Principe de la construction de l’axe

Le principe g´en´eral de ce type de m´ethode, illustr´e Figure 4.2, est le suivant : l’axe central est une structure de donn´ees hi´erarchique, initialis´ee par un point situ´e `a la racine de l’arbre bronchique et automatiquement d´etect´e. A partir de cette racine, une propagation de front est g´en´er´ee. A chaque ´etape de la propagation, le centro¨ıde du nouveau front de propagation est ajout´e `a l’axe central, qui est ainsi construit pas `a pas. Lorsque le front de propagation est arriv´e au niveau d’un embranchement, il est form´e de plusieurs composantes connexes, une par sous-arbre d´etect´e (Figure 4.2(a)). La racine de chaque sous-arbre est automatique- ment d´etect´ee, suite `a une correction du front subdivis´e visant `a orienter chaque composante connexe orthogonalement `a l’axe de son sous-arbre (Figure 4.2(b)). Les nouveaux fronts sont r´einitialis´es `a chaque nouvelle racine et la proc´edure reprend de mani`ere r´ecursive jusqu’`a ce que l’arbre entier ait ´et´e visit´e.

Racine propagation Front de Central Axe Partage du front

(a) Propagation jusqu’`a s´eparation du front Racine corrigé corrigéfront front Nouvelles racines (b) R´einitialisation de la propagation

Fig. 4.2 : Illustration de la m´ethode d’extraction de l’axe central par propagation de front.

4.3.1.1 D´efinition de la propagation de front

On appelle front de propagation `a l’int´erieur d’un objet T , un ensemble de voxels situ´es `a la mˆeme distance g´eod´esique i d’un ensemble de r´ef´erence r ∈ T , dit “racine”. Cette racine peut ˆetre aussi bien un point qu’un ensemble de points. Not´e Fi_{(r), le front se d´efinit par :}

Fi(r) ={x ∈ T/δT(x, r) = i} , (4.1)

o`u δT d´esigne la distance g´eod´esique par rapport `a l’objet T .

Une propagation successive du front, initialis´ee `a la racine r, permet donc de construire une carte de distance approchant la distance g´eod´esique δT(., r), de la mani`ere suivante :

F0(r) = r, Fi(r) = ( x_{∈ ϑ}26(Fi−1(r))/x∈ (T \ [ 0≤k≤i−1 Fk(r)) ) , (4.2)

o`u ϑ26 d´esigne un voisinage 26-connexe. En consid´erant que les voisins sont ´eloign´es unitaire-

ment du point central, on d´efinit une m´etrique not´ee ˜δT :

∀y ∈ ϑ26(x), ˜δT(x, y) = 1. (4.3)

En tenant compte de cette m´etrique, la fonction distance par rapport `a T et r ainsi g´en´er´ee v´erifie :

∀y ∈ Fi(r), ˜δT(y, r) = i. (4.4)

Outre la souplesse d’implantation informatique, cette proc´edure est rapide puisqu’elle ´evite de recalculer la carte des distances g´eod´esiques lorsque la racine est r´einitialis´ee `a chaque em- branchement.

L’axe central (CA) est construit sous forme d’un chemin, CA_{⊂ T , incluant `a chaque ´etape} le centro¨ıde du front courant. La d´efinition du centro¨ıde tient compte de la carte de distance aux bords, et sera d´etaill´ee dans le paragraphe suivant.

4.3.1.2 Introduction d’une carte de distance aux bords Nous d´efinissons la carte de distance aux bords comme suit.

Soit I = f : ℜ3 _{→ [0, 255] une image 3D en niveaux de gris, o`u f(x) est le niveau de gris}

du voxel x.

Une image 3D binaire est exprim´ee de mani`ere similaire par Ib = f : ℜ3 → {0, 1}. Si Ib

repr´esente le volume de donn´ees TDM segment´e contenant l’arbre bronchique 3D, on appelle alors fond l’ensemble ¯T =_{{x ∈ supp(f)/f(x) = 0}.}

La carte de distance g_T¯ :ℜ3 → ℜ par rapport au fond ¯T est d´efinie par

g_T¯(x) =

(

minnd(x, y)/y˜ ∈ ¯T ,o si x ∈ T,

0, si x _{∈ ¯}T , (4.5)

o`u ˜d(x, y) est la distance entre x et y. La litt´erature propose plusieurs d´efinitions pour la distance ˜d(x, y). Ces diff´erentes distances sont appel´ees city block (not´ee d6), ´echiquier (not´ee

d26), chamfer (not´ee dcha), euclidienne (not´ee de) et euclidienne carr´ee [89] (not´ee dE), et sont

d´efinies comme suit.

Soient x = (xu, xv, xw) et y = (yu, yv, yw) deux points de Z3. Alors,

d6(x, y) =|xu− yu| + |xv− yv| + |xw − yw| , (4.6) d26(x, y) = max{|xu− yu| , |xv− yv| , |xw− yw|} , (4.7) d_chaha,b,ci(x, y) = a. max_{|xu− yu| , |xv− yv| , |xw− yw|} +(b− a).mid {|xu− yu| , |xv− yv| , |xw− yw|} +(c− b). min {|xu − yu| , |xv− yv| , |xw− yw|} , (4.8) de(x, y) = p (xu− yu)2+ (xv − yv)2+ (xw− yw)2, (4.9) dE(x, y) = (xu− yu)2+ (xv − yv)2+ (xw− yw)2. (4.10)

Pour calculer la carte de distance, nous utiliserons un algorithme propos´e par Borgefors et. al [90] et une distance de type chamfer, qui permet de d´evelopper des algorithmes dont la complexit´e est optimale. En revanche, les cartes de distances obtenues sont moins pr´ecises qu’en

4.3 M´ethodes hybrides par propagation de front et carte de distance 69 utilisant une m´etrique euclidienne, puisque les valeurs fournies ne sont que des approximations de la distance euclidienne. La pr´ecision est augment´ee par l’utilisation d’un voisinage 5× 5 × 5 par rapport `a un voisinage 3_{× 3 × 3.}

Dans le cadre de notre application, nous avons privil´egi´e les algorithmes les plus efficaces, puisque l’information n´ecessaire porte sur les maxima locaux et non sur la position exacte des points de l’axe central.

On peut remarquer que sur une telle carte de distance, les points ayant les plus grandes valeurs sont localis´es sur l’axe central. En d’autres termes, un point appartenant au front de propagation courant appartient ´egalement `a l’axe central si la valeur associ´ee `a sa position sur la carte de distance est un maximum local. Plus formellement, la carte de distance permet de r´einterpr´eter l’axe central de la mani`ere suivante :

Soit l’ensemble Mi tel que

Mi =

©

x∈ Fi_{(r)/g(x) = maximum local}©_{g∩ F}i_(r)ªª _(4.11)

Un point x_{∈ F}i _{est un ´el´ement de l’axe central si et seulement si :}

x_{∈ M}i. (4.12)

Cette condition garantit que chaque point ´el´ement de l’axe central est le centre d’une boule maximale incluse dans l’objet. Elle d´efinit ainsi le centro¨ıde de chaque front Fi_{(r) pour la}

construction de l’axe.

4.3.1.3 Construction d’une structure hi´erarchique

Au niveau d’un embranchement, le front courant Fn_{(r) se s´epare en plusieurs parties}

connexes, chacune correspondant `a une branche ´emergente :

Fn(r) = m [ i=1 F_in(r), (4.13) o`u Fn

i (r) repr´esente une composante connexe de Fn(r).

Une nouvelle racine ri _{est donc d´etermin´ee pour chaque composante connexe de F}n_{(r), et}

la proc´edure est r´ep´et´ee de mani`ere r´ecursive jusqu’`a ce que l’ensemble de l’arbre soit parcouru par le front :

∀i ∈ {1, m} ri _=C(Fn

i (r)). (4.14)

De mani`ere g´en´erale, si rk _{d´esigne la racine du sous-arbre k, les relations pr´ec´edentes de-}

viennent dans le cas de la subdivision du segment k :

Fn(rk) = m [ i=1 F_in(r) ; (4.15) ∀i ∈ {1, m} rk+i =_C(Fin(rk)), (4.16) et le nouveau front de propagation pour chaque sous-arbre i + k est donn´e par (Figure 4.3) :

F (r _in k) =F (r 0 k+i) (r k) n−1 F F (r 1 k) r k+i r k+1 r k=p 0 k p n−1 k r k+m F (r _mn k) =F (r 0 k+m) 1 F (r n k) = F (r 0 k+1) F (r 0 k)

Fig. 4.3 : Partage du front de propagation en plusieurs composantes connexes au niveau d’un embranchement.

Entre deux subdivisions successives, l’axe central est construit sous la forme d’un chemin hi´erarchique :

CAk = pk0, pk1, ..., pkn−1, (4.18)

avec pk

0 et pkn−1 d´esignant respectivement la racine rk et le point de subdivision du sous-arbre

k (Figure 4.3) :

pk₀ = rk, (4.19) pk_n−1=_C(Fn−1(rk)). (4.20)

L’axe central de l’arbre T est d´efini globalement comme la r´eunion des axes de chaque segment de l’arbre

CA =[

k

CAk, (4.21)

muni d’une relation de hi´erarchie entre les chemins CAk des segments constituants. Cette

relation est d´efinie entre chaque point de subdivision pn−1_k du segment k et les points racines rk+i _{des segments issus de la subdivision du segment k :}

∀i ∈ {1, m} pkn−1 → rk+i. (4.22)

A noter que la relation de hi´erarchie pk

n−1 → rk+i n’implique pas n´ecessairement une rela-

tion de voisinage 26-connexe (rk+i _{∈ ϑ/}

26(pk_n−1)). Cette remarque est ´egalement valable pour les

points constituant un segment CAk, lorsque la branche correspondante de l’axe central pr´esente

des variations de la forme de la section entre deux fronts successifs (Figure 4.4). Dans un tel cas, la 26-connexit´e de l’axe central peut ˆetre r´etablie en ins´erant des points interm´ediaires.

4.3 M´ethodes hybrides par propagation de front et carte de distance 71 F (r i k) p i k pk i+1 (r k) i+1 F Section de coupe

Fig. 4.4 : Exemple de deux fronts successifs ayant des centro¨ıdes non connexes en raison de la forme de leur section respective.