Utilisation de la self-coherent camera pour la minimisation des speckles en plan focal
III.3.1 Principe de la minimisation de speckles en plan focal
La méthode présentée dans le chapitre précédent permettait de minimiser la phase et l’am-plitude dans le plan pupille avant le coronographe. Cependant, je n’ai accès à cette phase qu’à travers un modèle. Celui-ci supposait par exemple un masque coronographique parfait, ainsi qu’une différence de marche constante entre les deux diaphragmes du plan de Lyot lors de la cor-rection (voir paragraphe 4.5 dans Mazoyer et al., 2013a). Toute hypothèse simplificatrice dans ce modèle crée inévitablement des erreurs dans l’estimation du front d’onde complexe, ce qui limite la correction des speckles du plan focal. Il faut donc garder à l’esprit que l’objectif initial n’est pas d’estimer la phase ou l’amplitude, mais d’utiliser la self-coherent camera pour minimi-ser directement l’intensité des specklesIS dans le plan focal, qui masque le signalIC de l’objet astrophysique d’intérêt.
Comme le fait remarquerBordé and Traub(2006), la minimisation de l’amplitude complexe AS par la méthode des moindres carrés permet d’atteindre cet objectif. Il est vrai que la minimi-sation de l’estimateur précédent (Φest) était aussi, sous les hypothèses développées dansMazoyer et al. (2013a), équivalente à la minimisation de AS par les moindres carrés. Cependant, il est possible de trouver un autre estimateur dont la minimisation est aussi équivalente à celle deAS, mais nécessitant moins d’hypothèses simplificatrices sur le modèle utilisé.
Chapitre III.3. Utilisation de la self-coherent camera pour la minimisation des speckles en plan focal
Figure III.3.1 – Construction d’une matrice d’interaction à partir de l’estimateur I´. A gauche, la tension envoyée à chacun des32ˆ32 actionneurs du miroir pour obtenir un cosinus. J’enregistre l’image dans le plan focal quand j’applique la tension kini` ki (centre) puis quand j’applique la tension kini´ ki (droite). Figure obtenue à partir de données expérimentales prises sur le banc THD et tirée deMazoyer et al.(2013b).
plan focal semble être plus adaptée a cet objectif. En effet, une telle base permet d’atteindre un par un les speckles à minimiser.Malbet et al.(1995) remarque que l’application d’un cosinus ou d’un sinus à une fréquence accessible au miroir permet de créer deux speckles localisés dans le plan focal et situés symétriquement par rapport à l’étoile. La base des sinus et cosinus pour toutes les fréquences accessibles au miroir déformable est décrite dans Poyneer and Véran (2005). De la même façon, il semble judicieux d’utiliser un estimateur en plan focal1 lors de la construction de la matrice d’interaction, pour profiter du fait que cette base produit des contributions très localisées dans ce plan (et maximiser ainsi le rapport signal à bruit lors de l’enregistrement des mesures).
Pour toute ces raisons, j’ai choisi de prendre comme estimateur la grandeur I´, définie dans l’équation I.4.4 comme égale àASA˚
R. La mesure de cet estimateur à partir de l’image du plan focal de la self-coherent camera est décrite dans le paragraphe I.4.4.2.
Dans un premier temps, je décrirai précisément la nouvelle base utilisée pour parcourir les degrés de liberté accessibles au miroir déformable et expliquerai comment je peux l’utiliser pour minimiser l’estimateur I´. Je montrerai ensuite (paragraphe III.3.1.2), que cette minimisation est bien équivalente à celle de AS, sous des hypothèses que je décrirai précisément. Dans un dernier paragraphe, je montrerai qu’elle atteint bien nos objectifs en terme d’atténuation de la lumière stellaire dans le plan focal du coronographe.
III.3.1.1 Minimisation de I´
Comme décrit dans le paragraphe I.4.1 et dans Mazoyer et al. (2013a), le nombre fini de degrés de liberté du miroir déformable limite la correction à une zone localisée dans le plan focal, le DH. Comme l’estimateurI´ est dans un plan focal, on peut limiter l’estimation deI´ à cette zone sans réduire la qualité de la correction en première approximation. On note KI´ la taille en pixels du coté de ce DH dansI´.
Lors de la minimisation, on va devoir utiliser une multiplication matricielle. Les parties réelles 1. où dans un plan issu d’un nombre pair de transformées de Fourier du plan focal.
III.3.1. Principe de la minimisation de speckles en plan focal
et imaginaires de cet estimateur complexe, toutes deux de tailleKI´ˆKI´, sont donc concaténées dans un vecteur réel de taille 2KI2
´ que l’on note ~I´. On note que le carré de la norme 2 sur l’espace des ~I´ (} ~I´}2) et le carré de la norme 2 sur l’espace des fonctions complexes I´ (şDH|I´|2) donnent le même résultat, ce qui prouve que la minimisation de l’une ou de l’autre est bien équivalente.
En reprenant le cadre développé dans le paragrapheI.3.7.4et dans la partie 3 deMazoyer et al. (2013a), je décris maintenant la construction d’une matrice permettant de minimiser directement I´ au sens des moindres carrés. La base tkiu utilisée, de taille NDM2 , est décrite dans Poyneer and Véran (2005). Pour les NDM2 {2 ` 2 modes cosinus de cette base, la tension appliquée à l’actionneur situé à une position (X,Y ) (X et Y entiers appartenant àJ0,NDM ´ 1K), est :
kipX,Y q “ gicosp2π{NDMpfX,iX ` fY,iY qq (III.3.1) où fX,i et fY,i sont des fréquences, à valeurs entières dans J´NDM{2,NDM{2K et sélectionnées pour éviter les répétitions dues au caractère pair du cosinus. De même, pour les N2
DM{2 ´ 2 modes sinus de cette base, la tension appliquée à chaque actionneur est :
kipX,Y q “ gisinp2π{NDMpfX,iX ` fY,iY qq (III.3.2) oùfX,i etfY,i sont toujours dans J´NDM{2,NDM{2K et sélectionnées pour éviter les répétitions dues au caractère impair du sinus.giest une amplitude ajustable pour chaque vecteur. On obtient ainsi une base tkiu de taille NDM2 (Poyneer and Véran,2005). Un exemple de carte des tensions lors de l’application d’un cosinus sur le miroir déformable est présenté sur la figureIII.3.1, gauche. En partant d’un état donné des tensions du miroir kini, j’applique au miroir les tensions kini` ki puiskini´ ki. J’enregistre les images du plan focal dans les deux cas (qui sont présentées figureIII.3.1, centre et droite) puis je fais une différence (figureIII.3.2, gauche). Cette différence permet de limiter l’influence des aberrations déjà présentes sur le banc au moment de la mesure. Je noteI´,i la mesure de l’effet du vecteurki dans l’estimateurI´. Pour l’obtenir, j’applique à cette différence une transformée de Fourier, représentée sur la figure III.3.2 (centre). Le pic secondaire, entouré sur cette image, est sélectionné et recentré (F rI´,is). Enfin, je prend une transformée de Fourier inverse pour obtenir I´,i, dont les parties réelles et imaginaires sont présentées sur la figure III.3.2, à droite. Je le met alors sous la forme d’un vecteur réel en concaténant les parties réelles et imaginaires : ~I´,i.
En répétant ce traitement pour lesNDM2 vecteurs de la base tkiu, on crée la matrice d’inter-action D de taille 2K2
I´ ˆ NDM2 , reliant les tensions du miroir à leur réponse dans l’estimation ~
I´. Je définis alors, pour trouver le vecteur de tension k permettant de compenser une mesure quelconque ~I´, le critère des moindres carrés par la minimisation de la distance (voir équa-tionI.3.30) :
d2I´ “ }D.k ´ ~I´}2 , (III.3.3)
On utilise alors la méthode SVD (décrite précisément dans le paragraphe I.3.7.4) pour obtenir D:. On a montré que le vecteur tension :
k “ D:. ~I´ , (III.3.4)
est solution du problème des moindres carrés. Le vecteur tensionk est donc ensuite appliqué en boucle fermée (avec un gaing) au miroir déformable pour obtenir la minimisation de ~I´ (et de I´).
Chapitre III.3. Utilisation de la self-coherent camera pour la minimisation des speckles en plan focal
Figure III.3.2 – A gauche, différence des images de plan focal présentées sur la figure III.3.1 (centre et droite). J’applique une transformée de Fourier à cette image (centre). Le pic secondaire (F rI´,is) est sélectionné, recentré et j’applique ensuite une transformée de Fourier inverse pour obtenir I´,i (dont les parties réelles et imaginaires sont présentées à droite). Figure obtenue à partir de données expérimentales prises sur le banc THD et tirée deMazoyer et al.(2013b).
On remarque que la minimisation de la distance définie à l’équation III.3.3 est équivalente, dans l’espace des fonctions complexes à la résolution de l’équation :
@i ď NDM2 , B Bkip ż DH |ÿ j kjI´,jp~xq ´ I´p~xq|2d~xq “ 0 , (III.3.5)
Avant de prouver que le choix de cet estimateur est judicieux et que sa minimisation permet effectivement de réduire l’intensité stellaire dans le plan focal, je fais trois remarques sur la matrice d’interactionD :
a. DansMazoyer et al. (2013a), les actionneurs en dehors de la pupille (contenant 27 action-neurs dans une direction) faisaient que la base composée desN2
DM fonctions d’influence des actionneurs sur le miroir filtrées par la pupille tsiP u n’était pas une famille libre (et donc pas une base, rigoureusement). Il peut paraitre étonnant qu’en utilisant le même miroir et la même pupille, on trouve une famille libre de modes du miroir déformable (les sinus et les cosinus) de tailleNDM2 . Il est donc évident que cette nouvelle famille tsiP u de surfaces filtrées par la pupille n’est pas non plus libre.
Pour s’en convaincre, on peut imaginer une pupille n’incluant que deux actionneurs : dans une direction, on a seulement le cosinus (actionneurs poussés tous les deux) et le sinus (un actionneur poussé et un tiré). Dans ce cas limite, toutes les fréquences appliquées au miroir déformable dans une direction sont une combinaison de ces deux fréquences.
Cependant, aucun des vecteurs de cette nouvelle famille n’appartient au noyau de l’applica-tion linéaireD reliant les mouvements sur le miroir déformable à la mesure de l’estimateur (contrairement aux fonctions d’influence d’actionneurs en dehors de la pupille dans la mé-thode précédente) et l’on a donc pas de colonnes nulles (ou ne contenant que du bruit) dans la matrice D. La dépendance entre les vecteurs peut être gérée au moment de la pseudo-inversion deD. Dans un premier temps, on a ainsi utilisé la famille complète (de 32 ˆ 32 actionneurs) et l’on a seuillé les valeurs singulières trop petites lors de l’inversion SVD, comme décrit dans le paragrapheI.3.7.4et dansMazoyer et al.(2013a). Récemment, une nouvelle famille de vecteurs de seulement 27ˆ27 cosinus et sinus a été créée pour que 144
III.3.1. Principe de la minimisation de speckles en plan focal
les I´,i forment une famille libre dans l’espace de l’estimateur (et donc pour ne pas avoir de valeurs singulières nulles lors de l’inversion de D).
b. Dû au caractère discret des actionneurs sur le miroir, les cosinus et sinus décrits dans les équations III.3.1 et III.3.2 produisent sur la surface du miroir des approximations de véritables cosinus et sinus. J’ai vérifié suite à l’étude au LAM que les cosinus et les sinus produits par le miroir déformable sont très proches de ceux produits avec le miroir que j’ai développé en simulation. Une autre approche serait alors de construire, en simulation, des surfaces cosinus et sinus (vecteurs si de ma base de modes du miroir) et de les projeter sur la base propre des actionneurs du miroir pour mesurer les tensions ki à appliquer au miroir pour obtenir des cosinus et sinus de meilleure qualité. J’ai réalisé des simulations montrant que cette opération ne changeait rien aux résultats en contraste. J’ai donc conti-nué à appliquer les cosinus et sinus décrits dans les équations III.3.1etIII.3.2.
c. Enfin, pour accéder àI´, on effectue 2 transformées de Fourier successives. On peut donc le ré-échantillonner simplement, ce qui permet de diminuer ainsi la taille KI´ sans perte d’information. On peut ainsi réduire la taille de la matrice d’interaction D.
Dans l’image du plan de Fourier, on sélectionne le pic secondaire, de diamètre pDL` DRq (en pixel). Avant de prendre la transformée de Fourier inverse, on re-dimensionne cette image à la limite de Shannon (2pDL` DRq (en pixel). Dans la transformée de Fourier, chaqueI´,iproduit donc une tache de 2 pixels de large. On sélectionne uniquement le DH, qui a donc une taille de 2 pixels ˆ 27 actionneurs, soit KI´ “ 54. En pratique, on ne se placera pas exactement à la limite de Shannon et l’on choisira KI´ supérieur à 54.
III.3.1.2 Équivalence avec la minimisation de AS
Il s’agit maintenant de vérifier que la minimisation de I´ conduit bien à la minimisation de AS par la méthode des moindres carrés. Supposons, comme dans la partie 2 de Mazoyer et al. (2013a) que l’on a accès par une méthode quelconque à une estimation deAS au sein du DH. De la même façon, je note ~AS le vecteur réel où ses parties réelle et imaginaire sont mises en vecteur et concaténées. Pour la minimisation de cet estimateur, on crée une matrice d’interaction D1 reliant les tensions sur les actionneurs du miroir aux valeurs de l’estimateur de ~AS dans le DH. On cherche toujours le vecteur de tension k à appliquer au miroir déformable pour minimiser la distance :
d2AS “ }D1.k ´ ~AS}2 . (III.3.6)
La minimisation de cette distance est équivalente, dans l’espace des fonctions complexes, à la résolution de l’équation : @i ď NDM2 , B Bkip ż DH | ÿ j kjAS,jp~xq ´ ASp~xq|2d~xq “ 0 , (III.3.7) Or, on aI´“ ASA˚
R (multiplication de fonctions complexes). Je vais montrer l’équivalence entre les équationsIII.3.5etIII.3.7, sous les hypothèses suivantes :
Hypothèse 1 :
@~x P DH , |AR|2p~xq ‰ 0 . (III.3.8)
Cette hypothèse a déjà été étudiée dans le chapitre précédent, sous réserve de satisfaction de l’équation 40 (Mazoyer et al.,2013a).
Chapitre III.3. Utilisation de la self-coherent camera pour la minimisation des speckles en plan focal
Hypothèse 2 :
@~x P DH , BARp~xq
Bk “ 0 . (III.3.9)
Cette hypothèse signifie que les aberrations de la pupille n’ont pas d’influence sur le champ complexe de la voie de référence. En effet, par la première hypothèse, le premier anneau sombre de |AR|2 à un rayon plus grand que le DH. A l’intérieur de ce premier anneau, la fonction d’étalement du point est en effet très peu impactée par de faibles aberrations (Perrin et al., 2003).
Hypothèse 3 :
@r , @~x P DH tel que a|~x|2 P rr,r ` 1λ{Ds , |AR|2p~xq » cst . (III.3.10) J’avais supposé dans le chapitre précédent que, sous réserve de satisfaction de l’équation 40 (Mazoyer et al., 2013a), |AR|2 était uniforme sur le DH. Or, la figure 14 de Mazoyer et al. (2013a) montre bien que, même pour un petit diaphragme de référence (γ “ 22.8, courbe noire sur cette figure), |AR|2 varie tout de même d’un facteur 10 sur le DH (de 3.10´7 à 3.10´8). Cette nouvelle hypothèse, moins contraignante, signifie que |AR|2 est uniforme localement, sur une taille de 1λ{D. Sur la figure 14 de Mazoyer et al. (2013a), on vérifie que pour un petit diaphragme de référence (γ “ 22.8) la variation locale (sur 1λ{D) de |AR|2 n’est que de 30% au maximum (dans les coins du DH, entre 18 et 19λ{D).
Grâce à ces trois hypothèses, je vais pouvoir déduire l’équivalence entre la minimisation deI´ (équation III.3.5) décrite dans le paragraphe précédent et celle deAS (équationIII.3.7), décrite dans ce paragraphe. CommeI´“ ASA˚
R, l’équationIII.3.5 est équivalente à : @i ď NDM2 , B Bkip ż DH | ÿ j kjAS,jp~xqA˚ Rp~xq ´ ASp~xqA˚ Rp~xq|2d~xq “ 0 . (III.3.11)
Cette équation est de la formeşDH|f |2 (carré d’une norme) et se dérive en2ş
DHpf1q˚f (produit scalaire associé def1etf ), où f1est la dérivée de la fonction f. J’en déduis, en utilisant l’hypothèse 2 : @i ď NDM2 , 2 ż DH A˚ S,ip~xqARp~xqpÿ j kjAS,jp~xqA˚ Rp~xq ´ ASp~xqA˚ Rp~xqqd~x “ 0 , (III.3.12) qu’on factorise en : @i ď NDM2 , 2 ż DH A˚ S,ip~xqpÿ j kjAS,jp~xq ´ ASp~xqq|ARp~xq|2d~x “ 0 . (III.3.13)
Or AS,i est nul sur tout le DH sauf sur deux speckles localisés et symétriques par rapport au centre du plan focal. L’intégrale peut donc s’écrire uniquement sur le support deAS,i(notéSAS,i). Sur ce support, l’hypothèse 3 assure que |ARp~xq|2 est constant. L’équation des moindres carrés peut donc s’écrire :
@i ď NDM2 , 2|A˚ R|2 ż SAS,i A˚ S,ip~xqpÿ j kjAS,jp~xq ´ ASp~xqqd~x “ 0 . (III.3.14)
Finalement, en utilisant l’hypothèse 1, on déduit l’équivalence avec cette équation :
@i ď NDM2 , 2 ż SAS,i A˚ S,ip~xqpÿ j kjAS,jp~xq ´ ASp~xqqd~x “ 0 . (III.3.15) 146
III.3.1. Principe de la minimisation de speckles en plan focal
On remarque alors que cette dernière équation est équivalente à l’équation III.3.7 en utilisant le même processus (dérivation et caractère localisé de AS,i) que j’ai suivi dans les équations précédentes. J’ai donc prouvé que, sous des hypothèses moins contraignantes que précédemment, la minimisation de l’estimateurI´ est équivalente à la minimisation deAS par la méthode des moindres carrés, et donc à la minimisation deIS.
III.3.1.3 Intensité stellaire dans le plan focal du coronographe
Cette équivalence pourrait sembler suffisante. Cependant, que signifie cette minimisation dans le plan focal de la self-coherent camera, où de la lumière stellaire est ré-introduite par le diaphragme de référence ? J’avais montré dans le chapitre précédent (paragraphe 5.5.1 de Mazoyer et al., 2013a) que la lumière stellaire introduite par la voie de référence, à la fin de la correction, n’avait pas d’impact sur le contraste des franges et n’était donc pas un facteur limitant de la correction. Cependant, il est nécessaire d’étudier l’impact de cette lumière stellaire sur la détection du signal de l’objet astrophysique d’intérêtIC. L’intensité stellaire dans le plan focal de la self-coherent camera est :
}AS` AR}2 “ }AS}2` }AR}2` 2<rAS.A˚
Rs , (III.3.16)
et l’on a toujours :
<rAS.A˚
Rs ď }AS}}AR} . (III.3.17)
Par un raisonnement similaire à celui utilisé dans dans la partie 5.5.1 deMazoyer et al.(2013a), on a alors plusieurs cas. Initialement, avant minimisation de I´, on a }AR}2 ăă }AS}2, et la détection du signalIC de la planète est limitée par le niveau important des speckles. On commence ensuite la minimisation de I´. Si l’on n’est pas limité par d’autres effets (voir chapitreIII.4) et comme la correction n’est pas limitée par la lumière issue du diaphragme de référence, on finit dans le cas }AS}2 ăă }AR}2. On a alors }AS ` AR}2 » }AR}2 “ IR. La détection est alors limitée par le signal de la voie de référenceIR. Si l’on prend l’hypothèse que l’on peut enregistrer une image IR,ref de ce signal indépendamment (comme je l’ai fait lors de la description de la self-coherent camera comme technique de post-traitement, voir paragraphe I.4.4.3), l’intensité stellaire dans le plan focal est finalementIR´ IR,ref et la détection de la planète est simplement limitée par le bruit de photon du signal de la voie de référence (et le bruit de lecture du détecteur que l’on a pas noté ici).
Comme je l’ai évoqué dans la partie 5.5.1 deMazoyer et al.(2013a), il est cependant possible à tout moment de prendre une plus petite taille de diaphragme de référence une fois la correction avancée. L’idéal est d’avoir en permanence }AS}2 et }AR}2 de niveaux comparables pour pouvoir corriger en boucle fermée sans être limité par le flux de la référence. Enfin, ce paragraphe ne tient pas compte des techniques post-traitement spécifiques à la self-coherent camera qui peuvent être appliquées à l’image frangée (voir paragrapheI.4.4.3).
Dans ce paragraphe, j’ai prouvé que la minimisation de l’estimateur I´ était parfaitement adaptée à l’objectif de haut contraste dans le plan focal, sous des hypothèses beaucoup moins contraignantes que celles que j’avais utilisées dans le paragraphe précédent. En effet, aucune hypothèse n’a été prise sur les aberrations introduites par le masque coronographique ou sur la variation de différence de marche entre les différents diaphragmes du plan de Lyot. On peut donc légitimement s’attendre à de meilleurs résultats en contraste. Avant d’introduire les résultats de cette méthode dansMazoyer et al. (2014a), je présente rapidement d’autres améliorations mises en place sur le banc THD entre ces deux publications et qui expliquent aussi l’amélioration des performances.
Chapitre III.3. Utilisation de la self-coherent camera pour la minimisation des speckles en plan focal