Chapitre II : Modélisation micromécanique
2) Codes de plasticité cristalline de métaux hexagonau
Les codes actuels ont pour but essentiel de prévoir le comportement de matériaux hexagonaux sous forme polycristalline, à partir des concepts de base de la plasticité cristalline.
Le programme le plus couramment utilisé est le programme VPSC (‘Visco-Plastic Self- Consistent code’) écrit en Fortran-77 et développé par Tomé [36 à 39], qui simule la déformation thermo-mécanique d’agrégats polycristallins. Le code est formulé pour de petites déformations en régime visco-plastique, et prédit le développement des contraintes internes. L’anisotropie élastique et plastique du monocristal est prise en compte, tout comme l’écrouissage des systèmes de glissement. La méthode est basée sur le formalisme de l’inclusion équivalente d’Eshelby, qui résout le problème élastique des contraintes et déformations dans une inclusion ellipsoïdal (le grain) placée dans une matrice élastique homogène, dont les propriétés sont la moyenne des différentes constantes élastiques, et soumise à la contrainte appliquée. Les contraintes et déformations dans l’inclusion sont uniformes, et reliés linéairement aux contraintes et déformations appliquées. Bien que cela soit un problème élastique, il est étendu au régime plastique en exprimant la solution sous forme d’incrément (ou de vitesse), et en introduisant le concept de module instantané, qui relie le taux de contrainte au taux de déformation totale (élastique + plastique).
Le programme VPSC calcule pour chaque grain d’une orientation donnée la contrainte nécessaire pour le déformer et sa rotation cristalline au cours de la déformation. Les calculs se font de manière uniforme pour chaque grain, tous les grains ont la même « taille » et sont dans la même matrice. Le maclage est pris en compte de manière simplifiée : si un grain se déforme par maclage, le programme décide soit de ne pas prendre en compte le maclage, soit d’affecter au grain l’orientation du macle de manière statistique. Ainsi tout le grain change d’orientation et le nombre total de grains demeure constant. La texture change sous l’effet de la rotation des grains due au glissement, et il y a une loi d’écrouissage qui modifie les CRSS. L’utilisation de ce programme a montré qu’il y a de grandes différences entre les CRSS issues des études sur monocristaux et les CRSS rentrées dans le code.
Parmi les variantes récentes faites avec modèle VPSC, Proust et Tomé [38] font augmenter les CRSS avec les fractions volumiques maclées pour prendre en compte la loi de Hall-Petch. Dans un des modèles, ils prennent en compte les interactions entre la matrice et la partie maclée en imposant dans le code : 11M 11Tw,
Tw M 22 22 , 12M 12Tw, Tw M 13 13 , 23M Tw23 (où les axes 1 et 2 sont dans le plan du joint de macle et 3 est normal à ce plan).
La vitesse de déformation et la contrainte sont aussi pondérées avec les fractions volumiques de la matrice et des macles. La relation cristallographique entre la matrice et la partie maclée pourrait être préservée tant que la partie maclée croît, comme si les deux parties subissaient la même rotation (due au glissement) ; mais comme en fait leurs taux de rotations sont différents, dans les calculs la matrice et les macles se réorientent indépendamment. Le modèle prévoit le double maclage.
Agnew et Yoo [39] ont utilisé le modèle VPSC avec une variante rigide-plastique pour simuler le laminage. Ils ont montré que le ratio des CRSS entre glissements basal et pyramidal II c+a détermine la quantité de rotation des pôles (0001) vers la direction de compression, que le glissement prismatique affaiblit le développement de la texture basal, et stabilise les pôles (0001) dans la direction transverse si sa CRSS est plus faible que celle du maclage d’extension. Si la CRSS (pyramidal II) > CRSS (prismatique), la figure de pôle formera un anneau autour de la direction de compression, mais si CRSS (pyramidal II) < CRSS (prismatique), ce dernier sera quasiment inactif.
Kalidindi [40] décompose la déformation totale en déformation plastique et élastique. La partie maclée est idéalisée comme un bloc continu, les parties maclées et non maclées subissent le même gradient de déformation, et toute la partie correspondant à un système de maclage a la même orientation (alors qu’à chaque pas on a une nouvelle orientation). Il ne permet pas à la partie maclée de re-macler, ce qui limite le nombre de parties maclées. Il justifie son choix par le fait que les autres programmes ne choisissent pas forcément la variante de macle majoritaire, et qu’il a observé des macles fins de quelques microns, trop petits pour pouvoir subir du maclage ultérieur. L’orientation cristalline est calculée à partir du tenseur des déformations, mais l’orientation n’est pas réactualisée à chaque itération.
Il a vérifié son modèle en comparant ses prédictions avec les prédictions faites par d’autres programmes sur des textures de laminage de métaux cfc à basse énergie de faute d’empilement, et de métaux hexagonaux ; mais il est difficile de comparer directement et quantitativement ses prédictions avec des mesures (réelles) car il y a de nombreuses inconnues sur les interactions glissement-dislocation et comment elles durcissent le matériau. Dans tous les modèles reportés jusqu’à ce jour dans la littérature, il y a un rapport constant entre les résistances (CRSS) du maclage et du glissement, et il garde aussi cette simplification grossière bien que des expériences aient montré une interaction glissement-maclage complexe. Dans son modèle, il fait l’hypothèse que les macles fines ne peuvent se déformer
que par glissement, et que les macles ont le même gradient de déformation que la matrice, et il utilise le modèle de Taylor pour les contraintes.
Staroselsky et Anand [41] ont créé un code de plasticité cristalline implémenté dans un programme d’éléments finis. Ils l’appliquent à la déformation, à l’ambiante, de l’AZ31 en considérant que seuls sont actifs les glissements basal, prismatique et pyramidal I, et le maclage de traction
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, ce qui pose des problèmes car certaines orientations ne sont pas déformables. Ils ont utilisé un terme d’élasticité isotrope pour lier les niveaux de contraintes, et ainsi accommoder les contraintes aux joints de grains, ce terme ne contribue pas à l’évolution de la texture cristallographique ; et ils prennent en compte l’élasticité dans les tenseurs des contraintes et des déformations. Bien que peu réaliste, ce terme permet de ne pas avoir de contraintes démesurément élevées. Le glissement, comme le maclage, est modélisé en régime rigide-plastique, donc sans dépendance à la vitesse de déformation ou à la température, et l’écrouissage n’est pas pris en compte.De même que pour tous les auteurs, le maclage se modélise comme du pseudo-glissement à sens unique, puis est converti en fraction maclée. Le programme conserve le nombre de grains et utilise un critère probabiliste pour choisir la variante maclée et son orientation : si la fraction maclée dépasse un certain pourcentage aléatoire compris entre 0,3 et 1, alors le grain prend l’orientation de la macle, laquelle est calculée à partir de l’ancienne orientation du grain.
Les CRSS qu’ils ont entrées dans leur programme sont proches des CRSS réelles mesurées sur des monocristaux de magnésium.