Exemples de protocoles d’échantillonnage

Dans cette sous-section, nous présentons quelques exemples de protocoles d’échantillonnages qui im- plémentent la forme générale donnée par la figure 4.2. Nous avons déjà vu l’un de ces protocoles à la figure4.1de la section précédente. Nous présentons aussi plus bas un protocole d’échantillonnage servant à certifier un type d’état bien précis, une demi-paire EPR, qui correspond à l’état de référence ϕ = 1₂.

Bien qu’il ne soit pas très difficile de montrer que les protocoles présentés dans cette section satisfont la définition4.3.1, les preuves sont tout de même fastidieuses. Pour cette raison, nous présentons seulement l’intuition derrière chacune des preuves dans cette section. Les preuves complètes peuvent être trouvées à l’appendiceA.

Protocole d’échantillonnage par purification

Le protocole d’échantillonnage par purification est celui que nous avons vu à la section 4.2, et est présenté à la figure 4.1. Ce protocole demande au prouveur de préparer N paires de registres PS dont l’état est une purification de l’état de référence ϕS. Paul envoie les N registres S à Sam et ce dernier,

pour vérifier que ces registres sont bien dans l’état ϕS, demande à Paul de lui fournir les registres de

purification P pour un sous-ensemble aléatoirement choisit de k positions parmi les N . Pour ce protocole, le défi c est vide. Sam vérifie ensuite que les k systèmes conjoints PS sont dans l’état |ϕi_PS pour une certaine purification |ϕi_PS de ϕSconnue par Paul.

La preuve complète de la proposition4.3.1se trouve à l’appendiceA.1.

Proposition 4.3.1. Le protocole d’échantillonnage par purification (présenté à la figure 4.1) satisfait la définition 4.3.1.

Ébauche de preuve. Pour le premier critère, il faut montrer que pour tout adversaire contre le vrai pro- tocole, il existe un adversaire équivalent sur une version symétrique du protocole qui donnera le même état de sortie, à une permutation près. À partir d’une purification de _{N !}1 P

π∈SNπSNρSNπ

∗

SN, Paul peut

produire la permutation π qui est appliquée sur le registre SN _{et ainsi savoir, lorsque Sam lui demande}

réponse, Paul doit aussi permuter les registres de purifications P pour qu’ils s’alignent comme il faut avec les bons registres S du côté de Sam. Cette attaque sur le protocole symétrique est équivalente à l’attaque de Paul sur le protocole régulier, à une permutation près sur les registres de sortie.

Le deuxième critère découle du fait que si l’état initial est i.i.d. en |θihθ|_PS, alors la probabilité maximale de passer le test est de transformer chacun des |θi_PSen agissant sur P de manière à maximiser le produit interne avec |ϕi_PS. Ce produit interne ne peut jamais excéder la fidélité entre θS et ϕS par le théorème

d’Uhlmann, donc chaque position a probabilité au moins  > 0 d’échouer le test. Si Sam teste k positions, alors la probabilité de passer tous les tests est négligeable en k.

Le troisième critère découle facilement de la description de l’adversaire symétrique.

Protocole d’échantillonnage à mesures locales de demi-paires EPR

Le protocole d’échantillonnage que nous présentons maintenant montre qu’il n’est pas toujours néces- saire au prouveur de fournir les registres de purification de chacune des positions échantillonnées pour que l’échantillonneur puisse tirer une conclusion sur l’état des registres non échantillonnés. Nous présentons à la figure4.3un protocole pour échantillonner des états de références de la forme ϕ = 1₂ (ce qui correspond à la moitié d’une paire EPR |Φ+_{i = √}1

2(|00i + |11i)) qui utilise seulement des opérations locales de la

communication classique (OLCC). La proposition4.3.2établit que ce protocole satisfait la définition4.3.1, ce qui implique qu’on peut utiliser les techniques de la section4.4 pour montrer qu’il fonctionne comme voulu. La preuve complète de cette proposition peut être trouvée à l’appendiceA.

Proposition 4.3.2. Le protocole d’échantillonnage de la figure4.3 satisfait la définition4.3.1.

Ébauche de preuve. On doit d’abord, pour le premier critère, argumenter que le protocole est invariant sous la permutation des registres de l’échantillonneur au sens de l’équation (4.5). Remarquons d’abord que le choix de t et c est invariant sous la permutation des positions puisqu’ils sont choisis selon la distribution uniforme. Lorsque Sam envoie t et c à Paul, ce dernier peut calculer la permutation π appliquée à SN à partir du registre de purification de l’état symétrique ¯ρPN_SN et ainsi ajuster son attaque en fonction

de π. Il doit ensuite réordonner son résultat de mesure pour qu’il s’aligne correctement avec les systèmes S correspondants du côté de Sam. Cette attaque sur le protocole symétrique est équivalente à l’attaque de Paul sur le protocole régulier, à une permutation près sur les registres de sortie.

Le deuxième critère est un peu plus subtil ; il faut montrer que si l’état conjoint initial est de la forme |θihθ|⊗N_PS , où l’état réduit chez Sam satisfait F (θS,1₂1S)2 < 1 − , alors Paul a probabilité négligeable de

Échantillonnage EPR-OLCC Paramètres : N ∈ N et β ∈ R tel que 0 < β < 1

1. Paul prépare N paires EPR |Φ+i =_√1

2(|00i + |11i) et envoie la moitié de chaque paire à Sam.

2. Sam choisit aléatoirement un échantillon t ⊂R[N ] de taille k = dβN e et une base c ∈R{0, 1}k,

et il envoie t et c à Paul.

3. À la réception de t et c, Paul mesure chacun de ses qubits appartenant aux positions échan- tillonnées i ∈ t dans la base correspondante ci. Il envoie le résultat de la mesure ˆX ∈ {0, 1}k à

Sam.

4. Sam mesure chacun de ses qubits échantillonnés dans la base correspondante ci, soit X ∈ {0, 1}k

le résultat de sa mesure. Il rejette si ˆX 6= X.

Figure 4.3 – Le protocole d’échantillonnage avec mesures locales et communication classique pour certifier des demi-paires EPR (état de référence ϕ = 1₂).

corrélé à la fois dans la base calculatoire et dans la base diagonale est la paire EPR |Φ+_{i. Ainsi, si la}

fidélité entre l’état conjoint |θi_PS et |Φ+_{i est trop basse, alors les résultats de mesure ne peuvent pas être}

parfaitement corrélés dans les deux bases, sauf avec probabilité négligeable.

Le troisième critère est trivial à montrer puisque ni le protocole réel ni la version symétrique décrite ci-dessus ne touchent les systèmes S non échantillonnés autrement que par une permutation.