La dynamique du mouillage

Comme il est expliqué précédemment, pour chaque ensemble de deux phases uides posées sur une phase solide, nous pouvons calculer un angle de contact théorique. Cependant, une surface possède des défauts chimiques et une certaine rugosité. L'angle de contact est très dépendant de l'état de surface du support. Il n'y a donc plus une valeur unique de l'angle de contact mais plutôt une plage de valeurs. Par exemple [Qué03], si nous posons

long de la ligne de contact. Tant que ces angles gardent des valeurs comprises entre les angles d'avancée et de reculée, la goutte ne se déplace pas sur le solide. D'après [Qué03], il n'existe pas aujourd'hui de théorie complète qui permette de prédire, pour une surface réelle donnée, quelle sera l'hystérésis que l'on y observera.

L'angle de contact dynamique

Lorsque la variation de l'angle de contact devient plus grande que l'hystérésis, la ligne de contact est mise en mouvement. L'angle dynamique formé alors par l'interface θd est lié à

la vitesse U de la ligne de contact. Une relation simple[DV79] permet de calculer l'angle en fonction de la vitesse :

θd− θs = H(U ) (5.3)

où θs est l'angle de contact statique et H est une fonction de la vitesse déterminée ex-

périmentalement. Dans [HLW04], les auteurs utilisent la relation suivante, obtenue par la littérature :

θd− θs= CfU (5.4)

où Cf = est un paramètre de friction dépendant de paramètres moléculaires du système.

Plusieurs relations entre la vitesse de la ligne de contact et l'angle de contact ont été données dans la littérature. Les auteurs de [JOS79] proposent de lier l'angle de contact dynamique θdau nombre capillaire Ca et à l'angle statique θspar la relation expérimentale

suivante :

cos θs− cos θd

cos θs+ 1

= tanh 4.96Ca0.702

(5.5) Xiao et al. [XYP06] expriment l'angle de contact sous la forme suivante :

cos θd= cos θs 1− e−γt/ηM

(5.6)

Figure 5.4  À gauche, goutte posée sur un substrat solide (la déformation du solide due à la composante verticale de force de tension de surface est négligeable). À droite, goutte posée sur un autre liquide (la composante verticale de la force de tension de surface va déformer la surface du substrat liquide).

5.1 Bibliographie

Figure 5.5  Goutte posée sur un plan incliné. Sans gravité, la goutte serait à l'équilibre (ce qui est représenté par la ligne en tirets). La gravité va provoquer la déformation de la goutte (en trait plein). La ligne triple restera xe tant que l'angle de l'interface n'atteindra pas les angles d'avancée θa et de reculée θr.

où η est la viscosité dynamique et M une constante empirique dépendant du couple solide-uide.

Les conditions limites

En général, lorsque l'on modélise un écoulement, on impose une condition de non- glissement à la surface du solide. Cependant, l'imposition d'une telle condition aux limites empêchera le déplacement de la ligne de contact, puisque le uide au contact de la surface solide a une vitesse nulle. On se trouve alors en présence d'une singularité au niveau de la ligne de contact.

En fait, la nature des conditions aux limites à appliquer aux écoulements est un point débattu au xixe _{[Gol69] et de nombreux scientiques très importants dans le monde de}

l'hydrodynamique ont donné leur avis sur ce point. Bien que les expériences ont été en faveur de la condition de non-glissement, qui est aujourd'hui généralement acceptée, les applications en micro-uidiques, qui deviennent de plus en plus importantes, nécessitent que l'on s'attarde un peu plus sur ce problème de glissement au niveau de la ligne de contact. De nombreux auteurs ont observés expérimentalement l'existence de phénomènes de glissement comme par exemple [NCW03] qui montre l'existence d'un phénomène de glissement, pour les uides newtoniens, qui dépend de la viscosité et du taux de cisaille- ment, et d'autres que l'on retrouve cités dans [LBS07, NEB+_05].

Dans la littérature relevée par Dussan [DV79], la plupart des auteurs suppriment cette singularité en modiant la condition de non-glissement. Loin de la ligne de contact, une condition de non-glissement est imposée, tandis qu'au niveau de la ligne de contact, elle est transformée en une condition du type glissement de Navier, introduite par Navier en

elles ne subiront pas d'interaction avec la surface solide. Au bout de ce temps tm, elles se

sont orientées et s'attachent à la paroi. A partir de ce moment, elles sont en condition de non-glissement. Ainsi, la condition de non-glissement sera valable à partir d'une distance l à la ligne de contact dénie par l = Utm [DV79].

Figure 5.6  Schématisation de la condition de glissement de Navier, en comparaison avec le glissement total et le non-glissement (inspiré de [LBS07]).

Les auteurs de [LBS07] donnent une bonne revue de nombreuses expériences visant à mesurer des longueurs de glissement, dont le coecient de glissement β est directement dépendant. Ils introduisent également rapidement la simulation numérique par dynamique moléculaire qui permet d'obtenir des informations sur les paramètres intervenant dans le mouvement de la ligne triple.

Le coecient de glissement dépend de nombreux paramètres et les mécanismes phy- siques intervenant dans le glissement ne sont aujourd'hui toujours pas entièrement déter- minés. Nous pouvons toutefois donner certains de ces paramètres ([LBS07, NEB+05]) qui

sont les propriétés de mouillage du uide sur la surface et l'angle de contact, les propriétés thermodynamiques et chimiques de la surface (présence d'espèces adsorbées, homogénéité chimique de la surface) et du uide (gaz dissous, présence de charges électrostatiques dans le uide ou sur la surface, polarité des molécules du uide), la stabilité des micro- gouttelettes et des micro-bulles sur la surface (la super-hydrophobicité peut être due à la capacité des milieux très rugueux à capturer des couches de gaz sous la goutte de uide) et surtout à la rugosité de la surface.

5.1 Bibliographie

La rugosité de la surface est importante car elle intervient dans de nombreux para- mètres dont dépend le glissement. En eet, comme expliquée plus tôt, la rugosité permet de piéger des micro-bulles dans les cavités de la surface, ce qui inuence à la fois la mouillabilité du uide (dont le coecient de glissement peut dépendre) et le coecient de glissement lui-même. La rugosité joue également sur les écoulements locaux au niveau de la surface. Elle provoque une dissipation de l'énergie mécanique, ce qui modie loca- lement la viscosité du uide. Elle modie également le taux de cisaillement local, ce qui inuence le glissement puisque la condition de Navier en dépend. Les auteurs de [LBS07] et de [NEB+_{05] citent ces phénomènes et donnent de nombreuses références pour chacun}

d'entre eux.

Les auteurs de [NEB+_{05] dénissent deux types de glissement, un glissement réel, à}

l'échelle moléculaire, où les molécules du uide glissent sur les molécules du solide et un glissement apparent, où une couche de uide est accrochée à la surface du solide et le uide glisse sur cette couche qui peut avoir une épaisseur d'échelle moléculaire.

En ce qui concerne le glissement réel, plusieurs eets interviendraient. Si la friction visqueuse entre les molécules des uides est plus importante que celle entre les molécules de uide et de solide, un glissement apparaît. De plus, si la dimension des molécules est de l'ordre de la rugosité, il n'y a pas de glissement, alors que si elles sont plus petites ou plus grosses, un glissement apparaît.

En ce qui concerne le glissement apparent, la formation de la couche de uide pourrait être la conséquence de plusieurs phénomènes. Lorsque le taux de cisaillement devient localement très important (par exemple à cause de la rugosité), de la turbulence pourrait apparaître, ce qui modierait la viscosité de la couche et permettrait un glissement entre les deux uides. De plus, le contact entre les molécules du uide et la surface du solide induirait un arrangement des molécules, ce qui faciliterait le glissement des couches de molécules entre elles. Enn, les forts taux de cisaillement près de la surface pourraient entraîner un phénomène de cavitation des gaz dissous dans le uide, ce qui produirait des micro-bulles qui adhéreraient à la surface et formeraient une couche sur laquelle le uide peut glisser.

Cela montre à quel point la détermination de ce coecient de glissement β peut être dicile, puisque la physique intervenant dans le glissement peut être diérente selon la conguration et l'échelle du problème. De plus, on peut citer [EPL90] qui ajoute une dépendance du coecient de glissement à la courbure de la surface solide.