Pour valider la simulation numérique dans la partie à carrée du canal, les résultats obtenus en régime de Stokes sont comparés à ceux obtenus par Hu et al. (2013) en utilisant le solveur fluide-structure Caps3D couplant la méthode des intégrales de frontières (BIM) à celle des éléments finis (FEM) (Walter et al., 2010). L’évolution de la forme de la capsule jusqu’à ˜t=9 est montrée en Figure 2.1.
On voit que l’état stationnaire est atteint un peu avant ˜t = 8. On peut le véri-fier avec l’évolution de la variation relative de l’aire de la membrane et son taux d’accroissement sur une durée adimensionnelle de 1, représentés en figure 2.2.
La Figure 2.2a montre l’évolution de l’aire de la membrane au cours du temps à travers sa variation relative par rapport à la configuration de référence. On voit que l’aire se stabilise un peu avant ˜t = 8, à une valeur proche de celle obtenue en canal droit infiniment long par Hu et al. (2012) et Hu et al. (2013). Un très bon accord est obtenu, la variation d’aire étant de 14.1% dans nos simulations et de 14.9% dans la simulation de Hu et al. (2012) et Hu et al. (2013). Par ailleurs, l’aire est quasiment la même pour la simulation redémarrée (pointillés épais) que pour la simulation complète (ligne pleine fine), ce qui contribue à valider la procédure
˜t=0 ˜t=5
˜t=1 ˜t=6
˜t=2 ˜t=7
˜t=3 ˜t=8
˜t=4 ˜t=9
Figure 2.1 – Evolution de la forme de la capsule dans le canal carré : profil de la capsule dans le plan xOz à différents instants allant de ˜t=0 à ˜t=9.
a. b.
Figure 2.2 – Évolution temporelle de la variation relative d’aire de la membrane (S(˜t) −S0)/S0 et comparaison aux résultats de Hu et al. (2013) et (a) de la varia-tion d’aire(S(˜t) −S(˜t−1))/S0au cours d’un intervalle de temps adimensionnel de longueur 1 (b). Les symboles+représentent l’atteinte de l’état stationnaire.
a. b.
Figure 2.3 – Profil de la capsule dans le plan xOz à l’état stationnaire à ˜t= 8 : a. Comparaison de la simulation complète avec les résultats de Caps3D (Hu et al., 2013) ; b. Superposition de la simulation complète avec la simulation redémarrée.
de redémarrage. La Figure 2.2b montre l’évolution du taux d’accroissement de l’aire de la membrane sur une unité de temps adimensionnelle. On voit que le critère de convergence est atteint à ˜t ≈ 7.79 pour la simulation complète et vers ˜t ≈ 7.2 pour la simulation redémarrée. Dans les deux cas, l’état stationnaire est atteint avant que la capsule n’arrive à un diamètre 2a0de la marche, qui se produit à ˜t ≈ 8.94 : c’est la phase d’approche de la marche. Au-delà de la validation, on constate sur la Figure 2.2a qu’en termes de variation d’aire de la membrane, l’état stationnaire est environ 2.4 fois plus déformé que l’état ellipsoïdal initial, pour lequel la variation relative d’aire n’est que de 6%.
Il s’agit à présent de valider l’état stationnaire en canal carré. La figure 2.3 représente les simulations complète, redémarrée et de Hu et al. (2013) deux à deux superposées. La simulation complète et la simulation redémarrée sont prises à ˜t=8. Le référentiel est celui du centre de gravité G de chaque capsule.
La Figure 2.3a représente la superposition entre la simulation complète et celle de Hu et al. (2012)/Hu et al. (2013)/Gires et al. (2016). Les résultats concordent très bien sur presque toute la membrane, la distance de Hausdorff modifiée calculée par méthode de projection(4) valant dHm,p ≈ 8×10−3, ce qui valide l’état station-naire de la simulation complète. La qualité de l’accord est toutefois réduite près des bords du parachute arrière de la capsule (Hu et al., 2013), ce qui donne une distance de Hausdorff (calculée par la même méthode) de dH,p ≈5×10−2. La
Figure 2.4 – Coupes de relaxation sous écoulement, et supersposition avec la Fi-gure 2 de Gires et al. (2016). En bleu, les coupes aux temps numériques non corri-gés. En mauve, les coupes aux temps numériques corricorri-gés.
gure 2.3b représente la superposition entre la simulation complète et la simulation redémarrée. Les deux sont en parfait accord (dH,p ≈5×10−3et dHm,p ≈5×10−4), ce qui valide la procédure de redémarrage.
2.2 Forme, longueur, vitesse, énergie et tensions de la capsule lors de son écoulement dans le canal avec marche
Après l’atteinte de l’état stationnaire, la capsule approche puis traverse la marche, suite à quoi elle se relaxe. Ces trois étapes sont illustrées par la Figure 2.4, où l’on superpose les résultats de la simulation numérique redémarrée avec les résultats expérimentaux de Gires et al. (2016).
Le fond de plan constitue les résultats de Gires et al. (2016). On y distingue quatre coupes de la capsule durant les différentes étapes de son écoulement : une à l’approche de la marche, l’autre à sa traversée et les deux restantes lors de la re-laxation. Les coupes bleues représentent les résultats de nos simulations. Dans la photographie expérimentale, l’abscisse de la marche, la portion de canal à section carrée et la première coupe sont utilisées pour caler la géométrie du canal numé-rique et retrouver le premier instant adimensionnel ˜t1 ≈ 10.26. La seconde coupe expérimentale est utilisée de façon incrémentale par rapport à la première afin de retrouver l’échelle de temps convective après avoir trouvé le temps numérique cor-respondant ˜t2≈12.56. Les valeurs ˜t1et ˜t2sont celles optimisant la correspondance
entre simulation et expérience. Sachant que la durée réelle entre les deux premiers clichés est t2−t1 = 84 ms dans l’expérience de Gires et al. (2016), on retrouve l’échelle de temps convective : l/V ≈ 36.5 ms. Cette échelle est ensuite utilisée au prorata des durées réelles t3−t1 = 202 ms et t4−t1 =332 ms pour retrouver les instants adimensionnels ˜t3 ≈ 15.79 et ˜t4 ≈ 19.35. Enfin, un facteur correctif de 1.02 est appliqué à ˜t3−˜t1 et à ˜t4−˜t1 pour tenir compte du fait que le rapport de largeur selon Oz du canal de Gires et al. (2016) entre la partie rectangulaire et la partie carrée (et donc le ralentissement du fluide) est de 1.96, et non de 2 comme dans nos simulations. On trouve les temps corrigés ˜t3,corr ≈15.90 et ˜t4,corr≈19.54. Globalement, la correspondance est très bonne entre les coupes numériques aux quatre instants ˜t1, ˜t2, ˜t3,corr et ˜t4,corr et les clichés de Gires et al. (2016) aux instants t1, t2, t3 et t4. On note toutefois que la capsule simulée a des courbures maximum plus élevées, ce qui traduit dans l’expérience l’existence d’une raideur de flexion. Enfin, on note que la membrane de Gires et al. (2016) possède une visco-sité de membrane, ce qui se traduit par la plus lente adoption d’une forme arrière convexe que dans nos simulations. Les auteurs ont eux-mêmes fait ce constat et ont estimé la viscosité de membrane après comparaison avec Diaz et al. (2001).
Une fois la membrane relaxée, elle a atteint sa forme finale et s’écoule de façon stationnaire dans le canal rectangulaire. La Figure 2.5 représente l’évolution de la longueur Lx de la capsule selon Ox entre le temps ˜t= 3 et la fin de la simulation. Les numéros correspondent aux étapes décrites en introduction de section. Par souci de clarté, la première des 7 étapes n’est pas représentée. La longueur en canal carré est stabilisée (étape 2) bien avant que l’état stationnaire ne soit atteint (étape 3). Elle diminue en fin de l’approche de la marche (étape 4) et durant son franchissement (étape 5). Elle atteint un minimum global en début de relaxation au sens de Gires et al. (2016) (étape 6), puis tend de façon monotone vers sa valeur asymptotique. La longueur finale Lx ≈ Lx,∞ ne diffère de celles de Gires et al.
(2016) que de 0.02l. Quant à la largeur finale de la capsule Lz selon Oz, elle ne diffère que de 0.004l de celle, asymptotique, des simulations numériques de Gires et al. (2016), soit une excellente concordance. Enfin, la courbe de la simulation redémarrée est en excellent accord avec celle de la simulation complète.
La Figure 2.6 représente l’évolution de la vitesse (du centre de gravité G) de la capsule. On constate que la vitesse à l’état stationnaire en canal carré est de
Figure 2.5 – Évolution temporelle de la longueur de la capsule en régime de Stokes dans la simulation complète (ligne pleine fine). Comparaison avec la simulation redémarrée (ligne épaisse en pointillés). Les lignes verticales délimitent les étapes de la dynamique de la capsule dans le canal avec marche.
Figure 2.6 – Évolution temporelle de la vitesse de la capsule en régime de Stokes. Comparaison avec la simulation redémarrée. Les lignes verticales délimitent les étapes de la dynamique de la capsule dans le canal avec marche.
Vcaps= 1.21V dans notre simulation, ce qui est en très bon accord avec le Vcaps= 1.2V dans la simulation BIM-FEM en canal carré de Hu et al. (2012). Par ailleurs, la courbe de vitesse de la simulation redémarrée se superpose très bien avec celle de la simulation complète. Enfin, au-delà de la validation, on constate une baisse presque monotone de la vitesse à la traversée de la marche (étape 5), en début de relaxation (étape 6), à un petit rebond dont le maximum se produit à ˜t ≈ 13.24 juste après ˜t= ˜te≈12.98.
Une autre donnée à observer est l’énergie libre de déformation, qui traduit le degré global de déformation de la membrane. Elle est représentée en Figure 2.7.
Figure 2.7 – Évolution temporelle de l’énergie de la membrane en régime de Stokes dans la simulation complète (ligne fine pleine). Comparaison avec la simulation redémarrée (ligne épaisse en pointillés). Les lignes verticales délimitent les étapes de la dynamique de la capsule dans le canal avec marche.
La membrane perd 85% de son énergie entre l’état stationnaire du canal carré et celui du canal rectangulaire, passant de Em/Gsa20 ≈0.74 à Em/Gsa20≈0.11. Le re-trait des contraintes de confinement selon une seule direction (Oz) suffit donc à ce que la membrane soit globalement beaucoup moins déformée. La transition n’est toutefois pas monotone, l’écoulement convectif redonnant de l’énergie mécanique à la membrane lors de son expansion selon Lz en fin d’étape 5 - début d’étape 6. L’énergie atteint alors un maximum local de Em/Gsa2
0 ≈ 0.68 à ˜t≈ 13.24, mais ce pic ne dure pas, le maximum n’étant approché à 0.01 unités près qu’entre ˜t≈13.17 et ˜t≈13.31. Sur les Figures 2.5 et 2.7, les données caractérisant l’état de la capsule subissent des variations particulières peu après ˜t= ˜te≈12.98, c’est-à-dire en tout début de relaxation sous écoulement (selon Gires et al. (2016)). Nous focalisons donc la suite nos observations en conditions de Stokes sur cette courte phase par-ticulière, plus précisément à ˜t=13.17 (9 unités de temps post-redémarrage), pour lequel nous avons des données détaillées sur la membrane et le fluide.
La figure 2.8 représente l’état de la membrane à l’instant ˜t = 13.17. Sur la figure 2.8a, on observe les valeurs des tensions négatives Tneg =4 min(Tmin, 0), où Tmin ≤Tmaxsont les deux valeurs propres du tenseur des tensions T. Les tensions sont normalisées par Gs. On constate que | Tneg | /Gs << 1 partout sauf sur la partie des bords du parachute arrière située près du plan xOy. Comme de plus la membrane est en grandes déformations (ie. max{|Tmin|,|Tmax|}/Gs = O (1)), on a donc Tmax/Gs= O (1). La membrane est donc sous tension presque partout, dans une ou deux directions, et en compression presque nulle part. La figure 2.8b
a. b.
Figure 2.8 – Représentation 3D de l’état de la membrane à ˜t= 13.17 : a. tensions négatives normalisées Tneg/Gset b. charges normales normalisées qna0/Gs.
montre la charge normale(5). Malgré quelques artefacts numériques(6), on voit que qn<0 au centre du parachute. A contrario, on a qn>0 sur la partie des bords du parachute située près du plan xOz et qu’à cet endroit, | qn | est maximum. Cela suggère que par rapport au cœur liquide, le fluide externe est en surpression près du centre du parachute, et en dépression près de ses bords. Il convient donc de s’intéresser au champ fluide proche de la capsule.