Chapitre 3 : Modélisation en vue du diagnostic d’un alternateur à diodes tournantes avec
3. Intégration de défauts de court-circuit inter-spires stator au modèle Flux2D/Matlab
3.2. Prise en compte du court-circuit dans les équations différentielles et leur résolution sous Matlab
L’intégration d’un défaut de court-circuit implique l’apparition d’une nouvelle maille dans le schéma électrique équivalent de l’alternateur. La Figure 3. 7 expose ce schéma électrique équivalent auquel a été ajouté un défaut de court-circuit sur la bobine 3-2-1.
Figure 3. 7. Schéma électrique équivalent de l'alternateur avec défaut de court-circuit inter-spires au niveau de la bobine 3-2-1.
Conformément à la Figure 3. 7, de nouvelles relations sont déductibles par application des lois de Kirschoff au niveau du court-circuit. Dans un premier temps, la loi des nœuds au point 1 donne l’équation (3.1).
/ = GFEDS GFED«« (3.1)
De plus, le calcul de la nouvelle variable d’état GFED«« nécessite l’ajout d’une équation différentielle supplémentaire au jeu d’équations déjà déterminé lors de la modélisation de la machine saine. D’après la maille
rch/3 rph111 i111 i112 i211 i312 i311 i121 i221 i321 irp rph112 rph121 rph122 rph211 rph212 rph221 rph222 rph311 rph312 rph321 rph322 rch/3 rch/3 lch/3 lch/3 lch/3 rrp rph321CC i321CC 2 1 I Maille de court-circuit
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2 de la Figure 3. 7, il peut être écrit l’équation analytique régissant le comportement de la boucle de court-circuit, comme explicité en formule (3.2).O+:+eFED««= \FED««/ (3.2)
En remplaçant le courant I par son expression 3.1 dans l’équation 3.2, cette dernière peut être récrite selon la formule (3.3).
O+:+eFED««= O\FED««aGFEDS GFED««b (3.3)
D’aucuns se demandent comment les inductances identifiées pour les trois types d’enroulements de la bobine court-circuitée 3-2-1 ont pu se retrouver sous une seule et même entité au travers du flux :FED«« dans les formules analytiques. La question est légitime et mérite quelques explications. Étant donnée la disposition en série des trois enroulements de la bobine 3-2-1, il a été décidé, pour des raisons de simplification du modèle, de grouper les inductances relatives aux spires en court-circuit d’une part et celles relatives à la partie saine de la bobine d’autre part. Ainsi, un seul courant de court-circuit est considéré mais l’identification séparée des inductances des trois enroulements n’a pas été vaine puisqu’elle permet de conserver une représentation fidèle des phénomènes physiques dans la bobine en court-circuit. En effet, la contribution harmonique de chacun des trois enroulements en fonction des spires impliquées dans le défaut est conservée. Le regroupement des inductances des trois enroulements doit être fait de façon méticuleuse afin de combiner de façon appropriée, aussi bien pour les spires saines que les spires en court-circuit, les inductances propres et les mutuelles des trois contributions. En guise d’exemple, le calcul de l’inductance propre des spires en court-circuit est présenté ci- dessous. Cette dernière fait référence au flux capté par les trois enroulements de court-circuit, c’est-à-dire :
:FED««= :FED««~DS :FED««~ES :FED««~F
Avec :FED««~D, :FED««~E et :FED««~F les flux magnétiques circulant respectivement dans les enroulements 1, 2 et 3 de la bobine 3-2-1 en court-circuit partiel sur la phase 3.
Il est important de ne pas oublier qu’un courant circulant dans l’enroulement 1 a également un impact sur les flux captés par les deux autres, impact pris en compte au travers des inductances mutuelles. Les flux captés par les trois enroulements s’écrivent alors :
:FED««~D= 4FED««~DGFED««~DS lFED««~D£FED««~EGFED««~ES lFED««~D£FED««~FGFED««~F
:FED««~E= lFED««~D£FED««~EGFED««~DS 4FED««~EGFED««~ES lFED««~F£FED««~EGFED««~F
:FED««~F= lFED««~D£FED««~FGFED««~DS lFED««~E£FED««~FGFED««~ES 4FED««~FGFED««~F
Avec 4FED««~A l’inductance propre de l’enroulement x et lFED««~A£FED««~¬ l’inductance mutuelle entre les enroulements x et y.
Puisque les trois enroulements sont connectés en série, il peut être écrit que GFED««~D= GFED««~E= GFED««~F. Par conséquent, l’inductance propre globale du court-circuit est donnée par la formule (3.4).
4FED««= 4FED««~DS 4FED««~ES 4FED««~FS 2lFED««~D£FED««~ES 2lFED««~D£FED««~FS 2lFED««~E£FED««~F (3.4) Cette démarche a également été répétée pour les inductances mutuelles du court-circuit avec les autres bobinages de la machine, de même que pour les inductances représentant le reste des spires saines de la bobine 3-2-1 concernée par le court-circuit.
De plus, il est à noter qu’une modification de l’ensemble des équations différentielles développées pour l’alternateur sain est nécessaire afin de tenir compte de la contribution du flux créé par le court-circuit sur les autres flux générés par les bobines saines de l’alternateur. Cette contribution est intégrée grâce aux mutuelles
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inductances entre la bobine en question et celle du court-circuit, accompagnée du courant de court-circuit la traversant.Par ailleurs, il a été mis en place un système de coefficients tabulés permettant d’adapter le modèle en fonction du nombre de spires en court-circuit souhaité par l’utilisateur. Étant donné l’hypothèse de linéarité et les identifications des inductances réalisées pour une seule spire en court-circuit, ces dernières peuvent être facilement transformées à l’aide de simples facteurs multiplicatifs pour satisfaire un nombre de spires plus élevé. Les inductances propres des bobines sont effectivement proportionnelles au carré du nombre de spires. En ce qui concerne les inductances mutuelles, deux cas doivent être envisagés :
- Soit il s’agit d’inductances mutuelles entre un enroulement de court-circuit d’une part et une autre bobine saine de la machine d’autre part. Dans ce cas, seul le coefficient lié au nombre de spires présent dans l’enroulement de court-circuit en question est pris en compte ;
- Soit il s’agit d’une inductance mutuelle entre deux enroulements touchés par le court-circuit et il est alors nécessaire de la multiplier par les deux coefficients relatifs aux nombres de spires respectifs de ces deux enroulements.
Les mêmes remarques peuvent être émises à propos des trois enroulements complémentaires représentant le reste des spires saines de la bobine 3-2-1. Les coefficients s’écrivent, pour un enroulement représentant les spires saines de la bobine :
78];;FED~A=-•H~A- O -®®A •H~AO 1
Avec -•H~A= 1p, le nombre de spires de l’enroulement > et -®®A le nombre de spires en court-circuit réglable par l’utilisateur. Le coefficient pour un enroulement > en court-circuit est quant à lui plus simple :
78];;FED««~A= -®®A
En dernier lieu, une adaptation des résistances a également été effectuée au niveau de la bobine touchée par le défaut. La résistance totale de la bobine a été scindée en deux parties qui représentent respectivement les résistances des spires en court-circuit et du reste des spires saines de la bobine. Les deux résistances sont simplement proportionnelles à la résistance totale de la bobine en fonction des nombres de spires respectifs qu’elles possèdent. Ainsi, la résistance des spires en court-circuit a été calculée par simple proportionnalité au nombre de spires total que présente le court-circuit, la résistance de la bobine saine étant bien entendu complémentaire à la précédente.
\HfFED««~A=•-¯°¯‚}@-®®A •H~¯°¯‚}@
\HfFED~A=•¯°¯‚}@-c-•H~AO -®®Ad •H~¯°¯‚}@
Avec •¯°¯‚}@ la résistance totale de la bobine en question (trois enroulements complets) et -•H~¯°¯‚}@= ur son nombre de spires total.
Aucune dépendance à la température n’est prise en compte dans le modèle développé mais, étant donné la sensibilité des résistances vis-à-vis de ce paramètre, une étude de la température dans le système et son intégration dans les valeurs des résistances de chaque enroulement serait également à envisager.
L’adaptation du modèle terminée, il est nécessaire d’envisager la confrontation des résultats de simulations obtenus à des mesures expérimentales afin de valider la bonne cohérence des réponses du modèle face aux défauts de court-circuit. La mise en place des essais expérimentaux et une analyse détaillée des résultats sont présentées en section 4.