Probl` emes non-r´ ealisables

Un probl`eme d’ordonnancement des transports peut ˆetre non-r´ealisable en raison des con- traintes sp´ecifi´ees dans le mod`ele initial ou peut le devenir au cours de sa r´esolution. Ceci est

le cas quand une s´equence de d´ecisions (qui correspond `a l’instanciation d’un certain nombre de variables de d´ecision) entraˆıne la non-existence d’une valeur consistante (i.e., qui ne viole aucune des contraintes du probl`eme) pour une des variables qui n’a pas encore ´et´e instanci´ee.

Les diff´erents types de probl`emes sont illustr´es sur la figure V.1. Il s’agit de r´ealiser l’affec- tation de deux clients aux v´ehicules. Ces derniers ont chacun un poids maximal de transport (100 kg. pour le v´ehicule V1et 80 kg. pour le v´ehicule V2). Le poids de la demande du client C1 est de 60 kg. et de 30 kg. pour le client C2. Dans le probl`eme de la figure V.1 (a), le client C1 peut ˆetre affect´e indiff´eremment aux deux v´ehicules, en revanche le client C2 peut ˆetre servi uni- quement par le v´ehicule V2. Ce probl`eme est r´ealisable, car l’affectation du client C1 au v´ehicule V1 et du client C2 au v´ehicule V2 est une solution qui ne viole aucune contrainte du probl`eme. Dans l’exemple de la figure V.1 (b) (o`u les deux clients doivent ˆetre servis par le v´ehicule V2), le probl`eme est cependant non-r´ealisable car le poids limite du v´ehicule est d´epass´e. Enfin, la figure V.1 (c) illustre un probl`eme initialement r´ealisable (le probl`eme de la figure V.1 (a)) qui `

a cause d’une d´ecision qui a ´et´e prise devient non-r´ealisable. La d´ecision d’affecter le client C1 au v´ehicule V2 entraˆıne en effet qu’il n’existe plus d’affectation possible pour le client C2 sans violer une des contraintes du probl`eme.

V1 V2

C1(60 kg.) C2(30 kg.)

100 kg. 80 kg.

(a) Probl`eme r´ealisable

V2

V1

C1(60 kg.) C2(30 kg.)

80 kg. 100 kg.

(b) Probl`eme non-r´ealisable

V2

V1

D´ecision 1 : Affecter le client C1au v´ehicule V2

C1(60 kg.) C2(30 kg.)

100 kg. 80 kg.

(c) Probl`eme r´ealisable qui devient non- r´ealisable `a cause de la D´ecision 1

D’apr`es Higgins (1996, 1999) ce probl`eme d’infaisabilit´e peut ˆetre surmont´e par l’op´erateur humain essentiellement de deux mani`eres : avec l’autorisation d’une relaxation forte des contraintes ou avec l’autorisation d’une relaxation l´eg`ere des contraintes (voir figure V.2).

Sélection à partir des objectifs Evaluation Problème sur−contraint Problème non−réalisable Relaxation de contraintes

solutions trop vaste _{de contraintes à relâcher}

Problème: Objectifs contradictoires Modèle

simplifié

Algorithme complexité, critères,...

d’optimisation:

Forte: Espace de Légère: choix de l’ensemble

Fig. V.2 – Analyse des options propos´ees dans Higgins (1996) pour surmonter un probl`eme non-r´ealisable

Une relaxation forte de contraintes consiste `a relˆacher un ensemble cons´equent de contraintes de mani`ere `a ´elargir sensiblement l’espace de solutions qui au d´ebut ´etait vide. Le mod`ele consid´er´e pour la r´esolution est ainsi, encore une fois, simplifi´e. Le principal inconv´enient de cette approche est que, malgr´e l’hypoth´etique existence d’un algorithme d’optimisation efficace qui permette de r´esoudre le probl`eme g´en´eralement de complexit´e non polynomiale, la solution propos´ee risque d’ˆetre loin des exigences de l’op´erateur. Ceci peut impliquer que l’op´erateur humain favorise une approche plus manuelle au d´etriment du syst`eme d’aide `a la d´ecision, car l’op´erateur est toujours oblig´e de v´erifier et/ou modifier la solution propos´ee par le syst`eme. De plus, la conception de l’algorithme d’optimisation n’est pas ´evidente. Par exemple, en ce qui concerne le choix du crit`ere `a optimiser, dans les m´ethodes de recherche op´erationnelle il est habituel d’inclure des termes li´es aux coˆuts des violations de certaines contraintes dans la fonction objectif. Un des probl`emes ici est que ni l’op´erateur humain ni le concepteur ne sont

capables de pouvoir sp´ecifier de mani`ere num´erique quels sont les coˆuts associ´es `a la violation d’une contrainte. Par exemple, le retard dans la livraison pour certains clients peut n’avoir au- cune cons´equence n´egative et pour d’autres peut, en revanche, impliquer la r´esiliation du contrat ou induire une mauvaise publicit´e, situations qui peuvent entraˆıner des pertes inestimables `a l’avance. Nous concluons donc que cette approche est loin d’ˆetre envisageable pour un syst`eme cens´e faciliter les tˆaches li´ees `a la r´esolution du probl`eme.

L’autre possibilit´e est une relaxation l´eg`ere des contraintes qui permet de retrouver la faisa- bilit´e d’un petit ensemble de solutions. Cette approche est, selon nous, plus ad´equate pour ˆetre int´egr´ee dans un syst`eme d’aide `a la d´ecision. D’apr`es Higgins (1999), l’op´erateur r´ealise un cycle s´election-relaxation-´evaluation jusqu’`a parvenir `a une solution satisfaisante. La programmation par contraintes propose un cadre g´en´erique pour r´esoudre ce type de probl`eme grˆace au forma- lisme des CSP pond´er´es (weighted Constraint Satisfaction Problem). Dans ce type de probl`emes, un ensemble de contraintes qui ne d´efinissent pas des restrictions strictes est consid´er´e. Il s’agit donc de minimiser le nombre de contraintes viol´ees (probl`eme dit “max-CSP”). La principale interrogation de cette approche r´eside dans le fait de d´eterminer quel est le plus pertinent choix des contraintes `a relˆacher. De plus, la complexit´e de ce type de probl`emes est aussi g´en´eralement non polynomiale. Jussien (2001) propose des m´ecanismes algorithmiques bas´es sur le concept d’“explication” pour d´eterminer les contraintes ou ensembles de contraintes qui doivent ˆetre relˆach´ees afin de rendre le probl`eme r´ealisable. L’approche reste cependant tr`es algorithmique et difficilement int´egrable sous sa forme actuelle dans un syst`eme coop´eratif.

Nous nous sommes inspir´es de cette approche et du concept d’inversion du mod`ele pour la conception d’un m´ecanisme qui permet de proposer `a l’op´erateur humain une liste de contraintes `

a relˆacher en priorit´e pour que le probl`eme devienne r´ealisable. L’id´ee est de faciliter `a l’op´erateur la tˆache de s´election des contraintes `a relˆacher pour ainsi rompre le plus vite possible le cycle s´election-relaxation-´evaluation de la figure V.2.