Exemples d'application sur des tissus

Nous présentons ici quelques résultats d'immersion de maillage pour des renforts tissés. Nous montrons un premier exemple en utilisant un taetas avec un enchevêtrement des mèches qui est idéal, ce qui n'est bien évidemment pas le cas dans la réalité. Ce maillage nous a été fourni par le LAMCOS. Pour l'exemple, nous utilisons le maillage d'un cube comme maillage de fond, dans lequel le maillage de chaque mèche composant le taetas est immergé. Les gures 2.7(a) à 2.7(d) montrent l'isovaleur zéro de la Level Set nous donnant l'interface entre les mèches et le milieu extérieur. La première immersion ne donne pas de bons résultats, le maillage n'étant pas adapté à l'interface entre les mèches et le uide extérieur. Aux itérations suivantes, le maillage se rane pour permettre nalement une bonne représentation de l'interface. La gure 2.8 montre un écorché du maillage dans un

2.1 Immersion de domaines

(a) Immersion initiale (b) Immersion après 2 incréments de remaillage

(c) Immersion après 14 incréments de remaillage (d) Immersion après 33 incréments de remaillage Figure 2.7  Immersion d'un motif de taetas dans un maillage de fond arbitraire. Nous

remarquons l'épaisseur de la zone de maillage adaptée qui diminue au cours des itérations. Nous représentons l'isovaleur zéro de la fonction distance au renfort.

(a) (b)

Figure 2.8  Écorché du maillage dans le plan orthogonal au tissu. a) les zones nes sont celles où se trouve l'interface entre les mèches et le milieu extérieur. b) l'iso-surface zéro de la fonction distance est représentée en rouge.

plan orthogonal au tissu. Cela permet de bien visualiser les zones adaptées. Les gures 2.9(a) à 2.9(e) montrent un écorché du maillage dans des plans du tissu. Les frontières du maillage de chaque mèche peuvent se deviner par les zones plus ranées du maillage. Les gures 2.11(a) à 2.11(d) montrent la frontière du maillage dans lequel on immerge cinq couches de tissus, comme illustré gure 2.10.

Les mèches du renfort sont en contact étroit, surtout après déformation. Nous avons donc des zones où l'interface a des changements de direction francs (gure 2.12). Ces zones sont diciles à représenter correctement, étant donné que si un angle droit se trouve à l'intérieur d'un élément, il disparaîtra à cause de l'interpolation linéaire de la fonction distance (gure 2.13). De plus, au niveau de ces contacts, la normale, qui est nécessaire pour le calcul de la métrique donné en (2.14), est mal calculée, puisqu'elle est le gradient de la fonction distance. Cela provoque des dicultés à calculer une métrique correcte. Pour remédier à ce problème, plutôt que de calculer une métrique par rapport à la distance à l'assemblage de mèche, nous utilisons une méthode développée au laboratoire pour d'autres applications [BLC11, BRCL09].

Cette méthode calcule une métrique en fonction de la distance à chaque mèche. Dans les zones où deux mèches sont proches, la méthode va choisir, en fonction des normales, d'utiliser un maillage soit isotrope, soit anisotrope dans une direction, soit anisotrope dans deux directions. Cela permet de mieux représenter les contacts au niveau des interfaces. Un exemple est illustré sur un sergé (G896) (gure 2.14) avec un zoom sur une zone de contact (gure 2.15) qui permet de voir l'amélioration obtenue en utilisant cette méthode.

2.1 Immersion de domaines

(a) (b)

(c) (d)

(e)

Figure 2.9  Écorché du maillage dans des plans verticaux successifs du tissu. Chaque sous- gure s'élève d'un incrément de hauteur par rapport à la précédente. La coupe est centrée sur la zone où se trouve le tissu. En (e), nous représentons, sur le maillage donné en (d), l'interface des bres.

Figure 2.10  L'iso-surface de valeur zéro de la fonction distance correspondant à l'empilement de cinq couches du même tissu (un taetas).

(a) (b)

(c) (d)

Figure 2.11  Maillage dans lequel cinq couches de tissu sont immergées. En a), le maillage initial. Une zone de maillage n anisotrope a été utilisée pour initier le remaillage. Nous trouvons l'itération 2 en b), l'itération 10 en c) et l'itération 20 en d).

2.1 Immersion de domaines

Figure 2.12  Zone de contact entre deux mèches. L'interface est mal dénie à cause d'une diculté de calcul de la normale à l'interface. blablabla blablabla blablabl abla- blabal blabalbalblablabla blablabla blablabl ablablabal blabalbalblablabla blablabla bla- blabl ablablabal blabalbalblablabla

α = 0 Γ

Figure 2.13  Les structures plus petites que la taille d'un élément disparaissent. En pointillés, l'interface réelle Γ. En tirets, l'interface représentée par l'isovaleur α = 0 de la fonction distance.

Figure 2.14  Interface d'un sergé G986 im- mergé avec  = 0.1, % = 0.01 et e = 0.1. Le domaine à une longueur et une largeur égales à 10 et sa hauteur est égale à 0.66.

Figure 2.15  Zoom sur l'interface d'un sergé G986 immergé. Les zones de contact sont bien dénies et les angles droits sont respectés.

   Ω q_{∇ · ~v dΩ = 0} avec (~v, p) ∈ (H1 0(Ω))d×L2(Ω)et (~v) = 12 ∇~v + T_∇~v

. La fonction test q pour la pression est dénie dans L2_{(Ω), l'espace de Lebesgue des fonctions de carrés sommables sur Ω et les}

fonctions test ~w pour la vitesse sont dénies sur H1

0(Ω) qui est un sous-espace de l'espace

de Sobolev H1_(Ω)
d

(d étant la dimension de l'espace). Sur H1

0(Ω), la fonction s'annule

sur les frontières où la condition aux limites de Dirichlet est appliquée. Les espaces énoncés s'écrivent sous les formes suivantes :

L2 (Ω) =  q, Z Ω q2dΩ <∞  H1_{(Ω) =q ∈ L}2_{(Ω), ∇q ∈ L}2_(Ω) H1 0(Ω) =q ∈ H 1 (Ω), q = 0 sur ∂Ω (2.16)

An de résoudre le problème, il est nécessaire d'approcher les espaces continus par des espaces discrets Vh et Ph. Le problème sera résolu sur un domaine discrétisé, décomposé

en simplexes, c'est-à-dire en triangles si le calcul est en 2D ou en tétraèdres si le calcul est en 3D. La formulation faible discrète du problème (2.15) s'écrit alors :

       Z Ω ph∇ · ~whdΩ− Z Ω 2η(~vh) : ( ~wh) dΩ = 0 Z Ω qh∇ · ~vhdΩ = 0 (2.17) avec (~vh, ph)∈ (Vh× Ph)

Nous utilisons une méthode d'éléments nis P1, c'est-à-dire que la vitesse et la pression

sont des fonctions linéaires continues par morceau (ou encore continues sur les éléments). Il est bien connu que l'approximation P1/P1 pour les éléments nis mixtes conduit à

une formulation instable car la condition de Brezzi-Babuska n'est pas respectée pour le problème de Stokes. Pour rendre la formulation stable, nous utilisons le MINI-élément [ABF84] (gure 2.16) pour lequel l'espace des fonctions pour la vitesse est enrichi avec une fonction bulle :

Vh = Vh ⊕ Vb (2.18)

Cette fonction bulle est une fonction valant 1 au barycentre de l'élément et 0 sur les bords. Pour respecter ces conditions, la fonction bulle doit être de degré élevé. Par exemple, en 2D, elle doit être cubique. Cependant, dans le cas d'éléments linéaires, comme nous les utilisons ici, il n'est pas intéressant d'utiliser une bulle cubique. En eet, il est nécessaire