Preuve contre les adversaires arbitraires : dépermuter la sortie

Afin de conclure que les protocoles d’échantillonnage qui satisfont la définition 4.3.1 fonctionnent comme voulu, il faut montrer qu’une relation de la forme de (4.9) tient, même lorsqu’on retire la permuta-

tion aléatoire de la sortie de E_RSaccN_→Sn. Il se trouve que l’énoncé assez intuitif « si l’état de sortie permuté

est approximé par un état idéal, alors l’état de sortie non permuté l’est aussi » est assez délicat à démon- trer. Nous insistons sur le fait que cette étape est nécessaire si nous voulons un protocole d’échantillonnage naturel qui ne requiert pas de physiquement permuter les registres et qui reste sûr dans les applications où une telle permutation n’est pas permise.

Le lemme 4.4.3 ci-dessous est la première étape de cette preuve. Ce lemme montre que la propriété d’être idéal, c’est-à-dire d’admettre une purification dans un sous-espace à peu d’erreurs, est une propriété invariante sous la permutation, ou plutôt sous la « dépermutation », des registres.

Lemme 4.4.3. Soit  > 0 et soit σSn ∈ D(H⊗n_S ) tels que 1

n!

P

π∈SnπSnσSnπ

∗

Sn est -idéal, alors σSn est

aussi -idéal.

Démonstration. Soit r = n. On doit montrer que si ¯σSn := 1

n!

P

π∈SnπSnσSnπ

∗

Sn a une purification dans

HR⊗∆r(|ϕi⊗nPn_Sn) pour un certain registre R, alors σSna aussi une telle purification dans H_R⊗∆_r(|ϕi⊗n_Pn_Sn).

Soit |¯σRPn_Sni ∈ H_R⊗ ∆_r(|ϕi⊗n_Pn_Sn) la purification de ¯σSn qui existe par supposition et soitP_ip_i|i_Snihi_Sn|

la décomposition spectrale de σSn. Définissons l’état pur

|¯σΠPn_Sni = r 1 n! X π∈Sn |πi_Π⊗ X i √ pi|iPni ⊗ π_Sn|i_Sni !

où {|iPni}_i est une base de H_Pn. Remarquons que cet état est une purification de ¯σ_Sn, donc il existe

une isométrie VΠPn_→RPn telle que V_ΠPn_→RPn|¯σ_ΠPn_Sni = |¯σ_RPn_Sni ∈ H_R⊗ ∆_r(|ϕi⊗n_Pn_Sn). On peut exprimer

|¯σRPn_Sni comme : |¯σRPn_Sni = (V_ΠPn_→RPn⊗1_Sn)|σ_ΠPn_Sni =X π,i r pi n!VΠPn→RPn|πiΠ|iPni ⊗ πSn|iSni = X π,i r pi n!|ξπ,iiRPn⊗ πSn|i_Sni

où les vecteurs |ξπ,ii_RPn := VΠPn_→RPn|πi_Π|iPni sont orthogonaux deux à deux. En extrayant la permuta-

tion π des registres RPn _{et en défaisant cette permutation sur les registres P}n _{et S}n_{, on obtient l’état}

X π,i r pi n!(1R⊗ π −1 Pn)|ξπ,iiRPn⊗ |iSni (4.13)

Notons que l’action sur RPnSn décrite plus haut est isométrique et que, avant et après l’application de cette isométrie, l’état des registres Pn et Sn a support dans le sous-espace ∆r(|ϕi⊗nPn_Sn) puisque ce celui-ci

est invariant sous la permutation des registres PS. La preuve est complétée puisque l’état (4.13) est une purification de σSn qui appartient au sous-espace H_R⊗ ∆_r(|ϕi⊗n_Pn_Sn).

Nous avons maintenant tous les outils nécessaires pour prouver notre résultat principal, le théo- rème4.4.1ci-dessous. Sa preuve combine le corollaire4.4.1et le lemme4.4.3pour montrer que la sortie du

protocole d’échantillonnage est arbitrairement près d’un état post-sélectionné sur le registre de purification d’un état idéal.

Théorème 4.4.1. Soit Eacc

RSN_→Sn la sortie d’un protocole d’échantillonnage qui satisfait la définition4.3.1

et soit ρRSN ∈ D(HR⊗ H⊗N_S ). Pour tout  > 0, il existe un vecteur sous-normalisé

   ˜ ψR0_Pn_Sn E ∈ HR0⊗ ∆_n(|ϕi⊗n_Pn_Sn) et un CPTN ˜KR0_Pn_→C tels que E acc RSN_→Sn(ρRSN) − cN,d2( ˜K_R0_Pn⊗ id_Sn)( ˜ψ_R0_Pn_Sn) ₁≤ negl(N )

Démonstration. Soient ψSn et σ_Sn tels que définis dans l’énoncé du corollaire4.4.1, c’est-à-dire tels que

1 n!

X

π∈Sn

πSnE_RSaccN_→Sn(ρRSN)π_S∗n ≤ cN,d2· ψ_Sn+ σ_Sn (4.14)

et où kσSnk₁ ≤ negl(N ). Définissons l’opérateur τ_Sn := ψ_Sn + c−1

N,d2 · σSn qui correspond à la partie

droite de (4.14) multipliée par le facteur c−1_N,d2. Puisque ψSn est -idéal, il existe une purification de ψ_Sn

qui vit dans le sous-espace à peu d’erreurs HR0⊗ ∆_n(|ϕi⊗n

Pn_Sn), soit |ψR0_Pn_Sni cette purification. Par la

proposition2.3.2, il existe une purification |τR0_Pn_Sni de τ_Sn telle que kψ_R0_Pn_Sn− τ_R0_Pn_Snk₁ ≤ negl(N ). À

partir de (4.14) et de la proposition2.9.1on peut montrer qu’il existe un super-opérateur complètement positif KR0_Pn_→Π qui produit un registre classique Π à partir des registres de purification R0Pn avec la

propriété que 1 n! X π∈Sn |πihπ|_Π⊗ πSnE_RSaccN_→Sn(ρRSN)π_S∗n= cN,d2(K_R0_Pn_→Π⊗ id_Sn)(τ_R0_Pn_Sn) . (4.15)

Supposons maintenant qu’on soumette les deux côtés de l’égalité ci-dessus à l’opération quantique suivante : mesurer le registre Π et défaire la permutation ainsi observée sur le registre Sn. Le côté gauche de (4.15) deviendrait Eacc

RSN_→Sn(ρRSN), tandis que le côté droit deviendrait

cN,d2·

X

π∈Sn

(hπ|_Π⊗ π−1_Sn)(KR0_Pn_→Π⊗ id_Sn)(τ_R0_Pn_Sn)(|πi_Π⊗ (π_S−1_n)∗) .

Nous montrons maintenant comment représenter cet opérateur d’une manière qui correspond à l’énoncé que nous souhaitons prouver, c’est-à-dire comme un opérateur post-sélectionné sur le registre de purifi- cation d’un état presque idéal. Dans ce but, définissons3 _{une isométrie U}

R0_Pn_→ZΠ qui purifie l’action de

3. Il est toujours possible de définir une isométrie et un projecteur de ce type pour n’importe quel super-opérateur complètement positif EA→B. En effet, soit E(σA) = PkEkσAEk∗ où Ek ∈ L(HA, HB) sont les opérateurs de Kraus de E

et définissons l’isométrie UA→BZ qui transforme un état pur arbitraire |ψiA en

P

kEk|ψiA|kiZ+q1 − PkE∗kEk|ψiA|⊥iZ

où |⊥iZ est choisi comme étant orthogonal à |kiZpour tout k. Alors PZ=

P

k|kihk|Zest le projecteur qui complète cette

représentation de E car trZ((1B⊗ PZ)UA→BZσAUA→BZ∗ ) =

P

KR0_Pn_→Π, c’est-à-dire telle que pour n’importe quel état ν_R0_Pn,

KR0_Pn_→Π(ν_R0_Pn) := tr_Z((P_Z⊗1_Π) · U_R0_Pn_→ZΠ· ν_R0_Pn· (U_R0_Pn_→ZΠ)∗)

pour un certain projecteur PZ. En utilisant cette représentation, l’opérateur post-échantillonnage peut

être exprimé comme Eacc RSN_→Sn(ρRSN) = c_N,d2· tr_Z (P_Z⊗1_Sn) · X π∈Sn [U_Rπ0_Pn_→Z⊗ π_S−1n](τR0_Pn_Sn) ! (4.16)

où U_Rπ0_Pn_→Z:= (1Z⊗ hπ|Π) · UR0_Pn_→ZΠet où [U ](ρ) est une notation concise pour U ρU∗.

Définissons l’opérateur ˜ ψZSn:= X π∈Sn (U_Rπ0_Pn_→Z⊗ π_S−1n)ψR0_Pn_Sn(U_Rπ0_Pn_→Z⊗ π_S−1n)∗ .

où ψR0_Pn_Sn est la purification de ψ_Sn définie plus haut. En utilisant le fait que ψ_Sn est invariant sous les

permutations, on remarque que ˜ψSnest tel que ψ_Sn = 1

n!

P

π∈SnπSn

˜

ψSnπ∗_Sn. Puisque ψSna une purification

dans le sous-espace à peu d’erreurs, le lemme4.4.3 implique que ˜ψSn admet aussi une purification dans

ce sous-espace. Soit | ˜ψR0_Pn_Sni cette purification et soit ˜K_R0_Pn_→C le super-opérateur qui envoie d’abord

| ˜ψR0_Pn_Sni vers ˜ψ_ZSn et qui applique ensuite l’opération σ_Z7→ tr_Z(P_Zσ_Z) au registre Z. Alors, en utilisant

la définition de ˜ψR0_Pn_Sn et de ˜K_R0_Pn, et puisque les opérations quantiques n’augmentent pas la norme de

trace, nous avons que E acc RSN_→Sn(ρRSN) − c_N,d2( ˜KR0_Pn⊗ id_Sn)( ˜ψ_R0_Pn_Sn) ₁ = cN,d2· tr_Z (P_Z⊗1_Sn) · X π∈Sn [U_Rπ0_Pn_→Z⊗ π_S−1n]  τR0_Pn_Sn− ψ_R0_Pn_Sn  ! 1 ≤cN,d2· kτR0_Pn_Sn− ψ_R0_Pn_Snk₁ ≤ negl(N ) où dans première inégalité, Eacc

RSN_→Sn(ρRSN) est remplacé par (4.16) et la dernière inégalité découle de

notre choix de |τR0_Pn_Sni.

À l’aide de la remarque2.9.1, on peut exprimer le résultat du théorème4.4.1en une inégalité d’opé- rateurs, tel que suggéré par l’équation (4.2) de la section 4.2, plutôt que par post-sélection. En fait, la proposition2.9.1montre que ces deux points de vue sont équivalents.

Corollaire 4.4.2. Soit Eacc

RSN_→Sn la sortie d’un protocole d’échantillonnage qui satisfait la définition4.3.1

et soit ρRSN ∈ D(HR ⊗ H⊗N_S ). Pour tout  > 0, il existe un opérateur sous-normalisé -idéal ψSn ∈

D≤(H⊗nS ) et un opérateur σSn tels que

Eacc

où kσSnk₁≤ negl(N ).

Démonstration. Soient | ˜ψR0_Pn_Sni et ˜K_R0_Pn_→C comme dans l’énoncé du théorème4.4.1. Alors

Eacc

RSN_→Sn(ρRSN) = c_N,d2( ˜KR0_Pn)( ˜ψR0_PnSn) + σSn

≤ cN,d2· ψ_Sn+ σ_Sn

où σSn := Eacc

RSN_→Sn(ρRSN) − cN,d2K˜_R0_Pn( ˜ψ_R0_Pn_Sn) a norme négligeable en N par le théorème 4.4.1et où

l’inégalité ci-dessus découle de la remarque2.9.1.