Le but de la mesure interférométrique est d’obtenir une mesure de pression locale et non invasive. Or le déphasage extrait pour un pixel (x, z) résulte d’une intégration des déphasages locaux le long de l’axe y parallèle au chemin optique (voir figure 4.11). Ces déphasages locaux peuvent néanmoins être déterminés grâce à la symétrie particulière du problème. Pour chaque pixel
Champ acoustique lumière laser
Figure 4.11. La phase mesurée δφ(x, z) résulte de l’intégration des déphasages optiques le long du trajet du faisceau dans la cellule. Le cercle en pointillé de rayon R délimite le champ acoustique.
de coordonnées (x, z), les variations d’indice optique δn(x, y, z) provoquées par l’onde acoustique sont intégrées par le faisceau tout au long de son trajet à travers l’onde. Dans notre cas, le champ acoustique étant invariant par rotation autour de l’axe de l’émetteur z, δn est une fonction de deux variables
z et r = √x2+ y2. On suppose que les variations d’indice sont nulles pour
r > R où le son ne s’est pas encore propagé (cercle pointillé de la figure 4.11) et on se place dans l’approximation de Raman-Nath : on considère que le trajet du faisceau est rectiligne malgré les inhomogénéités d’indice. Cette approximation est discutée plus loin 4.4.1. Dans ces conditions le déphasage mesuré s’exprime simplement :
δφ(x, z) = 2π
λ
Z A(x) −A(x)
dy δn(qx2+ y2, z), avec x2+ A(x)2 = R2 (4.20) L’équation peut être réécrite sous la forme :
δφ(x, z) = 2π
λ 2Z R
x rdr √δn(r, z)
r2− x2 (4.21)
qui, au facteur 2π/λ près, est la transformée d’Abel [118] de la carte radiale d’indice δn(r, z). La transformée d’Abel est rencontrée fréquemment dans les domaines de la physique des plasmas [119], pour la tomographie d’objets à symétrie de révolution. Pour trouver le profil radial, on peut inverser la formule 4.21 et exprimer le profil radial selon l’équation :
δn(r, z) = −1 π λ 2π Z R r dx∂(δφ(x, z)) ∂x 1 √ x2− r2 (4.22)
Le calcul de cette intégrale est réalisé numériquement et est détaillé dans l’annexe B.
4.4. Profil radial des variations de pression 80
4.4.1 Conditions de l’inversion d’Abel
Gradients d’indice et ouverture angulaire de l’éclairage. L’équation 4.20 nous donne l’expression des déphasages lumineux en fonction des varia-tions d’indice optique. Utiliser cette expression suppose implicitement que le faisceau lumineux qui traverse l’échantillon peut-être modélisé par un pin-ceau de lumière infiniment fin et se propageant en ligne droite comme cela est représenté sur la figure 4.11. Or le faisceau traverse des gradients d’indice qui ne doivent pas le dévier de manière significative de sa trajectoire rectiligne, ce qui rendrait l’inversion d’Abel injustifiée. Plus précisément, l’objet de phase doit vérifier la condition de Raman-Nath [120]. La déviation du faisceau par les gradients d’indices après traversée de l’échantillon de diamètre 2R doit être inférieure à la résolution optique δx. Cela revient à dire que l’objet de phase doit pouvoir être considéré comme un élément optique mince.
Supposons que le front d’onde lumineux subisse en entrée de la cellule un déphasage dû à l’onde sonore de la forme φmsin(2πx/λs), où φm est l’amplitude des déphasages et λs la longueur d’onde du son. Le retard spatial de l’onde lumineuse associé à ce déphasage est φmλ/2π sin(2πx/λs) qui a pour pente maximale φmλ/λs. La propagation se faisant de manière normale au front d’onde, après une propagation à travers l’objet sur une distance maximale de 2R, la déviation de la trajectoire sera 2φmλR/λs, qui doit être inférieure à δx. Ceci qui amène à la condition :
φm < λsδx
2λR (4.23)
Il faut garder en tête que la configuration retenue pour déterminer cette condition est la plus défavorable puisque l’ensemble des déphasages est subi dès l’entrée de la cellule, ce qui ne sera jamais le cas. Pour une résolution meilleure que δx = λs/20, la condition devient φm < λ2
s/40λR. Pour les expériences réalisées dans l’hélium solide, on devra respecter φm <2.5 rad.
Une seconde condition nécessaire pour pouvoir appliquer l’inversion d’Abel, est que l’ensemble des faisceaux venant d’un point de l’objet et collectés par la lentille d’imagerie subissent le même retard de phase. L’extension transverse du faisceau à la sortie de l’échantillon de longueur 2R due à la divergence angulaire doit être inférieure à la résolution optique δx de l’imagerie. L’ou-verture angulaire maximum acceptable de l’éclairage est donc telle que :
θm < δx
2R (4.24)
La condition 4.24 limite l’ouverture angulaire de l’éclairage à θm <2.5 mrad. L’ouverture angulaire de l’éclairage calculée dans la partie 4.2.2 étant 1.9 mrad, cette condition est remplie.
Effets de bords sur l’inversion. Afin de réaliser l’inversion d’Abel, il a été supposé que les variations de phase étaient nulles au-delà d’une certaine distance R. En pratique, cette condition est très difficile à réaliser. Il faudrait
81 CHAPITRE 4 : Mesure interférométrique des variations de densités
un champ de vision très large pour imager les zones où le son ne s’est pas encore propagé. De plus, les variations de phase calculées ne s’annulent jamais en réalité à cause de l’inévitable présence de bruit sur les mesures. En pratique la partie manquante des images est complétée arbitrairement par une fonction identiquement nulle.
Pour quantifier les erreurs provoquées par cette mise à zéro sur les bords, l’essai suivant a été réalisé. Une inversion est effectué sur des cartes de phase à champ large où la phase était quasi-nulle sur les bords, la carte de variations d’indice optique δntot obtenue est visible sur la figure 4.12. La même inversion
x (px) z (px) 200 400 600 800 1000 1200 100 200 300 −1 0 1 x 10−4 x (px) z (px) 100 200 300 400 500 100 200 300 −1 0 1 x 10−4 x (px) z (px) 100 200 300 400 500 100 200 300 −5 0 5 x 10−6
Figure 4.12. En haut : Inversion d’Abel δntot réalisée sur un champ de vision large, les variation d’indice sur les bords sont quasi-nulles. En bas-gauche : Inversion d’Abel
δnlim avec un champ limité représenté en rouge. En bas-droite : Différence entre δntot
et δnlim, avec une échelle de gris 30 fois plus sensible.
est réalisée sur un champ de vision réduit délimité par le rectangle rouge, dont le résultat δnlim est également visible sur la figure 4.12. La différence à l’œil nu entre ces deux cartes n’est pas décelable, la dernière carte représente ainsi la différence δntot− δnlim avec une échelle de couleur augmentée 30 fois. On constate que les différences engendrées par la troncature des cartes se concentrent essentiellement sur les bords des cartes où elles peuvent monter jusqu’à 400 % d’erreur. Mais ces différences s’annulent rapidement lorsque l’on s’écarte des bords et au foyer acoustique qui est la zone d’intérêt, les écarts relatifs sont de quelques pourcents seulement.
4.4.2 Calcul de la pression
Les inversions d’Abel permettent de déterminer les variations locales d’in-dice optique δn. Afin de simplifier l’interprétation et de travailler avec des quantités physiques plus adaptées au problème, il est raisonnable de vouloir convertir ces données en variations locales de pression δP . Pour le cas d’un fluide, cette conversion est rapidement faite en utilisant la compressibilité du