressource disjonctive, une machine, ne peut ex´ecuter deux tˆaches en parall`ele. Dans le probl`eme que nous traitons dans le cadre de ce chapitre, nous allons nous int´eresser particuli`erement aux probl`emes pr´esentant de telles contraintes de disjonction, ainsi que des temps de pr´eparation entre l’ex´ecution de deux tˆaches.

– Contraintes de partage de ressources cumulatives

Dans le cas o`u les ressources sont disponibles en quantit´e limit´ee, le nombre de ressources en train d’ex´ecuter une tˆache `a un instant donn´e ne doit pas ˆetre sup´erieur au nombre de ressources disponibles. Ce type de contraintes n’est pas consid´er´e dans le probl`eme trait´e.