Preuve du théorème 3.34

Nous admettons désormais l’hypothèse de Schinzel et la finitude des groupes de Tate-Shafarevich des courbes elliptiques sur les corps de nombres.

Commençons par prouver que la surface X satisfait au principe de Hasse sous l’hypo-thèse (v) du théorème 3.34. Comme le point t₀ est supposé k-rationnel, on peut se servir des résultats du paragraphe 3.4.3. On dispose notamment d’une variété C_H0 géométriquement intègre sur k (cf. proposition 3.50), d’une variété H0 isomorphe au complémentaire dans P3 k

d’un fermé de codimension > 2 et d’un morphisme projectif π_H0: C_H0 → H0 dont la fibre générique est géométriquement intègre (cf. proposition 3.46) et dont la fibre au-dessus de tout point m ∈ H0 de codimension 1 possède une composante irréductible Y de multiplicité 1 dans le corps des fonctions de laquelle la fermeture algébrique de κ(m) est une extension abélienne de κ(m) (cf. théorème 3.56). On peut donc appliquer le théorème 3.4 à ce morphisme.

Supposons que X(k_{Ω) 6= ∅. D’après la proposition 3.62, il existe un ouvert dense U ⊂ X} et un k-morphisme f : U → (CH0)reg, où (C_H0)reg désigne l’ouvert de lissité de C_H0 sur k. Étant donné que Br(X)/Br(k) = 0, tout k_Ω-point de U est orthogonal à Br_nr(U). Comme f⋆Br_nr((C_H0)reg) ⊂ Brnr(U) (cf. [29, Théorème 7.4]), il en résulte que l’image par f de tout k_Ω-point de U est orthogonale à Br_nr((C_H0)reg). Le théorème des fonctions implicites assure par ailleurs l’existence d’un k_Ω-point de U ; on a ainsi montré que (C_H0)reg(k_Ω)Brnr 6= ∅. D’après le théorème 3.4 appliqué au morphisme π_H0 et à l’ouvert H0\ ∆, il existe donc h0 ∈ (H0\ ∆)(k) tel que la fibre π−1

H0(h₀) admette un k_v-point pour tout v ∈ Ω.

Soit h_{1 ∈ (H}0\ ∆)(k) un point distinct de h0 mais suffisamment proche de h₀ aux places réelles de k pour que, notant D₀ la droite de H passant par h₀ et h₁, les points h₀ et h₁ appartiennent à la même composante connexe de (D_{0 \ (D0 ∩ ∆))(kv}) pour toute place v réelle. Comme π−1

H0(h₀) est lisse et possède un k_v-point pour toute place v réelle et que le morphisme π_H0 est plat (cf. proposition 3.49), le théorème des fonctions implicites permet de supposer, quitte à choisir h₁ suffisamment proche de h₀, que π−1

H0(h₁) possède un k_v-point pour toute place v réelle.

Soit Π ⊂ H un hyperplan k-rationnel contenant h1 mais ne contenant pas h₀. Nous sommes maintenant dans la situation du paragraphe 3.4.5, où une « condition (D_g) » a été définie. Celle-ci est satisfaite en vertu de la proposition 3.83. D’après la proposition 3.74, il existe donc un point p ∈ Π(k) arbitrairement proche de h1 aux places réelles de k et un k-isomorphisme τ : D−→ P^∼ 1

où D désigne la droite de H passant par h₀ et p. Quitte à choisir p suffisamment proche de h₁, on peut supposer que h₀et p appartiennent à la même composante connexe de (D\(D∩∆))(kv) pour toute place v réelle et que la fibre π−1

H0(p) possède un k_v-point pour toute place v réelle. Quitte à remplacer τ par sa composée avec un automorphisme de P1

k, on peut supposer de plus que τ(h_{0) appartient à la composante connexe non majorée de τ (D \ (D ∩ (∆ ∪ Π)))(kv}) pour toute place v réelle, compte tenu que τ(p) = ∞.

Toutes les hypothèses du théorème 2.5 sont satisfaites pour la famille τ ◦πH0: π_H⁻¹0(D) → P1 k

et le point τ(h₀). Sa conclusion l’est donc aussi ; il en résulte que la variété C_H0 admet un point k-rationnel. L’existence d’un morphisme C_H0 → X permet de conclure quant à l’existence d’un point k-rationnel sur la surface X.

Reste à prouver le principe de Hasse pour X sous chacune des hypothèses (i) à (iv) du théorème 3.34. Les deux propositions suivantes nous seront utiles pour éliminer un certain nombre de cas particuliers. Rappelons que la surface X admet un point rationnel si elle admet un point sur une extension finie de k de degré impair ; sous diverses formes plus générales, ce résultat fut démontré par Amer, Brumer et Coray (cf. [7], [25]).

Proposition 3.99 — Soit k′/kune extension finie de degré impair. Supposons que la k′-variété

X ⊗kk′ admette un point rationnel si l’obstruction de Brauer-Manin ne s’y oppose pas. Alors la k-variété X admet un point rationnel si l’obstruction de Brauer-Manin ne s’y oppose pas. Démonstration — Soit (P_v)_v∈Ω ∈ X(Ak)Br. Notons Ω′ l’ensemble des places de k′ et t: Ω′ → Ω l’application trace. Pour w ∈ Ω′, posons P′

w = P_t(w). Le point adélique (P′

w)_w∈Ω′ de la k′-variété X ⊗kk′ est orthogonal au groupe de Brauer, comme il résulte des égalités

X w∈Ω′ inv_wA(P_w^′ ) =X v∈Ω X w|v inv_wA(P_v) =X v∈Ω

inv_v(Cores_k′/kA)(P_v),

valables pour tout A ∈ Br(X ⊗kk′). Vu l’hypothèse de la proposition, on a alors X(k′) 6= ∅, d’où l’on déduit que X(k) 6= ∅ grâce au théorème d’Amer, Brumer et Coray.  Proposition 3.100 — Supposons qu’il existe t ∈ S de degré impair sur k tel que εt= 1. Alors

la surface X admet un point rationnel si l’obstruction de Brauer-Manin ne s’y oppose pas. En particulier, sous cette hypothèse, le principe de Hasse vaut pour X dès que Br(X)/Br(k) = 0. Démonstration — La proposition 3.99 permet de supposer que t est k-rationnel. L’hypothèse

ε_t = 1 et la k-rationalité de t entraînent que la surface X est fibrée en coniques au-dessus d’une conique (cf. [43, Corollary 3.4]). Il est connu que de telles surfaces admettent un point rationnel dès que l’obstruction de Brauer-Manin ne s’y oppose pas, en admettant l’hy-pothèse de Schinzel (cf. par exemple [21, Theorem 1.1] ou [59, Chapitre 2, Annexe, Théorème 7.6]). (Il est toutefois possible d’éviter ici l’utilisation de l’hypothèse de Schinzel ; le fibré en coniques mentionné ci-dessus possède en effet seulement quatre fibres géométriques

singulières et l’on peut donc appliquer [11, Théorème 2]. On pourrait aussi se servir de l’as-tuce de Salberger (cf. [21, Theorem 4.1]) pour obtenir l’existence d’un 0-cycle de degré 1,

puis appliquer le théorème d’Amer, Brumer et Coray.) 

Voici maintenant quelques conditions suffisantes pour que l’hypothèse (v) du théorème 3.34 soit satisfaite.

Proposition 3.101 — Supposons que t₀ et t₁ soient k-rationnels. Si la condition (3.7) est satisfaite et que Br(X)/Br(k) = 0, l’hypothèse (v) du théorème 3.34 est satisfaite.

Démonstration — Supposons, par l’absurde, que ε_{0 6= 1 et que pour tout t ∈ S}′, l’image de ε₀ dans κ(t)⋆/κ(t)⋆2 appartienne au sous-groupe {1, εt}. Choisissant t = t1, on en déduit que ε₀ = ε_t1. Cette égalité et la proposition 3.37 montrent que l’entier noté d dans l’énoncé du théorème 3.35 est < Card(S ) − 1. Par ailleurs, la condition (3.7) et l’hypothèse que ε0 6= 1 entraînent que l’entier noté n dans l’énoncé du théorème 3.35 est égal à Card(S ), compte tenu que tout point de S′ est de degré 6 3. Il résulte donc du théorème 3.35 que Br(X)/Br(k) 6= 0,

ce qui contredit l’hypothèse de la proposition. 

Proposition 3.102 — Supposons que t₀ soit k-rationnel. Si le groupe Γ agit transitivement sur {t1, . . . , t₄} et si

ε₀ 6∈ Ker k^⋆/k^⋆2 → κ(t)^⋆/κ(t)^⋆2
\ {1},

où t désigne l’unique élément de S′, l’hypothèse (v) du théorème 3.34 est satisfaite.

Lemme 3.103 — Supposons que t₀ soit k-rationnel. Si ε_{0 6= 1, il existe t ∈ S}′ tel que l’image de ε₀ dans κ(t)⋆/κ(t)⋆2 soit distincte de ε_t.

Démonstration — Supposons que pour tout t ∈ S′, l’image de ε₀ dans κ(t)⋆/κ(t)⋆2 soit égale à ε_t. On a alors N_κ(t)/k(ε_t) = ε^[κ(t):k]₀ pour tout t ∈ S . Compte tenu que^Pt∈S[κ(t) : k] = 5 et que ^Q_t∈S N_κ(t)/k(ε_t) = 1 (cf. proposition 3.37), il en résulte que ε₀ = 1. 

Démonstration de la proposition 3.102 — La condition (3.7) est vide lorsque Γ agit

transiti-vement sur {t1, . . ., t₄}. De même, le groupe Br(X)/Br(k) est automatiquement nul (cf. co-rollaire 3.36). Notant t l’unique point de S′, le lemme 3.103 montre que l’image de ε₀ dans κ(t)⋆/κ(t)⋆2 est distincte de ε_t. Elle est non triviale par hypothèse, d’où le résultat.  Proposition 3.104 — Supposons que t₀ soit k-rationnel. Si le groupe Γ agit transitivement et primitivement sur {t1, . . ., t₄} (ce qui est par exemple le cas s’il agit 2-transitivement),

l’hypothèse (v) du théorème 3.34 est satisfaite.

Démonstration — Sous cette hypothèse, si t désigne l’unique élément de S′, l’extension quar-tique κ(t)/k ne contient aucune sous-extension quadraquar-tique, de sorte que l’on peut toujours

Nous pouvons à présent terminer la démonstration du théorème 3.34.

Supposons l’hypothèse (iv) de ce théorème satisfaite. S’il existe t ∈ S tel que εt = 1, la proposition 3.100 permet de conclure. Sinon, la condition (3.7) est satisfaite et la proposi-tion 3.101 montre donc que l’hypothèse (v) du théorème l’est aussi, d’où le résultat.

Supposons l’hypothèse (iii) du théorème 3.34 satisfaite. Tout point de S est alors de degré impair sur k. S’il existe t ∈ S tel que εt = 1, la proposition 3.100 permet donc de conclure. Sinon, quitte à permuter les t_i, on peut supposer que t₀et t₁ sont k-rationnels ; la condition (3.7) est alors satisfaite et l’hypothèse (v) l’est donc aussi, d’après la proposition 3.101.

Si l’hypothèse (ii) du théorème 3.34 est satisfaite, on peut supposer que t₀ est k-rationnel, quitte à permuter les t_i. Il suffit alors d’appliquer la proposition 3.104 pour conclure.

Enfin, si l’hypothèse (i) du théorème 3.34 est satisfaite, l’ensemble S est un singleton. Notons t son unique élément. Comme l’extension κ(t)/k est de degré 5, le théorème d’Amer, Brumer et Coray montre qu’il suffit d’établir le principe de Hasse pour la surface X ⊗kκ(t) ; or celle-ci est justiciable d’un cas déjà établi du théorème 3.34 puisque l’hypothèse (ii) relative à X ⊗kκ(t) est satisfaite.