Probabilité de détection

Plaçons-nous dans l’image d’interaction [30, 104] pour obtenir l’opérateur d’évolution du système global (électrons et détecteur) entre les instants 0 et t. Au premier ordre en η de la théorie des perturbations dépendant du temps, il s’écrit

U(t, 0) = l1 + ˆ _t

0 dt₁W(t₁) + O(η2) . (2.16)

Cas particulier de deux états purs

Pour fixer les idées, commençons par considérer le cas le plus simple en supposant d’une part que les électrons du canal de bord et le détecteur sont initialement dans des états purs |i_e⟩ et |id^⟩ et d’autre part que l’état du système complet est factorisé,

|i⟩= |i_e⟩ ⊗ |id^{⟩ .} (2.17)

Faisons également les mêmes hypothèses concernant les états finaux et posons |f⟩ = |f_e⟩ ⊗ |fd^⟩. L’hypothèse d’état pur peut facilement se lever, nous le ferons par la suite, mais nous garderons celle d’états initial et final factorisés, qui est cohérente avec l’idée d’une relaxation instantanée du détecteur.

Calculons la probabilité que le détecteur ait détecté un électron dans la fenêtre tempo-relle [0, t]. Pour que le calcul mené ici ait du sens, il faut que la fenêtre de temps considérée soit suffisamment étroite pour que la détection successive de plusieurs électrons soit négligeable(3). Cela se traduit formellement par une transition du système entre l’état |i⟩ et l’état |f⟩. L’ampli-tude de transition totale est la somme des ampliL’ampli-tudes de transition à chaque instant, i.e.

A^i→f[0,t] = ⟨f | U(t, 0) | i⟩ = ˆ _t

0 dt₁⟨f | W(t₁) | i⟩ (2.18) Notons que rien n’est spécifié sur la nature des états |i⟩ et |f⟩. Néanmoins, les seuls termes qui contribuent à Ai→f

[0,t] sont ceux pour lesquels |i⟩ et |f⟩ se distinguent par le fait que |f_d⟩compte un électron de plus que |i_d⟩, et inversement pour |ie^⟩ et |fe^⟩. La probabilité de transition se calcule ensuite comme étant le module carré de Ai→f

[0,t], P^i→f[0,t] = ¨ _t 0 dt₁dt′ 1^{⟨f |W}(t₁)|i⟩ ⟨i|W†(t′ 1)|f⟩ . (2.19)

La factorisation des états |i⟩ et |f⟩ permet alors d’aboutir à une décomposition de l’intégrande en deux facteurs ne caractérisant que les électrons ou que le détecteur,

P^i→f[0,t] = |η|² ¨ _t 0 dt₁dt′ 1^⟨fe^|ψ(t₁)|i_e⟩ ⟨ie^|ψ†(t′ 1)|f_e⟩ × ⟨fd^|d†(t₁)|i_d⟩ ⟨id^|d(t′ 1)|f_d⟩ . (2.20)

Cas de mélanges statistiques

Néanmoins, l’hypothèse d’état pur qui permet d’avoir une image simple du phénomène n’a pas grand sens physiquement. Pour avoir accès à la probabilité complète de détection, il faut moyenner celle-ci sur tous les états initiaux possibles. En outre, la détection se traduit par l’observation d’une charge dans le détecteur et pas par l’observation directe de l’état final, qui est même en général inconnu. Par conséquent, les contributions liées au passage possible dans (3). On voit l’importance de cette hypothèse en remarquant que si la fenêtre de temps était extensible à volonté les probabilités calculées pourraient prendre des valeurs supérieures à 1.

différents états finaux se somment dans la probabilité de détection. Pour réaliser le moyennage, on suppose que le système est décrit par une matrice densité ρ = ρe^{⊗ ρ}d. Ainsi, la probabilité de détection s’écrit sous la forme

P(1e) [0,t] =∑ f ⟨ P^i→f[0,t] ⟩ ρi . (2.21)

Pour mener ce calcul à bien, il faut supposer que les états |fe^⟩ et |fd^⟩ forment une base ortho-normée(4) de l’espace de Hilbert accessible respectivement aux électrons et au détecteur, ce qui permet d’utiliser les relations de fermeture

∑

|fe⟩

|fe^{⟩ ⟨f}e^|= l1 et ∑

|f_d⟩

|fd^{⟩ ⟨f}d^|= l1 . (2.22)

Dans ce cadre plus général, la probabilité totale de détection d’un électron dans la fenêtre de temps [0, t] s’écrit finalement

P(1e) [0,t]= |η|² ¨ _t 0 dt1dt′ 1 ⟨ d(t′ 1) d†(t1)⟩ ρi,d ⟨ ψ^†(t′ 1) ψ(t1)⟩ ρi,e . (2.23)

Par analogie avec l’équation (2.13), page 39, définissant la cohérence à un photon, il devient naturel d’introduire la fonction de cohérence à un électron ou fonction de cohérence électronique du premier ordre d’un état caractérisé par une matrice densité ρ comme

G(e)(t|t′)^déf.= ⟨

ψ^†(t′) ψ(t)⟩

ρ= Tr[

ψ(t) ρ ψ†(t′)]

. (2.24)

L’étude des propriétés et des informations portées par cette fonction de cohérence sont au cœur de ce chapitre. Avant de les explorer plus en avant, il est intéressant de mener l’analyse du modèle d’électrodétection proposé à son terme. Remarquons pour cela que le premier facteur du produit (2.23) ne fait intervenir que des opérateurs relatifs au détecteur. Par conséquent, il s’interprète comme étant la fonction de réponse (quantique) du détecteur(5). Posons

Kdét(t|t′) = |η|²⟨

d(t′) d†(t)⟩

ρi,d

. (2.25)

Si les propriétés du détecteur sont stationnaires, K_dét(t|t′) = K_dét(t − t′). Finalement, la proba-bilité de détection s’écrit sous la forme

P(1e) [0,t]=

¨ _t

0 dt₁dt′

1^Kdét(t₁− t^′1) G(e)(t₁|t^′1) . (2.26) La forme est donc tout à fait analogue à celle de l’équation (2.12) qui concerne les photons.

2.2.3 Signal délivré par le détecteur

Résultat général, importance de la cohérence

Les charges étant supposées rapidement évacuées par un drain, le détecteur ne délivre pas un signal s(t) relié directement à la charge totale détectée mais plutôt au taux de comptage des électrons. Par conséquent, le signal s’écrit

s(t) = ^dP (1e) [0,t] dt ⁼ ˆ _t 0 dt′[ Kdét(t′− t) G(e)(t′|t) + K_dét(t − t′) G(e)(t|t′)] (2.27) (4). Il faut donc considérer ici tous les états, et pas seulement ceux qui contribuent de façon non-nulle à la probabilité de détection.

(5). Dans le cadre des définitions qui seront posées au paragraphe 2.2.4, page 44, il s’agit d’une fonction de cohérence de type trou du premier ordre relative au détecteur.

d’où, par hermiticité,

s(t) = 2 Re ˆ _t

0 dt′Kdét(t − t′) G^(e)(t|t′) . (2.28) Le commentaire le plus important sur ce résultat est que le signal délivré par le détecteur n’est pas directement relié au courant parcourant le canal de bord. La cohérence quantique impose une convolution plus subtile entre les propriétés du détecteur et le flux d’électrons dans le canal qu’en électronique classique linéaire. En effet, compte tenu de la propagation balistique chirale, la moyenne quantique de l’opérateur courant(6) dans un canal de bord est directement relié à la densité électronique moyenne via

⟨ ˆI(t)⟩_ρ= −e vF ⟨

ψ^†(t) ψ(t)⟩

ρ= −e vFG(e)(t|t) . (2.29) où −e est la charge d’un électron et vF la vitesse de Fermi, c’est-à-dire la vitesse de propagation des excitations dans le canal. Cette expression est issue d’un développement à l’ordre 1 de la relation de dispersion du canal, qui vaut en particulier lorsque les interactions sont négligées. Pour aller plus loin, il est nécessaire de modéliser plus précisément le détecteur.

Modélisation simple des détecteurs

Pour commencer, considérons une première limite où le détecteur est à bande passante infinie ou autrement dit est résolu en temps, d’où l’indice « tps » utilisé. Sa fonction de réponse s’écrit alors sous la forme

Ktps(t − t′) ∝ δ(t − t′) . (2.30)

En insérant cette forme dans l’équation (2.28), la borne inférieure de l’intégrale ne joue plus aucun rôle : on peut la remplacer par −∞. Une régularisation de la distribution de Dirac par une fonction paire permet d’écrire

ˆ _t

−∞dt′

δ(t − t′) = ¹₂. (2.31)

L’équation (2.28) conduit alors à

stps(t) ∝ G(e)(t|t) ∝ i(t) . (2.32)

Ainsi, un signal proportionnel au courant est fourni par un détecteur résolu en temps. Néanmoins, une telle limite n’est évidemment pas réaliste expérimentalement où la meilleure résolution ac-cessible à l’heure actuelle est de 500 ps. Une modélisation plus avancée devient alors nécessaire.

Pour pouvoir relier les opérateurs d et d† aux propriétés physiques des détecteurs, il est nécessaire de passer dans l’espace de Fourier(7),

d(t′) = ˆ _+∞ −∞ dω′ 2π ^e−iω ′t^′d(ω′) et d^†(t) = ˆ _+∞ −∞ dω 2π^{eiωtd†(ω) . (2.33)} On suppose alors que les composantes de Fourier s’écrivent sous la forme

d^†(ω) = κ(ω) c†(ω) , (2.34)

où c†(ω) est un véritable opérateur de création d’un électron d’énergie ℏω dans le détecteur, pondéré par un facteur dimensionné κ(ω), éventuellement complexe, qui prend en compte la densité d’état dans le détecteur et l’efficacité du couplage qui peut potentiellement dépendre de (6). Nous montrerons au paragraphe 4.1.2, page 119, que la présence d’une mer de Fermi entraîne que la quantité ⟨ ˆI(t)⟩_ρne correspond au courant réellement mesuré qu’à une constante additive près.

la fréquence. La largeur typique de κ(ω) n’est autre que la bande passante du détecteur. Puisque le détecteur est stationnaire,

⟨

c(ω′) c†(ω)⟩

ρi,d = (1 − fdét(ω)) δ(ω − ω′) , (2.35) où f_dét(ω) est le nombre d’occupation dans le détecteur. Il vient alors

Kdét(t − t′) = ˆ _+∞ −∞ dω 2π ^eiω(t−t ′)_|κ(ω)|²(1 − f_dét(ω)) . (2.36) Un exemple concret où ce type de modélisation est pertinent est celui d’une détection résolue en énergie : l’électron passe par effet tunnel du canal à un drain au travers d’une boîte quantique (« quantum dot ») aux niveaux d’énergie à une particule bien définis. Un tel dispositif a été utilisé par le groupe de F. Pierre au Laboratoire de Photonique et Nanostructures pour mesurer la relaxation en énergie dans les canaux de bord de l’effet Hall quantique entier [105]. Si un seul niveau d’énergie ℏω₀ suffit à décrire le transport, alors

|κ(ω)|² = γ δ(ω − ω₀) , (2.37)

où γ est une constante. Dans l’expérience en question, le canal est également en régime sta-tionnaire. L’équation (2.28) permet alors de relier le courant moyen ¯I sortant du détecteur au nombre d’occupation f_can(ω) des états électroniques du canal de bord,

¯I = e γ [f_dét(ω₀) − f_can(ω₀)] . (2.38) Ce résultat se montre simplement, mais sa dérivation n’est pas détaillée ici car elle demande d’utiliser la représentation fréquentielle de la cohérence, qui ne sera introduite que plus tard.

2.2.4 Définitions générales et premières propriétés des fonctions de cohérence à un

électron

Généralisons les définitions introduites précédemment, en considérant un fluide électronique décrit par une matrice densité ρ. Le système est constitué de canaux de bord de l’effet Hall quantique entier décrits par une variable d’espace unidimensionnelle x et un indice entier n indiquant le canal considéré. En revanche, aucune hypothèse n’est faite sur la géométrie desdits canaux, qui peuvent être bouclés sur eux-mêmes, connectés à des sources, etc.

En toute rigueur, la définition générale exige que la propagation dans les canaux de bord soit asymptotiquement libre. Par conséquent, celle-ci est balistique à la vitesse de Fermi vF et il y a correspondance entre l’espace x et le temps t qui s’unissent dans la seule variable x − vFt. Les interactions peuvent être prises en compte dans la théorie [44, 52, 76], mais seulement par une approche de diffusion. Cela impose à la zone d’interaction d’être de taille finie, les fonctions de cohérence n’étant calculables qu’en sortie de cette zone, une fois la propagation redevenue libre.

Cohérence d’électron, cohérence de trou

La fonction de cohérence à un électron, ou fonction de cohérence électronique du premier ordre, est définie par [76, 78, 81]

G(e)(1|1′)^déf.= ⟨ ψ^†(1′) ψ(1)⟩ ρ= Tr[ ψ(1) ρ ψ†(1′)] . (2.39) où (1) ^déf.= (n₁, x1, t1) et (1′) ^déf.= (n′

1^{, x′}1^{, t′}1) sont deux points de l’espace-temps. Notons que ces points ne sont pas nécessairement dans le même canal de bord. Comme un opérateur de

champ ψ ou ψ† dans un système unidimensionnel est homogène à la racine carrée de l’inverse d’une longueur(8), la fonction de cohérence à un électron est homogène à l’inverse d’une longueur. Puisqu’un opérateur d’annihilation d’un électron s’interprète comme un opérateur de création d’un trou, on introduit également une fonction de cohérence de type trou, définie par

G(h)(1|1′)^déf.= ⟨

ψ(1′) ρ ψ†(1)⟩

ρ= Tr[

ψ^†(1) ρ ψ(1′)]

. (2.40)

Ces deux fonctions sont reliées grâce à la relation d’anticommutation fermionique, qui concerne les opérateurs à temps égaux. Par conséquent les cohérences calculées à un même instant t = t′

mais en deux points différents vérifient G(e)(n, x, t|n′

, x^′, t) + G^(h)(n′

, x^′, t|n, x, t) = δn n′δ(x − x′) . (2.41) La propagation balistique permet d’écrire un lien analogue lorsque les fonctions sont calculées en un même point x = x′ du même canal n = n′, correspondant par exemple à la position d’un détecteur, mais à des temps différents,

G(e)(n, x, t|n, x, t′) + G^(h)(n, x, t′|n, x, t) = ¹

v_F ^δ(t − t′) . (2.42) La moyenne quantique de l’opérateur densité électronique dans le canal s’obtient en considé-rant la partie de la fonction de cohérence à un électron que nous appellerons diagonale, c’est-à-dire la partie pour laquelle l’électron est détruit et créé au même point,

⟨ρ(n, x, t)⟩ = G(e)(n, x, t|n, x, t) . (2.43) Le nombre total d’électrons dans un canal à l’instant t s’obtient donc par une intégration sur x le long du canal, et le nombre total d’électrons dans le système par sommation sur tous les canaux. Ce résultat a également des conséquences en termes d’interprétation physique. La partie diagonale de la cohérence s’interprète comme étant d’origine classique, associée simplement à la présence de charges dans le système. En revanche, la partie hors-diagonale s’interprète comme étant d’origine quantique, et décrit vraiment les propriétés de cohérence quantique du fluide électronique.

Cohérences et fonction de Green

Pour reprendre une terminologie plus standard en physique de la matière condensée, la fonc-tion de cohérence électronique est directement proporfonc-tionnelle à une foncfonc-tion de Green [30] du fluide électronique, en l’occurrence la fonction de Green « mineure » ou « lesser » dans une ter-minologie anglophone. Celle-ci est définie comme

G<(1, 1′) = −i⟨

ψ^†(1′) ψ(1)⟩

= −i G(e)(1|1′) . (2.44)

La prescription d’ordre des opérateurs est ici un ordre normal par rapport au vide, où les opéra-teurs de création sont systématiquement placés à gauche des opéraopéra-teurs d’annihilation.

Propriétés mathématiques

Une première propriété de conjugaison découle directement de la définition, G(e)(1′|1) = G(e)(1|1′)∗

. (2.45)

(8). La dimension de l’opérateur champ se trouve en imposant que les états créés par application de ces opérateurs sur le vide soient sans dimension.

En outre, Glauber [72] propose une inégalité contraignant les cohérences photoniques qui est également valable pour les cohérences électroniques. L’argument central est qu’une matrice densité est un opérateur défini positif. Ainsi, pour tout opérateur A,

Tr[

A ρ A^†]≥0 . (2.46) En posant A =∑

iλ_iψ(i), l’inégalité s’écrit

∑

i,j

λiλ^∗_jTr[

ψ(i) ρ ψ†(j)]

≥0 , (2.47)

ce qui définit une forme quadratique définie positive des variables λi. Par conséquent, le déter-minant des coefficients Tr[

ψ(i) ρ ψ†(j)]

est positif, det[

G(e)(i|j)]

≥0 . (2.48)

Dans le cas où seuls deux indices entrent en jeu, cela donne

⏐ ⏐ ⏐G(e)(1|1′)⏐ ⏐ ⏐ 2 ≤ G(e)(1|1) G(e)(1′|1′) . (2.49) Ce résultat de type Cauchy-Schwartz donne donc une contrainte forte sur l’existence de cohérence non-diagonale : il faut qu’en chacun des temps impliqués il existe une contribution diagonale à la cohérence.

Précision sur les notations

La définition générale (2.39) de la fonction de cohérence à un électron masque l’équivalence entre espace et temps engendrée par la propagation balistique. Comme mentionné en introduction du paragraphe, hors d’une zone d’interaction que notre approche ne peut décrire directement, une seule des deux variables x ou t suffit.

En règle générale, dans la suite du manuscrit, la variable de position x est omise. L’argument pour le justifier est qu’un décalage en position se traduit directement sous forme d’un décalage temporel. Les fonctions de cohérence ne sont alors écrites qu’en termes des variables de temps et sous-entendent la variable de position,

G(e)(t|t′)^déf.= G^(e)(x − vF t|x^′− v_Ft^′) . (2.50) Un autre argument possible mais moins général est de supposer la variable de position fixée à la position d’un détecteur. Lorsque des canaux différents sont considérés, un indice de canal est ajouté à la variable de temps. Néanmoins, ce raccourci allégeant les notations ne doit pas faire oublier que les variables dont dépend la fonction de cohérence sont intrinsèquement des positions et que celle-ci est homogène à l’inverse d’une longueur. Cela interviendra lors du calcul des transformées de Fourier qui seront définies par rapport à la variable x − vFt.

Dans le document Cohérence à un et deux électrons en optique quantique électronique (Page 42-48)