Prise en compte du cristal photonique

Without electrodes With electrodes (c) 0 5 10 15 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Bias (V) Curre nt (nA /µ m ) v rec = 0 v_rec = 10³ cm/s v rec = 10⁴ cm/s v rec = 10⁵ cm/s (d)

Figure 2.24 – (a) Distribution de trous en coupe transversale sous illumination (g =

10²²cm⁻³· s⁻¹) et sans ´electrodes. Unit´e : cm⁻³, ´echelle logarithmique (b) Distribution de trous en coupe transversale sous illumination, sans ´electrodes, avec v_rec = 104cm · s−1 (c) Temps de vie ef-fectif en fonction de vrec, avec et sans les ´electrodes (d) Photocourant en fonction de la polarisation pour plusieurs valeurs de v_rec

2.2.4 Prise en compte du cristal photonique

L’ensemble des calculs men´es jusqu’ici constitue une analyse d´etaill´ee des caract´eristiques ´elec-triques de la photodiode MSM. Dans notre conception, le rˆole de la cavit´e `a cristal photonique concerne l’aspect optique du d´etecteur. Mais le cristal photonique constitue une modification de la g´eom´etrie `a proximit´e des ´electrodes et peut a priori avoir un impact sur les performances ´elec-triques. Les nombreuses recherches sur les applications des cristaux photoniques `a l’opto´electronique ont conduit plusieurs groupes `a s’int´eresser `a ce probl`eme sur le plan th´eorique et exp´erimental, avec substrats et des types de jonctions divers : InP [8] et Si [9] dop´es avec des contacts ohmiques, GaAs [10] et Si [11] avec une jonction p-i-n. Dans les quatre r´ef´erences, le dopage global ou local de l’´echantillon est une ´etape n´ecessaire, que nous ´evitons par le choix du MSM. Ces travaux ´evoquent la modification de la conductivit´e effective du semiconducteur, `a cause (1) de la diminution du

volume conducteur (2) de l’augmentation de l’interface avec l’air o`u se trouvent les d´efauts. Impact g´eom´etrique La g´eom´etrie de la cavit´e `a cristal photonique est d´efinie par une maille triangulaire de trous d’air, un guide W1 dans la direction ΓK et le d´ecalage nanom´etrique de certains trous. Les deux premiers ´el´ements nous paraissent devoir jouer un rˆole pour la circulation des charges dans la structure : le guide est une perturbation de taille microm´etrique du cristal photonique, et on peut imaginer que les porteurs diffus´es pourront la « voir ». En revanche, le d´ecalage nanom´etrique des trous peut ˆetre n´eglig´e dans les simulations de ce chapitre.

La d´efinition du cristal photonique dans ATLAS n’est pas une chose ´evidente au premier abord. Le langage de script d’ATLAS ne permet de d´efinir que des r´egions rectangulaires. Il faut alors d´efinir la structure dans l’utilitaire de la suite Silvaco d´edi´e au maillage des structures complexes (Devedit), qui propose des polygones, mais pas de cercles. Nous approximons donc les cercles par des polygones r´eguliers. Le maillage de la structure est compl´et´e par Devedit, les sommets de chaque polygone ´etant conserv´es. La longueur du cˆot´e du polygone est ainsi comparable `a la taille caract´e-ristique du maillage. Si nous voulons que celle-ci soit de l’ordre de 30 nm, avec un rayon de 100 nm, il faut prendre des polygones `a 20 cˆot´es, qui sont une tr`es bonne approximation des cercles aux ´echelles microm´etriques de la structure enti`ere. Le langage de script de Devedit ne permet pas `a notre connaissance de d´efinir simplement des variables pour les param`etres et des boucles de r´ep´e-tition, fonctionnalit´es absolument n´ecessaires pour impl´ementer un cristal photonique de polygones en un temps raisonnable. Nous avons contourn´e cette difficult´e en calculant les coordonn´ees des points de tous les polygones et en les imprimant au format exig´e par Devedit `a l’aide d’un script MATLAB. La structure compl`ete ainsi qu’un agrandissement laissant voir le maillage autour d’un trou de cristal photonique sont pr´esent´es figure 2.25 (a) et (b). La p´eriode du cristal photonique est a = 400 nm.

Les courbes I(V) dans l’obscurit´e (fig.2.25(c)) montrent que, pour le rayon typique r = 100 nm, le comportement global est semblable `a ce qui se passe pour le silicium massif (r = 0), et on retrouve donc les r´egimes indiqu´es par le mod`ele analytique jusqu’`a la tension d’ionisation par impact. L’´evolution des r´esultats lorsque r grandit de 0 `a 200 nm (valeur limite) nous permet d’ap-pr´ehender l’impact du cristal photonique. Dans le r´egime de diffusion, le courant est r´eduit d’un facteur comparable au facteur de remplissage, en accord avec [9] (insert de la figure 2.25(c)). Le r´egime interm´ediaire est atteint pour des tensions plus ´elev´ees quand le rayon des trous s’accroit. La jonction MSM avec cristal photonique est donc plus difficile `a d´epl´eter. Une explication intuitive serait de dire qu’`a cause des trous, les porteurs ont un chemin plus long `a parcourir jusqu’aux ´elec-trodes, autrement dit, les trous modifient la distribution radiale (autour de la cathode) du champ, rendant la d´epl´etion moins efficace. Cet argument `a lui tout seul n’est pas vraiment convaincant dans la mesure o`u on pourrait lui opposer l’id´ee qu’`a cause des trous, la densit´e volumique efficace de porteurs est plus faible que dans le silicium massif. La simulation num´erique permet pr´ecis´ement de trancher entre ces deux arguments, et en faveur du premier. A cause de ce d´ecalage dans les tensions de d´epl´etion compl`ete, le ratio du courant `a r = 0 sur le courant `a r = 192 nm `a une tension donn´ee dans le r´egime interm´ediaire atteint des ordres de grandeur. Enfin, la tension d’ionisation par impact est atteinte plus tˆot quand le rayon est ´elev´e, ce qu’on relie `a la pr´esence d’un champ tr`es intense dans les petits ilots de silicium entre les trous.

L’aspect spatial du comportement est ´egalement semblable `a ce qui a ´et´e montr´e pour le silicium massif fig. 2.19. Nous reproduisons les densit´es d’´electrons, les lignes de courant, les densit´es de courant pour trois tensions repr´esentatives des trois r´egimes (fig. 2.26). Il est int´eressant de voir comment les lignes de courant sont d´eform´ees par le cristal photonique. Dans le r´egime de diffusion, les porteurs se glissent entre les trous du cristal photonique en suivant autant que possible la

direction ΓK, `a ±30˚ de l’axe y, ce `a quoi la distribution de champ radiale `a partir du centre de la cathode est favorable. Au final, les lignes de courant forment un hexagone irr´egulier. Dans le r´egime interm´ediaire, le courant de trous est tr`es localis´e et doit suivre globalement la direction y. Les porteurs circulent alors en « zigzag ». Dans le r´egime de bande plate, le chemin de passage des trous s’´elargit.

(a) Structure simul´ee (b) D´etail du

maillage autour

d’un trou de cristal photonique 0 10 20 30 40 50 10⁻⁴ 10⁻² 10⁰ 10² 10⁴

Bias (V)

Curre

nt

(nA

/µ

m

)

(c) Courbes I(V) pour diff´erentes valeurs de r

Figure2.25

Recombinaison de surface au niveau des trous du cristal photonique En plus de l’aspect purement g´eom´etrique, l’augmentation du rapport surface/volume dˆu au cristal photonique conduit `

a augmenter l’effet de la recombinaison en surface, ce d’autant plus que les flancs grav´es du cristal photonique sont potentiellement rugueux et riches en d´efauts. En fait, si on prend en compte la recombinaison de surface au niveau des trous du cristal photonique, les caract´eristiques I(V) changent de comportement et leur ´evolution en fonction de la taille des trous est invers´ee. Nous avons vu que la recombinaison de surface facilite l’extraction des trous dans la zone de d´epl´etion dans le r´egime de diffusion (fig.2.27(a)). La surface ´etant proportionnelle au rayon des trous, le courant

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

(g) (h) (i)

Figure 2.26 – Simulation du cristal photonique dans l’obscurit´e. La cathode est ici l’´electrode du haut. Colonne de gauche : 1 V (r´egime de diffusion). Colonne du milieu : 30 V (r´egime interm´ediaire) Colonne de droite : 45 V (r´egime de bande plate) (a) - (c) : Concentration d’´electrons (´echelle logarithmique, cm−3) (d) - (f) : Lignes de courant (g) - (i) : Densit´e de courant normalis´ee (l’´echelle va de 0 `a 1 pour chaque image)

Dans le r´egime de d´epl´etion compl`ete, en revanche, l’extraction des trous via la recombinaison de surface ne joue plus un rˆole aussi important, et on retouve les comportements d´ecrits au paragraphe pr´ec´edent. En th´eorie il serait donc possible d’estimer la vitesse de recombinaison de surface `a partir des courbes exp´erimentales I(V) de cristaux photoniques pour plusieurs rayons dans des jonctions MSM id´eales. Nous n’avons pas tent´e cette exp´erience d´elicate au cours de la th`ese car elle est relativement ´eloign´ee du sujet de d´epart.

Prise en compte du mode de FDTD Pour terminer cette section th´eorique, nous calculons le photocourant et la distribution de porteurs g´en´er´es dans une jonction MSM sur cristal photonique, en prenant le mode optique calcul´e par FDTD comme fonction de g´en´eration des porteurs. Le calcul d´etaill´e du mode de FDTD est donn´e au chapitre suivant. Nous pourrons ainsi examiner `a quel point le r´esultat du calcul d´epend du profil du mode. La r´esolution de la FDTD est l´eg`erement plus ´elev´ee que celle des simulations ATLAS. Aussi nous sommes amen´es `a moyenner le mode optique sur un carr´e de quelques pixels sur quelques pixels. La fonction en langage C qui donne le taux

(a) 0 10 20 30 40 50 10⁻⁴ 10⁻² 10⁰ 10² 10⁴ Bias (V) Curre nt (nA /µ m ) r/a = 0 r/a = 0.25 r/a = 0.40 r/a = 0.48 0 5 10 0 0.005 0.01 (b)

Figure 2.27 – (a) Distribution de trous en r´egime de diffusion dans un cristal photonique avec recombinaison de surface (cm−3, ´echelle logarithmique) Des trous sont g´en´er´es autour des trous dans la zone de d´epl´etion (b) Courbes I(V) pour un cristal photonique avec recombinaison de surface

de g´en´eration en fonction de la position (x, y) va chercher la valeur dans un tableau de r´eels `a un indice calcul´e en fonction de x et y. C’est donc ce tableau qui repr´esente le mode. ATLAS calcule ainsi la valeur `a chaque nœud et estime le taux de photog´en´eration dans le triangle en moyennant les valeurs des trois nœuds. C’est pourquoi il est important que les valeurs que nous mettons dans le tableau repr´esentent une moyenne du mode sur une taille comparable `a celle du maillage dans ATLAS.

Ce calcul est a priori le plus pr´ecis que nous puissions faire, sous l’hypoth`ese, raisonnable, que les champs ´electriques statiques et le champ optique n’interagissent pas. Nous pr´esentons le photocourant, et la distribution de porteurs photog´en´er´es figure 2.28 (a) et (b), en fournissant la comparaison pour avec le mode quasi-ponctuel (figure2.28(b) et (c)). L’influence du profil du mode sur le r´esultat est relativement faible. Bien que ce dernier calcul puisse sembler ˆetre un raffinement superflu, il se r´ev´elera utile quand il s’agira de travailler sur les effets ´electro-optiques de la structure (section 3.4.2)