La modélisation de la capsule et du fluide est la même que dans le reste du manuscrit, notamment le chapitre 4.
La capsule est placée dans un microcanal composé d’une portion à section carrée 2l×2l de longueur L (L/l = 16) connectée en série à une portion co-axiale à section rectangulaire 2l×4l selon les axes Oy et Oz, respectivement, et de longueur L selon Ox (cf. Figure 1.1). La capsule est initialement positionnée à une distance 2l de l’entrée du canal. Pour des rapports d’aspect a0/l > 1, la capsule est pré-déformée en un ellipsoïde de révolution avant d’être insérée dans le canal (Hu et al., 2012, 2013). Il a été choisi de considérer, dans l’étude, une capsule de rapport d’aspect a0/l = 1.1, pré-déformée en un ellipsoïde de demi-grand axe 1.5a0 et de demi-petits axes a0/√1.5. Le repère, dont l’axe Ox est orienté dans le sens de l’écoulement, est centré sur la position initiale du centre de gravité de la capsule. La marche est donc située à x/l=14.
La capsule est ainsi soumise à un écoulement de Poiseuille de vitesse moyenne V, imposé en entrée. L’échelle de temps caractéristique est l/V, donnant le temps adimensionnel ˜t= tV/l. En conditions de Stokes, l’échelle de pression est µl/V, donnant la pression adimensionnelle ˜p = pl/µV. L’adimensionnement est sinon identique à celui dans le chapitre 4. Les conditions aux limites imposées aux ori-fices du canal sont une condition de Dirichlet pour la vitesse et une condition de
Neumann pour la pression en entrée, et vice-versa en sortie.
Les nombres adimensionnels qui pilotent l’écoulement de la capsule dans le canal carré sont le rapport d’aspect a0/l, le nombre capillaire Ca = µV/Gs, ratio entre les forces élastiques et les forces visqueuses, et le nombre de Reynolds Re=
ρVl/µ. Dans cette étude, le nombre capillaire a été fixé à Ca =0.05, et le nombre de Reynolds varie : Re=0 (écoulement de Stokes), 1 et 15.
On s’attache tout d’abord à décrire le régime de Stokes, qui a été étudié expéri-mentalement par Gires et al. (2016) et dont la partie en canal droit a également été étudiée numériquement par Hu et al. (2012), Hu et al. (2013), Krüger et al. (2014), Kusters et al. (2014), Wang et al. (2016).
Spécificités du point de vue numérique
Pour garantir la stabilité de la simulation, la vitesse moyenne de l’écoulement en entrée, initialement nulle, est augmentée linéairement jusqu’au temps adimen-sionnel ˜t = 1, puis maintenue à la valeur nominale de V. Ce temps est choisi de manière à garantir que la capsule ait atteint sa forme stationnaire à une distance minimum de 2a0 de la marche. Pour déterminer si l’état stationnaire est atteint, nous vérifions que la variation d’aire de la membrane de capsule, par rapport à la configuration de référence, varie, sur une unité de temps ˜t = 1, de moins de 5×10−4pour les cas Re=0 et Re=1 et de moins de 2×10−3pour Re=15.
Afin d’obtenir les résultats plus rapidement pour Re = 1 et Re = 15, une simulation est d’abord exécutée en régime de Stokes, car elle y transite le plus vite vers sa forme stationnaire. A ˜t = 5, elle est redémarrée en imposant une rampe de vitesse jusqu’à la valeur moyenne V désirée(1). Pour s’assurer que la capsule atteigne un état stationnaire avant la marche, la capsule est reculée d’une unité de longueur l avant de relancer le calcul. Pour pouvoir comparer les résultats à ceux d’une simulation sans redémarrage, le temps de la simulation redémarrée est avancé de 5l/V−l/1.21V ≈4.17l/V(2).
Les temps de simulation sont également réduits à l’aide de la fonction d’écra-sement (cf. chapitre 2). La figure 1.2 représente la structure du maillage et la
loca-1. La rampe en vitesse est 100 fois plus raide que précédemment. Pour éviter une relaxation excessive de la capsule lors de cette rampe, on applique la même rampe aux forces IBM.
Figure 1.2 – Représentation dans trois plans de coupes orthogonaux du champ d’indicateur d’interaction localisant la membrane de la capsule pour la méthode IBM localement régulier, et du maillage eulérien adaptatif dans le plan xOz.
lisation de la capsule dans le fluide pour la méthode IBM à ˜t= 13.17. La capsule a alors fini de traverser la marche (depuis ˜t≈ 12.98) et se met à traverser le canal rectangulaire. Le champ indicateur interaction cint compte le nombre de nœuds lagrangiens interagissant avec un nœud eulérien donné (cf. chapitre 2, section 5). Il est à valeurs entières, nulles hors du tampon optimal (ie. la réunion des sup-ports IBM centrés aux nœuds lagrangiens) et strictement positives sur celui-ci. A ˜t = 13.17, son maximum est maxEcint = 22. Le maillage est raffiné au maxi-mum à ∆ ≡ ∆min = 1/32 sur le tampon optimal. En revanche, loin de la cap-sule, le dé-raffinement est forcé par la fonction d’écrasement. D’autres zones de dé-raffinement se produisent naturellement en dehors du tampon optimal, notam-ment dans le cœur liquide où les gradients de vitesse sont faibles par endroits.
2 Relaxation d’une capsule en écoulement de Stokes
La dynamique d’écoulement de la capsule suit 7 étapes :
1. Elle se relaxe rapidement par rapport à sa pré-déformation(3)jusqu’à ˜t≈3 ;
2. Elle subit l’écoulement de Poiseuille (graduel pour ˜t < 1 puis constant), jusqu’à atteindre sa forme stationnaire à ˜t≈7.79 ;
3. Elle s’écoule de façon stationnaire jusqu’à arriver à une distance 2a0 de la marche (x/l=11.8) à ˜t≈8.94 ;
4. Elle approche la marche, commençant à subir son influence, jusqu’à ce que l’avant de la capsule arrive au niveau de la marche à ˜t≈10.77 ;
5. Elle subit l’expansion du canal à mesure qu’elle traverse la marche jusqu’à ce que l’arrière de la capsule soit sorti du canal à section carrée, ce qui se produit à ˜t≈12.98, aussi noté ˜te=teV/l (Gires et al., 2016) ;
6. Elle se relaxe sous écoulement au sens de Gires et al. (2016) dans le canal rectangulaire, ne subissant plus la contrainte de confinement selon l’axe Oz du canal carré, jusqu’à ˜t≈19.89, où le régime stationnaire est atteint ;
7. Elle suit un écoulement stationnaire dans le reste du canal rectangulaire. Les temps de transition entre ces étapes serviront de référence lors de la com-paraison avec les autres régimes (Re=1 et Re=15).