Prise en compte de la conductivit´e du m´etal

Il faut maintenant ´evaluer l’impact des ´electrodes conductrices sur la cavit´e optique. Les pertes li´ees `a l’absorption dans le m´etal sont en effet susceptibles de r´eduire significativement le facteur de qualit´e. Les coefficients d’absorption α<sub>m</sub> `a λ = 1550 nm des diff´erents m´etaux abord´es dans le chapitre 2, pris dans la r´ef´erence [8] sont report´es tableau 3.1. L’ordre de grandeur typique pour α_m est de 5 × 10⁵cm⁻¹. La partie imaginaire ε⁽²⁾ de la constante di´electrique, ´equivalente `a la conductivit´e σ du m´etal, se d´eduit des relations suivantes

ε = ε⁽¹⁾+ jε⁽²⁾ ε⁽²⁾ = ^σ

ε0ω ^{= nm} c

ω^{α (3.6)}

o`u n<sub>m</sub> d´esigne la partie r´elle de l’indice de r´efraction. La conductivit´e de ces m´etaux est en g´en´eral d´ependante de ω<sub>0</sub>. Cette d´ependance peut ˆetre mod´elis´ee par exemple par un mod`ele de Drude. Cependant, comme nous nous int´eressons `a une r´esonance tr`es ´etroite, il suffit de consid´erer la conductivit´e `a la pulsation consid´er´ee.

Calcul aux perturbations Sous l’hypoth`ese des petites perturbations, il est possible d’´evaluer les pertes dues aux ´electrodes. En adaptant le raisonnement men´e pour l’absorption par porteurs libres section1.4.2(´equations1.106 et1.108), on montre que la variation de la pulsation complexe

M´etal Or Platine Chrome Titane Nickel α(cm−1) 9.3 × 105 5.7 × 105 3.7 × 105 3.6 × 105 3.8 × 105

Table 3.1 – Coefficient d’absorption des m´etaux utilis´es

associ´ee vaut ∆ω = −i^ω₂⁰ RRR ε⁽²⁾(r)|E|²(r)d³r RRR n2 0|E|2(r)d3r ^(3.7)

Cette variation de la pulsation complexe du mode est un taux de d´ecroissance en amplitude ´equi-valent `a un facteur de qualit´e Q^el :

Q^el = ^ω0

2i∆ω ^(3.8)

Pour ´eviter que Q^el ne r´eduise le facteur de qualit´e optique de fa¸con importante, il faut au moins que Q^el> 10⁵.

Pr`es du centre de la cavit´e, les m´etallisations sont des rectangles d´efinis par deux param`etres l et δ : l est la largeur de l’´electrode, δ est la distance entre une ´electrode et le centre du guide (par rapport aux notations utilis´ee dans le chapitre 2, δ = d/2). Dans cette section, nous exprimerons ces quantit´es en unit´es r´eduites : l en p´eriodes du cristal photonique (a) et δ en nombre de rang´ees (^√₂³a). La hauteur des ´electrodes est fix´ee `a 200 nm. En partant du profil modal calcul´e par FDTD, nous pouvons calculer Q^el en fonction de l et δ par les ´equations 3.7 et 3.8 en d´efinissant une fonction ε(2)(r) nulle en dehors des ´electrodes. Le r´esultat pour des ´electrodes en or est report´e fig.

3.8. On constate que le facteur de qualit´e ainsi obtenu d´epend essentiellement de δ mˆeme s’il d´ecroˆıt l´eg`erement avec l. La ligne de niveau noire indique la fronti`ere Q^el= 10⁵. Pour δ < 3, on a toujours Qel < 105, tandis que pour δ ≥ 4, la condition Qel > 105 est toujours respect´ee. Le cas limite se situe pour 3 < δ < 4 : il faut alors que l’´electrode soit fine (l < 3) pour respecter le crit`ere sur Q<sup>el</sup>. Ce r´esultat donne donc une r`egle pour la g´eom´etrie des ´electrodes. En reprenant l’image du mode de cavit´e, ce calcul s’interpr`ete en constatant que l’´energie du mode est essentiellement confin´ee dans les trois premi`eres rang´ees de part et d’autre du cristal photonique. Un calcul pr´ecis donne 91% d’´energie contenue dans la boˆıte repr´esent´ee fig. 3.7. Si les ´electrodes sont situ´ees au-del`a, la perturbation du mode est mineure.

Figure 3.7 – Profil du mode optique. La projection des ´electrodes est repr´esent´ee dans le plan du cristal photonique. Le rectangle noir contient 91% de l’´energie du mode

Figure3.8 – Facteur de qualit´e ´equivalent aux pertes optiques dues aux ´electrodes, en fonction de l et δ. Calcul par la m´ethode des perturbations. La quantit´e repr´esent´ee est le logarithme d´ecimal de Q/10⁵. La ligne de niveau noire correspond `a Q = 10⁵

Calcul par FDTD Le r´esultat pr´ec´edent demande `a ˆetre compl´et´e par une ´etude num´erique exacte. Lorsque les ´electrodes sont proches, il se pourrait que l’effet soit trop important pour ˆetre trait´e comme une perturbation. Meep permet de d´efinir une conductivit´e complexe constante incorpor´ee directement dans les ´equations de Maxwell. Remarquons qu’il sera difficile de retracer la d´ependance de Q<sup>el</sup>en fonction de l et δ si la structure ´etudi´ee repose sur silice. En effet, la simulation ne fournit que le facteur de qualit´e global 1/Q<sub>0</sub>+ 1/Q<sup>el</sup>. Si Q<sub>0</sub> n’est pas extrˆemement ´elev´e, il peut ˆetre d´elicat d’extraire Qel. Notre d´emarche s’effectuera en deux temps : nous simulerons Qel dans une cavit´e en membrane, et ensuite v´erifierons que, pour des param`etres g´eom´etriques appropri´es, le facteur de qualit´e total est tr`es peu modifi´e dans une cavit´e sur silice.

Le tableau 3.2donne les facteurs de qualit´e simul´es sur membrane pour plusieurs couples (l, δ) (m´etallisations en or). L’accord est en fait excellent avec le r´esultat du calcul aux petites pertur-bations. Les conclusions sont donc les mˆemes. Notons que le calcul aux petites perturbations, ainsi valid´e par la FDTD, permet d’´economiser en temps de calcul.

Lorsque la cavit´e est sur silice et que δ ≥ 4, le facteur de qualit´e simul´e par FDTD reste ´egal `

a 10⁵. Pour clore cette ´etude, nous avons regard´e si le facteur de qualit´e change quand on met du m´etal dans les trous du cristal photonique. (C’est ce qui arrivera n´ecessairement si les ´electrodes

Qel/105 δ = 2 δ = 3 δ = 4 δ = 5

l = 1 0.04 3.5 9.4 34

l = 3 0.01 0.66 5.2 13

l = 5 0.006 0.29 2.3 8.7

l = 7 0 0.09 1.0 8.5

Table 3.2 – Q^el en fonction de l et δ, calcul´e par FDTD

sont d´epos´ees au-dessus d’un cristal photonique « complet »). Nous avons aussi regard´e ce qui se passe quand le cristal photonique est interrompu au niveau des ´electrodes qui reposent alors sur du silicium plein. Nous avons trouv´e que toutes les configurations sont ´equivalentes. Nous avons alors choisi d’interrompre le cristal photonique, ce qui profitera `a la plan´eit´e des ´electrodes.

Cette ´etude nous permet ´egalement de mieux connaˆıtre la d´ependance de la bande passante en fonction de d. A l fix´e, une structure sera d´efinie par la donn´ee d’une longueur de barri`ere, qui fixe le facteur de qualit´e purement optique Q<sub>0</sub>, et de d qui d´etermine Qel. Le facteur de qualit´e total vaut alors (1/Q0+ 1/Q<sup>el</sup>)<sup>−1</sup>. La bande passante d´epend `a la fois du temps de transit, d´etermin´e par d, ainsi que du facteur de qualit´e total, ´egalement d´ependant de d. Ces deux aspects sont regroup´es pour diff´erentes valeurs fig. 3.9, o`u on a trac´e la bande-passante optique pour plusieurs valeurs de Q0 et la bande passante li´ee au temps de transit. Les param`etres g´eom´etriques sont a = 400 nm, l = 2 µm. Les param`etres sont optimis´es du point de vue de la bande passante lorsque les deux types de limitations sont comparables. Cela est r´ealis´e pour Q<sub>0</sub> = 20000 et d = 3.2 µm ou pour Q<sub>0</sub> = 100000 et d = 1.7 µm. Dans le deuxi`eme cas la d´egradation du facteur de qualit´e s’accompagne d’une baisse de la transmission, alors que dans le premier cas, la transmission devrait ˆetre ´elev´ee (meilleur couplage). Nous fabriquerons donc des ´echantillons peu coupl´es avec des ´electrodes lointaines pour optimiser le facteur de qualit´e, d’une part, et des structures bien coupl´ees, dans lesquelles on pourra rapprocher les ´electrodes sans d´egrader (encore plus) le facteur de qualit´e.

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 10⁹ 10¹⁰ 10¹¹ 10¹² 10¹³

Distance entre électrodes (µ m)

Ba ndw idt h (H z) Optical limitation (Q 0 = 10⁵) Optical limitation (Q 0 = 5 × 104 ) Optical limitation (Q 0 = 2 × 104 ) Transit time limitation

Figure 3.9 – Limitations de la bande passante en fonction de d. En traits pointill´es, le temps de transit. En traits pleins la bande passante li´ee au facteur de qualit´e optque pour diff´erentes valeurs de l.