La discussion suivante est en partie tirée de l’article [140]. Nous considérons le cas d’un système désordonné en dimension d. Nous étudions l’évolution temporelle d’un tel système ayant pour condition initiale l’état |ψ(t = 0)i = |ψi.
Qu’est-ce qui détermine la décroissance de la probabilité de retour à l’origine Π0(t) =
P (r = 0, t) ? Cette probabilité s’écrit de façon explicite sous la forme :
Π0(t) = |hψ(t = 0)|ψ(t)i|2 . (7.50)
Décomposant l’état initial |ψ(t = 0)i suivant la base des états propres |Ψki de
l’Hamilto-nien du système,
|ψ(t = 0)i =X
k
ak|Ψki , (7.51)
on peut exprimer l’état |ψ(t)i à l’instant t sous la forme :
|ψ(t)i =X k
ake−iωkt
152 Chapitre 7. Dynamique d’un paquet d’ondes au seuil de la transition d’Anderson Ainsi l’on voit que la probabilité de retour à l’origine est intimement liée à la décomposition de l’état initial sur la base des états propres :
Π0(t) = X k |ak|2e−iωkt 2 . (7.53)
B.1.1 Densité locale d’états
On peut caractériser l’Hamiltonien du système H via ses projections spectrales ˆPω : ˆ
Pω|ψi = aω|Ψωi , (7.54) où ω appartient au spectre de H. On peut alors définir la densité locale d’états ρ(ψ, ω) vis-à-vis de la condition initiale |ψi comme suit :
ρ(ψ, ω) = hψ| ˆPω|ψi
=X
k
|ak|2δ(ω − ωk) . (7.55) Ceci permet d’écrire la probabilité Π0(t) sous la forme :
Π0(t) = Z dω ρ(ψ, ω) e−iωt 2 . (7.56) B.1.2 Dimension de corrélation
La décroissance de la probabilité Π0(t) est déterminée par les propriétés de la densité locale d’états ρ(ψ, ω). Une propriété fondamentale de la transition d’Anderson est qu’au régime critique, la densité locale d’états est multi-fractale. Nous précisons ici, de façon très succinte, comment caractériser cette multi-fractalité. On se référera aux articles [143] et [144] pour une discussion complète et rigoureuse de la notion fondamentale de multi-fractalité.
Parce que le concept de multi-fractalité fut d’abord introduit pour décrire les attracteurs chaotiques, nous prendrons l’exemple d’un tel objet. Comment caractériser un attracteur étrange ? Sa géométrie peut être complexe et difficile à décrire. Il est donc utile de se donner des moyens quantitatifs pour le caractériser. Sans doute, le moyen le plus simple est sa “dimension”. Mais, comme on va le voir par la suite, la notion de dimension peut recouvrir de nombreux sens.
La dimension la plus usitée est la dimension de Hausdorff D0 définie comme suit :
D0 = −lim b→0
ln M(b)
ln b . (7.57)
Si l’objet que l’on souhaite caractériser existe dans un espace de dimension d (d est né-cessairement un entier), alors M(b) est défini comme le nombre minimum d’hyper-cubes de dimension d et de côté b (formant une grille permettant un échantillonage de tout l’es-pace) qu’il est nécessaire pour recouvrir l’attracteur. D’après l’équation (7.57), ce nombre
B. Déviations à la théorie auto-cohérente : multi-fractalité 153 se comporte comme M(b) ∼ b−D0. Pour un objet non-fractal, la dimension de Hausdorf est entière. Dans le cas d’un objet fractal, i.e. d’un objet qui présente des fractures en tous points, la dimension de Hausdorff est non-entière.
Concernant un attracteur étrange, la procédure précédente ne permet pas de caractériser entièrement cet objet. Parmi les cubes recouvrant l’attracteur (et dans la limite où b → 0), certains sont beaucoup plus peuplés que d’autres. L’orbite de l’attracteur passe ainsi beaucoup de temps dans certains cubes et très peu de temps dans d’autres. Autrement dit, l’attracteur étrange n’est pas une fractale uniforme. Ainsi, une objection fondamentale à l’utilisation de la dimension de Hausdorff comme unique caractérisation d’un attracteur étrange est que l’on devrait être plus intéressé par les cubes où l’orbite passe beaucoup de temps, alors que D0 ne permet pas de faire de distinction entre les cubes.
On peut généraliser la dimension de Hausdorff pour rendre compte du caractère non-uniforme de l’objet fractal considéré. Une infinité de dimensions Dq peuvent ˆetre définies qui donnent plus ou moins de poids aux hyper-cubes les plus occupés [143]. Un objet est dit multi-fractal lorsque toutes les dimensions Dq ont des valeurs différentes. Parmi les dimensions Dq, une fondamentale est celle de corrélation, D2, définie comme suit :
D2 = lim b→0
ln C(b)
ln b , (7.58)
où C(b) compte le nombre de paires de points qui sont distants de moins de b l’un de l’autre. Dans le cas d’un attracteur étrange consitué de N points (N → ∞) notés Xj,
j = 1, ..., N , C(b) s’écrit sous la forme : C(b) = 1
N2
X
i,j
Θ (b − |Xi− Xj|) , (7.59)
où Θ est la fonction de Heaviside. Hormis le cas où l’objet fractal est uniforme, la dimension de corrélation vérifie : D2 < D.
Dans le cas du spectre local que nous considérons, la dimension de corrélation Dρ 2 peut être définie par le comportement d’échelle :
γ(b) =
Z
dω ρ(ψ, ω)Z ω+b/2
ω−b/2 dω′ ρ(ψ, ω′) ∼
b→0bD2ρ . (7.60)
La fonction γ(b) donne la probabilité que deux états propres entrant (avec leur poids associés) dans la décomposition de l’état initial |ψi aient une différence en énergie inférieure à b.
B.1.3 Corrélations spectrales et probabilité de retour à l’origine
Montrons que la fonction de corrélation spectrale γ(b) est reliée à la probabilité de retour à l’origine Π0(t). Pour ce faire, introduisons la fonction caractéristique :
χA(x) = 1 si x ∈ A , 0 si x /∈ A , (7.61)
154 Chapitre 7. Dynamique d’un paquet d’ondes au seuil de la transition d’Anderson avec A = [−b/2, b/2]. Cette fonction caractéristique permet de réécrire l’équation pour la fonction γ(b) (7.60) sous la forme :
γ(b) =
Z
dω ρ(ψ, ω)Z dω′ χA(ω − ω′)ρ(ψ, ω′) . (7.62) Cette relation fait apparaître un produit de convolution, qui s’écrit comme la transformée de Fourier inverse du produit des transformées de Fourier de χA(ω) et de ρ(ψ, ω) :
Z
dω′ χA(ω − ω′)ρ(ψ, ω′) =Z ∞
−∞dτ eiωτ sin(bτ/2)
πτ ρ(ψ, τ ) . (7.63) Par conséquent, la probabilité γ(b) s’exprime comme suit :
γ(b) = 1 π Z +∞ −∞ dω ρ(ψ, ω)Z +∞ −∞ dτ eiωτρ(ψ, τ ) sin(bτ/2) πτ . (7.64)
L’intégrale sur ω fait appraître une transformée de Fourier de la densité locale d’états : Z +∞
−∞ dω ρ(ψ, ω)eiωτ = 2πρ(ψ, −τ) = 2πρ∗(ψ, τ) , (7.65)
si bien que la probabilité γ(b) se réécrit :
γ(b) = 2
Z +∞ −∞
dτ ρ(ψ, τ)ρ∗(ψ, τ) sin(bτ/2)
τ . (7.66)
Or d’après l’équation (7.56), on a : Π0(t) = 4π2ρ(ψ, τ )ρ∗(ψ, τ). Par conséquent, la proba-bilité spectrale γ et la probaproba-bilité temporelle Π0(t) sont reliées par :
γ(b) = 1 2π2
Z +∞
0 dτ Π0(τ) sin(bτ/2)
τ . (7.67)
B.1.4 Fonction de corrélation temporelle
Dans la limite où b → 0 : Z +∞ 0 dτ Π0(τ) sin(bτ/2) τ ∼ Z 2/b 0 dτΠ0(τ)b 2 . (7.68)
Définissant la fonction de corrélation temporelle :
C(t) = 1
t
Z t
0 dt′Π0(t′) , (7.69)
on peut transcrire le comportement en loi de puissance pour γ(b) sous la forme d’une décroissance temporelle algébrique pour C(t). En effet :
C(2/b) ∼
b→0γ(b) ∼
b→0bDρ2 , (7.70)
ce qui se traduit par :
B. Déviations à la théorie auto-cohérente : multi-fractalité 155 La dynamique de la fonction de corrélation temporelle C(t) (7.69) est donc caractérisée par la dimension de corrélation Dρ
2 de la densité locale d’états ρ(ψ, ω). Dans le cas où la probabilité de retour à l’origine Π0(t) a un comportement algébrique Π0(t) ∼ t−ds, l’exposant associé ds est donc cette dimension de corrélation Dρ
2 :
ds = Dρ
2 . (7.72)
Mais quelle est la dimension de Hausdorff de cette densité d’états locale ? C’est ce que nous allons voir.