Le problème des courants parasites

Le principal problème rencontré, dans la simulation numérique d'écoulements multi- phasiques lorsque la tension de surface est prépondérante sur l'écoulement, est l'apparition de courants parasites au niveau de l'interface (gures 4.10 et 4.11). Ils se rencontrent dans toutes les méthodes numériques basées sur une approche eulérienne avec prise en compte volumique de la tension de surface, que ce soit dans les méthode de diérences nies (gure 4.10), les méthodes d'éléments nis, ou dans les méthodes Lattice Boltzmann (gure 4.11). Ces courants parasites sont la plupart du temps négligeables lorsque l'écoulement est régi par les forces visqueuses, puisque les vitesses mises en jeu sont bien plus importantes que les vitesses parasites. Ce n'est bien évidemment pas le cas lorsque les phénomènes capil- laires sont les plus importants, puisque les vitesses mises en jeu sont faibles et que les pas de temps associés aux phénomènes capillaires sont souvent très faibles. Dans ce cas, les vitesses parasites vont provoquer un écoulement qui va déformer l'interface.

Bien que certaines publications traitant de la simulation numérique de phénomènes capillaires ne discutent pas de ce problème particulier [CKM09, LSH08, XLLZ06], beau- coup d'auteurs abordent de ce problème, ou tout simplement, testent la stabilité de leurs formulations en vériant l'amplitude de ces oscillations.

La principale explication concernant l'apparition de ces courants parasites est un dés- équilibre dans le calcul des contraintes [LNS+_{94, SSA08, GFH09, MGCR07, TW07]. Ce}

déséquilibre provient d'erreurs numériques [JTB02]. Selon certains auteurs, elles portent sur la discrétisation de l'interface [Gun92, SSA08] et plus particulièrement sur le calcul de la normale et de la courbure [Bon05, Cou07, MGCR07, WKP98, OKZ07, SO06].

Ces courants parasites apparaissent principalement dans la phase de faible viscosité ou de plus faible densité. Ainsi, Couderc [Cou07] observe que l'intensité des courants parasites est plus importante dans le gaz que dans le uide.

Ce problème était déjà connu pour la méthode Lattice Boltzmann [Gun92] et dans l'ar- ticle traitant de la méthode CSF [BKZ92], les auteurs expliquent que les courants parasites apparaissent à cause des changements discontinus dans la localisation et l'orientation de l'interface, introduits par la méthode VOF.

Si beaucoup d'auteurs se contentent d'aborder le problème et de montrer l'ecacité de leurs méthodes pour diminuer les courants parasites, d'autres s'y sont plus attardés. Ainsi, Lafaurie et al. [LNS+_{94] ont étudié, pour la formulation CSS, les variations d'amplitude}

4.2 La tension de surface

Figure 4.10  Courants parasites apparaissant avec l'utilisation d'une méthode VOF et CSF [TW07].

Figure 4.11  Courants parasites apparaissant avec l'utilisation d'une méthode lattice Boltz- mann [LLP07].

de ces courants parasites en fonction de la viscosité et du coecient de tension de surface et ont proposé une relation linéaire entre la vitesse max des courants et le rapport γ/η. Dans sa thèse [Cou07], Couderc a fait le même travail pour la méthode Ghost-uid, qui permet de prendre en compte les sauts en prolongeant de chaque côté de l'interface les variables discontinues sur des n÷uds fantômes. Il trouve la même loi pour la norme L2 de la vitesse des courants parasites :

kukL2 = C

γ

η (4.20)

où C est une constante.

De nombreuses tentatives ont été menées pour réduire l'intensité de ces courants para- sites. Couderc [Cou07] montre que l'utilisation de la méthode Ghost-uid pour imposer les sauts au niveau de l'interface réduit de deux ordres de grandeur l'intensité des cou- rants parasites par rapport à la méthode CSF appliquée à une Level Set. En eet, selon lui, une grande partie des problèmes viendraient de la diculté à imposer des sauts dans

par rapport aux méthodes classiques. Olsson et al. [OKZ07] utilisent une méthode Level Set quadratique et calculent la courbure en utilisant la relation ˜κ−ε∆˜κ = κ. Cela permet d'améliorer la précision des résultats. L'ajout d'une diusion sur le calcul de la courbure est également utilisé par Marchandise et al. [MGCR07].

Brackbill et al. [BKZ92] proposent de pondérer la force de tension de surface par le rapport ρ(x)/[ρ] où [ρ] est la diérence de densité entre les deux phases. Cela permet de diminuer l'intensité des courants parasites dans la phase légère. Cependant, même si cela diminue l'erreur sur la vitesse, le saut de pression est moins bien calculé, puisque la force est diminuée par ce facteur de densité. Ce coecient n'est pas pris en compte par les auteurs utilisant la méthode CSF.

Jamet et al. [JTB02] ajoutent une équation de conservation de l'énergie dans leur formulation. Cette équation vient du fait que les auteurs utilisent une approche thermo- dynamique pour obtenir une formulation semblable à la formulation CSS pour la tension de surface. Ils obtiennent donc naturellement une conservation de l'énergie. Sa prise en compte permet de diminuer fortement l'apparition de ces courants parasites. Cependant, la résolution de cette équation supplémentaire est coûteuse et alourdit la formulation.

Tong et Wang [TW07] introduisent la méthode PBM (Pressure Boundary Method), où un gradient de pression est imposé au niveau de l'interface pour la résolution des équations de Navier-Stokes. Ce gradient de pression est dépendant du gradient de pression capillaire. La pression est ensuite calculée, puis nalement la vitesse temporaire obtenue de la résolution de Navier-Stokes est corrigée avec le nouveau champ de pression. Cette méthode de projection en deux passes montre une importante réduction des courants parasites. Cependant, la formulation utilisée est lourde.