principes de la plasticité cristalline

La plasticité cristalline se situe à mi-chemin entre la théorie des dislocations et la mécanique des milieux continus. Elle utilise les notions de base de contrainte de cission résolue critique (CRSS), la contrainte d’écoulement et les principes de normalité et du travail extremum. La plasticité cristalline permet de prédire le comportement des cristaux, et donc de prédire le comportement d’agrégats cristallins lors d’opérations de mise en forme, et modélise l’anisotropie plastique, les relations contrainte-déformation et la formation de textures. Nous présentons d’abord les principes de la déformation d’un matériau rigide-plastique sous déformations imposées, conditions typiques de la mise en forme [27].

Pour décrire ce comportement plastique BISHOP et HILL (1951) [28], reprenant en cela le modèle de TAYLOR (1938) [29], ont introduit un critère d’écoulement plastique reposant sur la loi de SCHMID [4], c’est à dire un critère d’activation des systèmes de glissement. CHIN et MAMMEL (1969) [30] puis TOME et KOCKS (1985) [31] ont généralisé ce critère à l’ensemble des systèmes de glissement et de maclage des métaux hexagonaux. La loi de la cission critique, ou loi de SCHMID, est définie de la façon suivante pour le système s :

0

,













 appliquée à un système de glissement ou de maclage est

inférieure à une valeur critique , il n’y a pas de glissement sur ce système et la vitesse de _cs

glissement _s _{reste nulle. Dès que} s

 atteint s c

 , le glissement ou le maclage est initié et le

système s est dit activé (_s_{≠ 0). On notera que lors du maclage, le cisaillement  reste} s constant et la fraction volumique maclée fv varie selon vs s

s

f     .

Chaque système de glissement pouvant être actif dans les deux sens, chaque système de glissement peut être décomposé en deux directions opposées, dans le même plan de

glissement de façon à travailler ultérieurement sur des quantités positives. Le maclage n’étant actif que dans un sens, nous n’aurons pas à appliquer cette opération aux systèmes de maclage.

La loi de SCHMID peut être utilisée sous la formulation suivante proposée par FORTUNIER (1987) [32]: 0 ) ( s s  c   0  s     ) ( s s c =0

La loi de SCHMID exprimée sous cette forme est un critère microscopique. Or, expérimentalement, l’état d’un monocristal soumis à une déformation est complètement déterminé par la connaissance du tenseur des contraintes  , du tenseur des vitesses de ij déformation  et de l’orientation du cristal repérée par exemple par les 3 angles d’EULER ij (φ1 Φ φ2).

Les cissions résolues  et les vitesses de glissement s _s_{sont reliées aux grandeurs} macroscopiques définies ci-dessus par :





où les Mijsdésignent les coefficients de SCHMID généralisés : ) ( 2 1 s i s j s j s i s ij b n b n M  

où b_iset ns_jsont les cosinus directeurs de la direction b et de la normale n au plan du système s considéré, exprimés dans un repère orthonormé.

Le tenseur des contraintes est un tenseur symétrique (3*3). En faisant l’hypothèse d’une déformation incompressible (1122330) sans influence de la pression hydrostatique

m

  

11 22 333 , les tenseurs des contraintes et des vitesses de déformation se réduisent chacun à 5 composantes indépendantes. Ceci nous conduit à nous placer dans un espace à 5 dimensions et la résolution du système (1.1) a été proposée par BISHOP et HILL (1951) [28] dans le cas d’une déformation totalement imposée. Dans un espace associé aux composantes indépendantes du tenseur des contraintes, la loi de SCHMID se traduit par une surface associée au système s. En prenant l’enveloppe intérieure de cette surface, on définit la

frontière d’écoulement, ou polyèdre critique, qui délimite le domaine élastique, du domaine plastique où au moins un système est activé, ce qui entraîne un écoulement plastique du solide. L’ensemble des sommets du polyèdre critique définit l’ensemble de tous les états de contrainte suivant la loi de SCHMID, et l’état de contrainte réel correspond alors à l’un des sommets du polyèdre critique, défini par le maximum de puissance externe de la déformation plastique dissipée par unité de volume :



Les systèmes à l’état critique correspondent aux facettes du polyèdre formant ce sommet. Ce sommet peut également être atteint par le théorème du travail interne minimum. L’équivalence a été démontrée par CHIN et MAMMEL (1969) [30] dans le cas d’une déformation complètement imposée.

RENOUARD et WINTENBERGER [33] en 1976 généralisent le théorème de TAYLOR- BISHOP et HILL au cas des conditions mixtes où à la fois des contraintes et des déformations sont imposées au cristal. L’état de contrainte réel est obtenu comme étant la solution qui maximise la puissance externe de la déformation plastique dissipée par unité de volume par rapport aux contraintes non imposées  :

 

   

W

Les systèmes à l’état critique sont déterminés de la même manière que dans le modèle de BISHOP et HILL. Cette théorie a été vérifiée avec succès dans le cas des métaux c.f.c. par DRIVER, SKALLI et WINTENBERGER (1984) [34] puis dans le cas des métaux c.c. par ORLANS (1989) [35]. Cette théorie a été utilisée, entre autres, par CHENEAU-SPÄTH (1996) [1] pour les métaux hexagonaux.

Le maclage est un système de déformation particulier, puisqu’il ne permet la déformation que dans un sens. Mais les systèmes de maclages sont décrits par un plan, appelé plan de maclage, et qui donne son nom au maclage, et par une direction, parallèle au plan, qui décrit comment se déplace la maille et correspond au mouvement moyen des atomes. Cette direction est l’équivalent du vecteur de Burgers pour le glissement. Comme pour d’autres programmes [36], nous modélisons donc le maclage comme un système de glissement à sens unique.