Pr´esentations de sch´emas num´eriques bas´es sur le sch´ema de Lax-Wendroff135

et

u _;z = @ z u

. La couche est discr´etis´ee sur sa hauteur avec un pas constant

z = H

Ales valeurs approch´ees respectives du d´eplacement

u

^de

u _;t

^{et de}

u _;z

`a l’instant

t ⁿ = n t

^{et en}

z ⁱ = i z

. Quand cela permet une

´ecriture plus claire on utilisera aussi

u

_T⁰

^;n =

u

⁰

x ^;n

On se base alors sur les relations suivantes sur les droites caract´eristiques :

u _;t ( t + t;z ) +

^C

u _;z ( t + t;z ) =

Le sch´ema de Lax-Wendroff est construit `a partir des approximations lin´eaires suivantes pour

A l’int´erieur de la couche

Le sch´ema s’´ecrit `a l’int´erieur de la couche, pour

1

i

N z

^,

1

^:

On utilisera souvent cette expression du sch´ema qui est plus facile `a manipuler.

Condition de Dirichlet sur le haut de la structure

La prise en compte de la condition de Dirichlet en

z = H

se fait en imposant

u _;t ^N

^z

^;n = 0

^et

en utilisant la relation (3.36) pour avoir l’expression de

u ;z ^N

^z

^;n

^{+1 suivante :}

u ^N _;z

^z

^;n

⁺¹

= u ^N _;z

^z

^;n +

^D

( u ^N _;z

^z,1

^;n

^,

u ^N _;z

^z

^;n )

^,DC,1

u ^N _;t

^z,1

^;n ;

^(3.42)

u ^N _;t

^z

^;n

⁺¹

= 0 :

^(3.43)

elle revient aussi `a :

b ^N

^+z

^;n

⁺¹

=

^,

b ^N

^,z

^;n

⁺¹

:

^(3.44)

Condition de contact unilat´eral

La fonction

b

⁺

( t; 0)

est approch´ee par

b

⁺⁰

^;n

^{au temps}

t = n t

. On notera

b

⁰_T

^;n

⁺

= b

⁰

_x ^;n

⁺

b

⁰

_y ^;n

⁺

!

la partie tangentielle sur le bord de contact.

La condition de contact unilat´eral est traduite par l’inclusion diff´erentielle (voir (3.11)):

dtu d ^{z (} t; 0)

²

b z

⁺

( t; 0) + J

_N

(

^,

u z ( t; 0)) ;

On propose deux sch´emas de r´esolution, le premier est le sch´ema d’Euler implicite :

u

⁰

_z ^;n

⁺¹²

u

⁰

_z ^;n + tb

⁰

_z ^;n

⁺⁺¹

+ J

_N

(

^,

u

⁰

_z ^;n

⁺¹

) ;

^(3.45)

On va voir que ce sch´ema a des propri´et´es importantes. De plus il se r´esout explicitement :

u

⁰

_z ^;n

⁺¹

= ( u

⁰

_z ^;n + tb

⁰

_z ^;n

⁺⁺¹

)

⁺

;

^(3.46)

On constate que ce sch´ema assure la positivit´e de

u

⁰

z ^;n

, ce qui ne serait pas le cas d’un sch´ema explicite. Maintenant il convient de prendre une valeur pour

u

⁰

_z;t ^;n

⁺¹telle que :

u

⁰

_z;t ^;n

⁺¹²

b

⁰

_z

⁺

^;n

⁺¹

+ J

N

(

^,

u

⁰

_z ^;n

⁺¹

( t; 0)) :

Pour la portion multivoque il y a un choix `a faire, et on fait le choix suivant :

u

⁰

_z;t ^;n

⁺¹

=

b

⁰

_z ^;n

^{++1 si}

u

⁰

z ^;n

^{+1 6}

= 0 ;

0

^sinon

;

^(3.47)

qui correspond au choix de l’´el´ement de norme minimale. On peut v´erifier que c’est un choix licite, c’est `a dire que

b

⁰

_z ^;n

⁺⁺¹

0

^lorsque

u

⁰

z ^;n

⁺¹

= 0

pour faire le choix

u

⁰

_z;t ^;n

⁺¹

= 0

. On le voit

sur la formule (3.46), lorsque

u

⁰

z ^;n

⁺¹

= 0

^{on a}

u

⁰

z ^;n + tb

⁰

_z

⁺

^;n

⁺¹

0

^{et comme}

u

⁰

z ^;n

0

^{on a bien}

b

⁰

_z ^;n

⁺⁺¹

0

. La pression normale est donn´ee par :

S ⁿ

⁺¹

=

^,

+ 2 G

c

²

⁽ b

⁰

_z

⁺

^;n

^+1,

u

⁰

_z;t ^;n

⁺¹

) :

^(3.48)

et est aussi positive ou nulle. On a aussi la relation :

S ⁿ

⁺¹

u

⁰

_z ^;n

⁺¹

= 0 ;

comme dans le cas continu. Le sch´ema de Lax-Wendroff ´etant convergent d’ordre 2 lorsque la solution est r´eguli`ere, on est tent´e d’utiliser un sch´ema d’ordre 2 pour la r´esolution de l’inclu-sion diff´erentielle. On donne le sch´ema suivant (sch´ema d’Adams-Moulton `a deux points) qui a de bonnes propri´et´es :

u

⁰

_z ^;n

⁺¹

= u

⁰

_z ^;n + t

2 ( _nz + _z ⁿ

⁺¹

) ;

^(3.49)

_z ⁿ

^{+1 2}

b

⁰

_z

⁺

^;n

⁺¹

+ J

_N

(

^,

u

⁰

_z ^;n

⁺¹

) :

^(3.50)

La valeur de

_z

⁰ ´etant initialis´ee comme l’´el´ement de norme minimal de

b

⁰

_z ^;

⁺⁰

+ J

N

(

^,

u

⁰

z ^;

⁰

)

^{. Cette}

inclusion se r´esout aussi de fa¸con explicite :

u

⁰

_z ^;n

⁺¹

= ( u

⁰

_z ^;n + t

2 ( _nz + b

⁰

_z ^;n

⁺⁺¹

))

⁺

;

^(3.51)

_z ⁿ

⁺¹

_{= 2} t ⁽ u

⁰

_z ^;n

^+1,

u

⁰

_z ^;n )

^,

_nz :

^(3.52)

On constate que le sch´ema assure aussi la positivit´e de

u

⁰

z ^;n

⁺¹. Pour le choix de

u

⁰

_z;t ^;n

^{+1 2}

b

⁰

_z

⁺

^;n

⁺¹

+ J

_N

(

^,

u

⁰

z ^;n

⁺¹

( t; 0))

on peut faire aussi le choix de l’´el´ement de norme minimale mais ici on n’est pas assur´e d’avoir

b

⁰

_z ^;n

⁺⁺¹

0

^lorsque

u

⁰

_z;t ^;n

⁺¹

= 0

. L’´el´ement de norme minimale est :

u

⁰

_z;t ^;n

⁺¹

=

b

⁰

_z ^;n

^++1si

u

⁰

z ^;n

⁺¹⁶

= 0 ;

max(0 ;b

⁰

_z ^;n

⁺⁺¹

)

^sinon

;

^(3.53)

On perd le fait que

u

⁰

_z;t ^;n

^{+1est nul si}

u

⁰

z ^;n

⁺¹ l’est. Cela est d ˆu `a des oscillations des valeurs de

_nz

lorsque la portion multivoque est atteinte. La pression normale est toujours obtenue par l’´equation (3.48) et sa positivit´e est toujours assur´ee par le sch´ema.

Condition de contact unilat´eral r´egularis´ee

La condition de contact unilat´eral r´egularis´ee est traduite par l’´equation diff´erentielle :

dtu d ^{z (} t; 0) = b z

⁺

( t; 0) + c

²

+ 2 GJ

^N

⁽

^,

u z ( t; 0)) ;

o `u

J

_N

est donn´ee par la formule (3.13). Pour simplifier les notations on pose

~ = + 2 G c

²

^{. Le}

sch´ema d’Euler implicite donne :

u

⁰

_z ^;n

⁺¹

= ( u

⁰

_z ^;n + tb

⁰

_z ^;n

⁺⁺¹

)

⁺

+ 1 1 + t

~

( u

⁰

_z ^;n + tb

⁰

_z

⁺

^;n

⁺¹

)

^,

;

^(3.54)

u

⁰

_z;t ^;n

⁺¹

= b

⁰

_z ^;n

⁺⁺¹

+ J

_N

^~

(

^,

u

⁰

_z ^;n

⁺¹

) ;

^(3.55)

et le sch´ema d’Adams-Moulton `a deux points:

u

⁰

_z ^;n

⁺¹

= ( u

⁰

_z ^;n + t

2 ( u

⁰

_z;t ^;n + b

⁰

_z ^;n

⁺⁺¹

))

⁺

+ 1 1 + t

2~ ⁽ u

⁰

_z ^;n + t

2 ( u

⁰

_z;t ^;n + b

⁰

_z

⁺

^;n

⁺¹

))

^,

;

^(3.56)

u

⁰

_z;t ^;n

⁺¹

_{= 2} t ⁽ u

⁰

_z ^;n

^+1,

u

⁰

_z ^;n )

^,

u

⁰

_z;t ^;n :

^(3.57)

La pression normale est toujours donn´ee par :

S ⁿ

⁺¹

=

^,

+ 2 G

c

²

⁽ b

⁰

_z

⁺

^;n

^+1,

u

⁰

_z;t ^;n

⁺¹

) :

^(3.58)

Les deux sch´emas assurent la positivit´e de

S ⁿ

^.

Condition de frottement

Si on consid`ere d’abord la condition de frottement non perturb´ee qui s’´ecrit (d´eduite de (3.15):

u

_T

_;t

²

b

_T⁺

( t )

^,

c

¹

S ( t )

G ⁽

^k

u

_T

_;t

^,

V _e ( t )

^k

) Dir ( u

_T

_;t

^,

V _e ( t )) ;

alors le sch´ema naturel est de choisir un

u

_T;t⁰

^;n

^{+1tel que :}

u

⁰_T;t

^;n

^{+1 2}

b

⁰_T

^;n

^++1,

c

¹

S ⁿ

⁺¹

G ⁽

^k

u

⁰_T;t

^;n

^+1,

V _e ( t ⁿ

⁺¹

)

^k

) Dir ( u

⁰_T;t

^;n

^+1,

V _e ( t ⁿ

⁺¹

)) ;

^(3.59)

Le probl`eme bien s ˆur est qu’il n’y a pas forc´ement unicit´e de la solution de cette inclusion lorsque le coefficient de frottement n’est pas croissant. Cette inclusion qui est a priori un sys-t`eme `a deux inconnues scalaires, peut se ramener `a une inclusion `a une inconnue scalaire. On pose

X = u

⁰_T;t

^;n

^+1,

V _e ( t ⁿ

⁺¹

) :

S’il existe un

X

⁶

= 0

solution alors :

X = b

⁰_T

^;n

^++1,

V _e ( t ⁿ

⁺¹

)

^,

c

¹

GS ⁿ

⁺¹

(

^k

X

^k

)

k

X

^k

X;

soit :

X (1+ c

¹

GS ⁿ

⁺¹

(

^k

X

^k

)

k

X

^k

^{) =} b

⁰_T

^;n

^++1,

V _e ( t ⁿ

⁺¹

) :

On pose :

Y = b

⁰_T

^;n

^++1,

V _e ( t ⁿ

⁺¹

) ;

le second membre de l’´equation, et on a

X

de mˆeme sens et mˆeme direction que

Y

^{avec :}

k

X

^k

+ c

¹

GS ⁿ

⁺¹

(

^k

X

^k

) =

^k

Y

^k

:

C’est bien une ´equation `a une seule inconnue, qui est strictement monotone pour

c

¹

GS ⁿ

⁺¹

M <

1

quand l’application

v

^!,

( v )

est semi-lipschitzienne de constante

M

^.

X = 0

est solution si

k

Y

^k

c

¹

GS ⁿ

⁺¹

(0)

^.

On consid`ere maintenant la condition de frottement perturb´ee. On doit approcher l’inclu-sion diff´erentielle suivante (d´eduite de (3.22)) :

" ddtu

^T

^;t

²

G

c

¹

⁽ b

_T⁺

( t )

^,

u

_T

_;t )

^,

S ( t ) (

^k

u

_T

_;t

^,

V _e ( t )

^k

) Dir ( u

_T

_;t

^,

V _e ( t )) ;

Comme dans le cas du contact unilat´eral on va pr´esenter deux sch´emas. Le sch´ema d’Euler implicite s’´ecrit :

u

⁰_T;t

^;n

^{+1 2}

u

⁰_T;t

^;n + t

" ⁽ G

c

¹

⁽ b

⁰_T

^;n

^++1,

u

⁰_T;t

^;n

⁺¹

)

^,

S ⁿ

⁺¹

(

^k

u

⁰_T;t

^;n

^+1,

V _e ( t ⁿ

⁺¹

)

^k

) Dir ( u

⁰_T;t

^;n

^+1,

V _e ( t ⁿ

⁺¹

))) ;

(3.60)

C’est une inclusion qui se r´eduit aussi `a une inclusion scalaire. En posant encore :

X = u

⁰_T;t

^;n

^+1,

V _e ( t ⁿ

⁺¹

) :

et

Y = u

⁰_T;t

^;n

^,

V _e ( t ⁿ

⁺¹

) + t

" ⁽ G

c

¹

⁽ b

⁰_T

^;n

^++1,

V _e ( t ⁿ

⁺¹

)) ;

alors

X = 0

est solution si et seulement si ^k

Y

^k

t

" S ⁿ

⁺¹

(0)

. Les solutions non nulles sont telles que

X

a mˆeme sens et mˆeme direction que

Y

^{et :}

k

X

^k

+ t

" ⁽ S ⁿ

⁺¹

(

^k

X

^k

)+ G

c

^1k

X

^k

) =

^k

Y

^k

:

Cette ´equation ´etant strictement monotone pour

t

" ⁽ S ⁿ

⁺¹

M

^,

G c

¹

⁾ < 1

^.

Le sch´ema d’ordre deux (Adams-Moulton) s’´ecrit :

u

⁰_T;t

^;n

⁺¹

= u

⁰_T;t

^;n + t

2 " ^{( n}

_T

+ ⁿ

_T⁺¹

) ;

^(3.61)

ⁿ

_T^{+1 2}

G

c

¹

⁽ b

⁰_T

^;n

^++1,

u

⁰_T;t

^;n

⁺¹

)

^,

S ⁿ

⁺¹

(

^k

u

⁰_T;t

^;n

^+1,

V _e ( t ⁿ

⁺¹

)

^k

) Dir ( u

⁰_T;t

^;n

^+1,

V _e ( t ⁿ

⁺¹

)) :

^(3.62)

Syst`eme que l’on ram`ene encore `a une inclusion scalaire en posant cette fois ci :

Y = u

⁰_T;t

^;n

^,

V e ( t ⁿ

⁺¹

) + t

2 " ^{( n}

_T

+ G

c

¹

⁽ b

⁰_T

^;n

^++1,

V e ( t ⁿ

⁺¹

))) :

Et on a

X = 0

qui est solution si et seulement si^k

Y

^k

t

2 " S ⁿ

⁺¹

(0)

. Les solutions non nulles

´etant telles que

X

a mˆeme sens et mˆeme direction que

Y

^{et :}

k

X

^k

(1+ t 2 " G

c

¹

^{) +} t

2 " S ⁿ

⁺¹

(

^k

X

^k

) =

^k

Y

^k

:

Cette ´equation ´etant strictement monotone pour

t

2 " ⁽ S ⁿ

⁺¹

M

^,

G c

¹

⁾ < 1

^.

R´ecapitulatif

Les sch´emas ont une partie commune concernant l’int´erieur de la couche, la condition de Dirichlet et

u

⁰

;z ^;n

^+1:

( SCI )

Concernant la condition de contact unilat´eral on a le sch´ema d’Euler implicite :

( SCII )

Le sch´ema d’Adams-Moulton `a deux points:

( SCIII )

Le sch´ema d’Euler implicite pour la condition de contact unilat´eral r´egularis´ee :

( SCIV )

Le sch´ema d’Adams-Moulton pour la condition de contact unilat´eral r´egularis´ee :

( SCV )

La condition de frottement non perturb´ee :

( SCVI ) u

⁰_T;t

^;n

⁺¹²

b

⁰_T

^;n

^++1,

c

¹

S ⁿ

⁺¹

G ⁽

^k

u

⁰_T;t

^;n

^+1,

V _e ( t ⁿ

⁺¹

)

^k

) Dir ( u

⁰_T;t

^;n

^+1,

V _e ( t ⁿ

⁺¹

)) ;

Le sch´ema d’Euler implicite pour la condition de frottement perturb´ee :

( SCVII ) u

⁰_T;t

^;n

^{+1 2}

u

⁰_T;t

^;n + t

" ⁽ G

c

¹

⁽ b

⁰_T

^;n

^++1,

u

⁰_T;t

^;n

⁺¹

)

^,

S ⁿ

⁺¹

(

^k

u

⁰_T;t

^;n

^+1,

V _e ( t ⁿ

⁺¹

)

^k

) Dir ( u

⁰_T;t

^;n

^+1,

V _e ( t ⁿ

⁺¹

))) ;

Le sch´ema d’Adams-Moulton pour la condition de frottement perturb´ee:

( SCVIII )

8

>

<

>

:

u

⁰_T;t

^;n

⁺¹

= u

⁰_T;t

^;n + t

2 " ^{( n}

_T

+ ⁿ

_T⁺¹

) ; ⁿ

_T^{+1 2}

G

c

¹

⁽ b

⁰_T

^;n

^++1,

u

⁰_T;t

^;n

⁺¹

)

^,

S ⁿ

⁺¹

(

^k

u

⁰_T;t

^;n

^+1,

V _e ( t ⁿ

⁺¹

)

^k

) Dir ( u

⁰_T;t

^;n

^+1,

V _e ( t ⁿ

⁺¹

)) :

3.5.2 Propri´et´es du sch´ema de Lax-Wendroff

Il est bien connu que le sch´ema de Lax-Wendroff n’est stable que pour

d

²

= t

zc

²

¹

^,

c’est pourquoi on va supposer d`es maintenant que^D, qui est une matrice diagonale, a tous ces coefficients compris entre 0 et 1.

On introduit l’´energie:

E ( t _{) = 12}

^Z

^H

0

k

u _;t ( z;t )

^k2

+

^kC

u _;z ( z;t )

^k2

dz;

Si on note

u _n;t

^et

u _n;z

les interpol´ees lin´eaires suivant la direction des

z

des solutions discr`etes, alors l’´energie de la solution discr`ete s’´ecrit :

E ⁿ _{= 12}

^Z

^H

0

k

u _n;t ( z )

^k2

+

^kC

u _n;z ( z )

^k2

dz;

= z 2

N

^Xz^,1

i

⁼¹

(

^k

u ^i;n _;t

^k2

+

^kC

u ^i;n _;z

^k2

) + z

4 (

^k

u

⁰

_;t ^;n

^k2

+

^k

u ^N _;t

^z

^;n

^k2

+

^kC

u

⁰

_;z ^;n

^k2

+

^kC

u ^N _;z

^z

^;n

^k2

) ;

et en remarquant que :

k

b ^i;n

^{+ k2}

+

^k

b ^i;n

^{, k2}

= 2

^k

u ^i;n _;t

^k2

+ 2

^Ck

u ^i;n _;t

^k2

;

on voit que cette ´energie s’´ecrit aussi :

E ⁿ = z 4

N

^Xz^,1

i

⁼¹

(

^k

b ^i;n

^{+ k2}

+

^k

b ^i;n

^{, k2}

) + z

8 (

^k

b

⁰⁺

^;n

^k2

+

^k

b

^0,

^;n

^k2

+

^k

b ^N

^+z

^;n

^k2

+

^k

b ^N

^,z

^;n

^k2

) ;

Il est alors possible de quantifier la dissipation d’´energie du sch´ema. On calcule :

E ⁿ

^+1,

E ⁿ = z 4

N

^Xz^,1

i

⁼¹

(

^k

b ^i;n

⁺

+

^D

( b ⁱ

⁺⁺¹

^;n

^,

b ^i;n

⁺

)

^k2

+

^k

b ^i;n

^,

+

^D

( b ⁱ

^,,1

^;n

^,

b ^i;n

^,

)

^k2,k

b ^i;n

^{+ k2,k}

b ^i;n

^{, k2}

) + z

8 (

^k

b

⁰⁺

^;n +

^D

( b

¹⁺

^;n

^,

b

⁰⁺

^;n )

^k2

+

^k

b

^0,

^;n

⁺¹

+ b

⁰⁺

^;n

^+1,

b

⁰⁺

^;n

^,D

( b

¹⁺

^;n

^,

b

⁰⁺

^;n )

^k2

+

^k

b ^N

^,z

^;n +

^D

( b ^N

^,z,1

^;n

^,

b ^N

^,z

^;n )

^k2

+

^k

b ^N

^+z

^;n

⁺¹

+ b ^N

^,z

^;n

^+1,

b ^N

^,z

^;n

^,D

( b ^N

^,z,1

^;n

^,

b ^N

^,z

^;n )

^k2

,k

b

⁰⁺

^;n

^k2,k

b

^0,

^;n

^k2,k

b ^N

^+z

^;n

^k2,k

b ^N

^,z

^;n

^k2

) ;

= z 4

N

^Xz^,1

i

⁼⁰

(

^kD

( b ⁱ

⁺⁺¹

^;n

^,

b ^i;n

⁺

)

^k2

+ 2 < b ^i;n

⁺

;

^D

( b ⁱ

⁺⁺¹

^;n

^,

b ^i;n

⁺

) >

+

^kD

( b ^i;n

^{, ,}

b ⁱ

^,+1

^;n )

^k2

+ 2 < b ⁱ

^,+1

^;n ;

^D

( b ^i;n

^{, ,}

b ⁱ

^,+1

^;n ) > ) + z

8 (

^k

b

^0,

^;n

^+1k2,k

b

⁰⁺

^;n

^+1k2

+

^k

b ^N

^+z

^;n

^+1k2,k

b ^N

^,z

^;n

^+1k2

+

^k

b

⁰⁺

^;n

^k2,k

b

^0,

^;n

^k2,k

b ^N

^+z

^;n

^k2

+

^k

b ^N

^,z

^;n

^k2

) :

La partie qui s’´ecrit :

ED ⁿ =

^,

z 4

N

^Xz^,1

i

⁼⁰

(

^kD

( b ⁱ

⁺⁺¹

^;n

^,

b ^i;n

⁺

)

^k2,

<

^D

( b ⁱ

⁺⁺¹

^;n

^,

b ^i;n

⁺

) ;b ⁱ

⁺⁺¹

^;n

^,

b ^i;n

⁺

>

+

^kD

( b ^i;n

^{, ,}

b ⁱ

^,+1

^;n )

^k2,

<

^D

( b ^i;n

^{, ,}

b ⁱ

^,+1

^;n ) ;b ^i;n

^{, ,}

b ⁱ

^,+1

^;n > ) ;

est positive ou nulle sous la condition C.F.L. et repr´esente l’´energie discr`ete dissip´ee par le

sch´ema num´erique qui est d’autant plus importante que le rapport

t

z

est petit. Et on a donc :

E ⁿ

^+1,

E ⁿ = z 4

N

^Xz^,1

i

⁼⁰

( <

^D

( b ⁱ

⁺⁺¹

^;n + b ^i;n

⁺

) ;b ⁱ

⁺⁺¹

^;n

^,

b ^i;n

⁺

>

^,

<

^D

( b ⁱ

^,+1

^;n + b ^i;n

^,

) ;b ⁱ

^,+1

^;n

^,

b ^i;n

^,

> ) + z

8 (

^k

b

^0,

^;n

^+1k2,k

b

⁰⁺

^;n

^+1k2

+

^k

b ^N

^+z

^;n

^+1k2,k

b ^N

^,z

^;n

^+1k2

+

^k

b

⁰⁺

^;n

^k2,k

b

^0,

^;n

^k2,k

b ^N

^+z

^;n

^k2

+

^k

b ^N

^,z

^;n

^k2

)

^,

ED ⁿ ;

= z 4

N

^Xz^,1

i

⁼⁰

( <

^D

b ⁱ

⁺⁺¹

^;n ;b ⁱ

⁺⁺¹

^;n >

^,

<

^D

b ^i;n

⁺

;b ^i;n

⁺

>

^,

<

^D

b ⁱ

^,+1

^;n ;b ⁱ

^,+1

^;n >

+ <

^D

b ^i;n

^,

;b ^i;n

^,

> + z

8 (

^k

b

^0,

^;n

^+1k2,k

b

⁰⁺

^;n

^+1k2

+

^k

b ^N

^+z

^;n

^+1k2,k

b ^N

^,z

^;n

^+1k2

+

^k

b

⁰⁺

^;n

^k2,k

b

^0,

^;n

^k2,k

b ^N

^+z

^;n

^k2

+

^k

b ^N

^,z

^;n

^k2

)

^,

ED ⁿ ;

= z

4 ( <

^D

b ^N

^+z

^;n ;b ^N

^+z

^;n >

^,

<

^D

b

⁰⁺

^;n ;b

⁰⁺

^;n >

^,

<

^D

b ^N

^,z

^;n ;b ^N

^,z

^;n > + <

^D

b

^0,

^;n ;b

^0,

^;n > ) + z

8 (

^k

b

^0,

^;n

^+1k2,k

b

⁰⁺

^;n

^+1k2

+

^k

b ^N

^+z

^;n

^+1k2,k

b ^N

^,z

^;n

^+1k2

+

^k

b

⁰⁺

^;n

^k2,k

b

^0,

^;n

^k2,k

b ^N

^+z

^;n

^k2

+

^k

b ^N

^,z

^;n

^k2

)

^,

ED ⁿ ;

= z

8 ( < (

^1,

2

^D

)( b ^N

^,z

^;n + b ^N

^+z

^;n ) ;b ^N

^,z

^;n

^,

b ^N

^+z

^;n >

,

< b ^N

^,z

^;n

⁺¹

+ b ^N

^+z

^;n

⁺¹

;b ^N

^,z

^;n

^+1,

b ^N

^+z

^;n

⁺¹

>

^,

< (

^1,

2

^D

)( b

^0,

^;n + b

⁰⁺

^;n ) ;b

^0,

^;n

^,

b

⁰⁺

^;n >

+ < b

^0,

^;n

⁺¹

+ b

⁰⁺

^;n

⁺¹

;b

^0,

^;n

^+1,

b

⁰⁺

^;n

⁺¹

> )

^,

ED ⁿ :

La condition de Dirichlet s’exprime par

b ^N

^+z

^;n =

^,

b ^N

^+z

^;n

et on voit qu’elle est neutre en apport d’´energie. On arrive donc a :

E ⁿ

^+1,

E ⁿ = z

8 ( < (

^1,

2

^D

)( b

⁰⁺

^;n + b

^0,

^;n ) ;b

⁰⁺

^;n

^,

b

^0,

^;n >

^,

< b

⁰⁺

^;n

⁺¹

+ b

^0,

^;n

⁺¹

;b

⁰⁺

^;n

^+1,

b

^0,

^;n

⁺¹

> )

,

ED ⁿ ;

= z

2 ( < (

^1,

2

^D

) u

⁰

_;t ^;n ;

^C

u

⁰

_;z ^;n >

^,

< u

⁰

_;t ^;n

⁺¹

;

^C

u

⁰

_;z ^;n

⁺¹

> )

^,

ED ⁿ :

C’est `a dire qu’il est possible de quantifier l’apport en ´energie en examinant uniquement les termes correspondant au bord de contact.

Le sch´ema a d’autres propri´et´es importantes qui permettrons l’´etude de la stabilit´e. Si on pose :

B _nmax = max

0

i

N

z

(

^k

b ^i;n

^{+ k}

;

^k

b ^i;n

^{, k}

) ;

^(3.63)

dB _nmax = max

0

i

N

z^,1

(

^k

b ⁱ

⁺⁺¹

^;n

^,

b ^i;n

^{+ k}

;

^k

b ⁱ

^,+1

^;n

^,

b ^i;n

^{, k}

) ;

^(3.64)

alors des expressions (3.40) et (3.41) de

b ^i;n

^++1et

b ^i;n

^{,+1on tire :}

k

b ^i;n

^++1k

=

^k

b ^i;n

⁺

+

^D

( b ⁱ

⁺⁺¹

^;n

^,

b ^i;n

⁺

)

^k

B _nmax ; 0

i

N z

^,

1 ;

k

b ^i;n

^,+1k

=

^k

b ^i;n

^,

+

^D

( b ⁱ

^,,1

^;n

^,

b ^i;n

^,

)

^k

B _nmax ; 1

i

N z ;

de mˆeme :

k

b ^i;n

^++1,

b ⁱ

⁺⁺¹

^;n

^+1k

=

^k

b ^i;n

^{+ ,}

b ⁱ

⁺⁺¹

^;n +

^D

( b ⁱ

⁺⁺¹

^;n

^,

b ⁱ

⁺⁺²

^;n

^,

b ^i;n

⁺

+ b ⁱ

⁺⁺¹

^;n )

^k

= dB _nmax ; 0

i

N z

^,

2 ;

k

b ^i;n

^,+1,

b ⁱ

^,,1

^;n

^{+1k k}

b ^i;n

^{, ,}

b ⁱ

^,,1

^;n +

^D

( b ⁱ

^,,1

^;n

^,

b ⁱ

^,,2

^;n

^,

b ^i;n

^,

+ b ⁱ

^,,1

^;n )

^k

dB _nmax ; 2

i

N z ;

C’est `a dire que le sch´ema de Lax-Wendroff `a l’int´erieur de la couche ne fait que diminuer

B _nmax

et

dB _nmax

. Il n’est pas difficile de voir que la condition de Dirichlet agit de mˆeme :

k

b ^N

^+z

^;n

^+1k

=

^k

b ^N

^,z

^;n

^+1k

B _nmax ;

k

b ^N

^+z,1

^;n

^+1,

b ^N

^+z

^;n

^+1k

=

^k

b ^N

^+z,1

^;n +

^D

( b ^N

^+z

^;n

^,

b ^N

^+z,1

^;n )

^,

b ^N

^+z

^;n +

^D

( b ^N

^,z,1

^;n

^,

b ^N

^,z

^;n )

^k

;

dB _nmax :

Autrement dit, on arrive `a :

B _max ⁿ

⁺¹

max( B _nmax ;

^k

b

^0,

^;n

^+1k

) ; dB _max ⁿ

⁺¹

max( dB _nmax ;

^k

b

^1,

^;n

^+1,

b

^0,

^;n

^+1k

) :

C’est `a dire qu’il ne reste plus qu’`a estimer ce qui correspond aux bord de contact. On remarque aussi que pour

n

2 N z

^{on a :}

k

b

⁰⁺

^;n

^k

B _max

⁰

;

^(3.65)

k

b

¹⁺

^;n

^,

b

⁰⁺

^;n

^k

dB _max

⁰

;

^(3.66)

La raison est que si on d´eveloppe

b

⁺⁰

^;n

on trouve :

b

⁰⁺

^;n = (1

^,D

) b

⁰⁺

^;n

^,1

+

^D

b

¹⁺

^;n

^,1

;

= (1

^,D

)

²

b

⁰⁺

^;n

^,2

+ 2(1

^,D

)

^D

b

¹⁺

^;n

^,2

+

^D2

b

²⁺

^;n

^,2

;

= :::

=

^X

^j

i

⁼⁰

j i

D

i (1

^,D

) ^j

^,

ⁱ b ^i;n

^{+ ,}

^j ;

^pour

0

j

min( n;N z ) ;

o `u les

j i

sont les combinaisons de

i

´el´ements parmi

j

. Bien s ˆur

P

j i

⁼⁰

j i

D

i (1

^,D

) ^j

^,

ⁱ = (1

^,D

+

^D

) ^j = 1

et on a bien ^k

b

⁰⁺

^;n

^{k k}

b

⁰⁺

^;n

^,

^j

^k. Mais on peut continuer le processus car pour

j = N z

^{on a}

b ^N

^+z

^;n

^,

^j =

^,

b ^N

^,z

^;n

^,

^j

ce qui fait que pour

0

j

min( n; 2 N z )

^{on arrive}

`a^k

b

⁰⁺

^;n

^k

max(

^k

b

⁰⁺

^;n

^,

^j

^k

;

^k

b

^0,

^;n

^,

^j

^k

)

, d’o `u le r´esultat. Le mˆeme raisonnement est possible pour

k

b

¹⁺

^;n

^,

b

⁰⁺

^;n

^k.

3.5.3 ´Etude de la stabilit´e des sch´emas

Dans un premier temps on va traiter la partie contact unilat´eral, c’est `a dire la composante

u z

du d´eplacement. Pour cela on va consid´erer

E _nz

la partie de

E ⁿ

correspondant aux compo-santes en

z

^:

E _nz = z 2

N

^Xz^,1

i

⁼¹

(( u ^i;n _z;t )

²

+ ( c

²

u ^i;n _z;z )

²

) + z

4 (( u

⁰

_z;t ^;n )

²

+ ( u ^N _z;t

^z

^;n )

²

+ ( c

²

u

⁰

_z;z ^;n )

²

+ ( c

²

u ^N _z;z

^z

^;n )

²

) ;

ainsi que

B _nzmax

^et

dB _nzmax

^:

B _nzmax = max

0

i

N

z

(

^j

b ^i;n _z

^+j

;

^j

b ^i;n _z

^,j

) ;

^(3.67)

dB _nzmax = max

0

i

N

z^,1

(

^j

b ⁱ _z

⁺¹⁺

^;n

^,

b ^i;n _z

^+j

;

^j

b ⁱ _z

^+1,

^;n

^,

b ^i;n _z

^,j

) ;

^(3.68)

D’apr`es ce que l’on vient de voir on a :

E _z ⁿ

^+1,

E _nz

z

2 (1

^,

2 d

²

) c

²

u

⁰

_z;z ^;n u

⁰

_z;t ^;n

^,

c

²

u

⁰

_z;z ^;n

⁺¹

u

⁰

_z;t ^;n

⁺¹

;

et :

B _{z max} ⁿ

⁺¹

max( B _nzmax ;

^j

b

⁰

_z ^;n

^,+1j

) ; dB _{z max} ⁿ

⁺¹

max( dB _nzmax ;

^j

b

¹

_z ^;n

^{, ,}

b

⁰

_z ^;n

^,j

) :

Proposition 16 Sous la condition C.F.L.

d

²

1

, le sch´ema (SCI) (SCII) a les propri´et´es suivantes :

E _nz

E _z

⁰

; B _nzmax

B _{z max}

⁰

;

j

u

⁰

_z ^;n

^{j j}

u

⁰

_z ^;

^0j

+ TB

⁰

_{z max} :

Preuve :on a vu que :

E _z ⁿ

^+1,

E _nz

z

2 ((2 d

^2,

1) u

⁰

_z;t ^;n ( u

⁰

_z;t ^;n

^,

b

⁰

_z ^;n

⁺

) + u

⁰

_z;t ^;n

⁺¹

( u

⁰

_z;t ^;n

^+1,

b

⁰

_z ^;n

⁺⁺¹

)) :

Or

u

⁰

_z;t ^;n

^{vaut 0 ou}

b

⁰

_z

⁺

^;n

`a chaque it´eration ; donc :

E _z ⁿ

⁺¹

E _nz

:::

E _z

⁰

:

C’est `a dire que le sch´ema (SCII) respecte le fait que le contact unilat´eral n’apporte pas d’´energie au syst`eme. De mˆeme :

b

⁰

_z ^;n

^,+1

=

8

<

:

,

b

⁰

_z ^;n

^{++1 si}

u

⁰

_z;t ^;n

⁺¹

= 0 ;

b

⁰

_z

⁺

^;n

^{+1 si}

u

⁰

_z;t ^;n

⁺¹

= b

⁰

_z ^;n

⁺⁺¹

;

par cons´equent^j

b

⁰

_z ^;n

^,+1j

=

^j

b

⁰

_z ^;n

^++1jet on a bien :

B _{z max} ⁿ

⁺¹

B _nzmax

:::

B

⁰

_{z max} :

Si on analyse le syst`eme continu, lorsque qu’il y a une transition contact rompus - contact ´etabli, cela cr´ee une discontinuit´e de la variable

u ;t ( t; 0)

. Dans le sch´ema discret cela se traduit par l’impossibilit´e de majorer

dB _nzmax

en fonction de

dB _{z max}

⁰ . On peut s’en convaincre en essayant de majorer le terme^j

b

¹

_z

^,

^;n

^,

b

⁰

_z ^;n

^,jquand

u

⁰

z ^;n > 0

^et

u

⁰

z ^;n

⁺¹

= 0

ce qui traduit un tel ´ev´enement dans le syst`eme discret. Bien s ˆur il reste toujours l’estimation :

dB _nzmax

2 B _{z max}

⁰

;

mais qui n’apporte pas grand chose. Quant `a

u

⁰

z ^;n

^{on a :}

j

u

⁰

_z ^;n

^+1,

u

⁰

_z ^;n

^j

t

^j

b

⁰

_z

⁺

^;n

^+1j

;

d’apr`es le sch´ema et donc :

j

u

⁰

_z ^;n

^j

TB

⁰

_{z max} :

Proposition 17 Sous la condition C.F.L.

d

²

1

, le sch´ema (SCI) (SCIII) a les propri´et´es suivantes :

E _nz

E _z

⁰

; B _nzmax

B _{z max}

⁰

;

j

_nz

^j

B _{z max}

⁰

;

j

u

⁰

_z ^;n

^{j j}

u

⁰

_z ^;

^0j

+ TB

⁰

_{z max} :

Preuve : Comme dans le sch´ema pr´ec´edent on a

u

⁰

_z;t ^;n

qui vaut 0 ou

b

⁰

_z ^;n

⁺ `a chaque it´eration et donc on a aussi :

E _z ⁿ

⁺¹

E _z

⁰

; B _nzmax

B _{z max}

⁰

:

D’apr`es le sch´ema on a :

– ou bien

u

⁰

z ^;n

⁺¹⁶

= 0

^et

_z ⁿ

⁺¹

= b

⁰

_z

⁺

^;n

^+1,

– ou bien

u

⁰

z ^;n

⁺¹

= 0

^et

_z ⁿ

⁺¹

=

^,

2

tu

⁰

^{z ;n}

^,

_nz

^avec

u

⁰

z ^;n + t

2 ( _nz + b

⁰

_z

⁺

^;n

⁺¹

)

0

. mais alors :

0

u

⁰

_z ^;n

^,

² tu

⁰

^{z ;n}

^,

_nz ;

et :

b

⁰

_z

⁺

^;n

⁺¹

_z ⁿ

^{+1 ,}

_nz :

Par suite ^j

_z ⁿ

^+1j

max(

^j

_nz

^j

;B _{z max}

⁰

)

, et par r´ecurrence^j

_z ⁿ

^+1j

max(

^j

_z

^0j

;B

⁰

_{z max} )

^{. Comme le}

sch´ema est initialis´e avec une valeur

^{0 2}

b

⁰

_z ^;

⁺⁰de norme minimale on a bien :

j

_z ⁿ

^+1j

B _{z max}

⁰

:

D’apr`es le sch´ema on a :

j

u

⁰

_z ^;n

^+1,

u

⁰

_z ^;n

^j

t

2

^j

_nz + b

⁰

_z

⁺

^;n

^+1j

;

et donc :

j

u

⁰

_z ^;n

^+1,

u

⁰

_z ^;n

^j

tB

⁰

_{z max} ;

ce qui permet de conclure :

j

u

⁰

_z ^;n

^jj

u

⁰

_z ^;

^0j

+ TB _{z max}

⁰

:

Proposition 18 S’il existe

d min > 0

^{tel que}

d min

d

²

1

alors le sch´ema (SCI) (SCIV) assure les propri´et´es suivantes : Il existe des constantes

C

¹

;C

²

;C

^3et

C

⁴qui ne d´ependent que des conditions initiales telles que :

B _nzmax

C

¹

;

j

u

⁰

_z ^;n

^j

C

²

;

dB _nzmax

C

³

dB _{z max}

⁰

+ tC

⁴

:

Preuve :On va d’abord se placer pour

n < 2 N z

o `u on a vu que :

j

b

⁰

_z

⁺

^;n

^j

B

⁰

_{z max} ;

^(3.69)

j

b

¹

_z ^;n

^+,

b

⁰

_z ^;n

^+j

dB _{z max}

⁰

;

^(3.70)

D’apr`es le sch´ema (SCIV) on a :

j

u

⁰

_z ^;n

^{+1j j}

tb

⁰

_z

⁺

^;n

⁺¹

+ u

⁰

_z ^;n

^j

;

j

u

⁰

_z ^;n

^j

+ tB _{z max}

⁰

;

d’o `u :

j

u

⁰

_z ^;n

^{j j}

u

⁰

_z ^;

^0j

+ 2 N z tB _{z max}

⁰

;

j

u

⁰

_z ^;

^0j

+ 2 H

c

²

B _{z max}

⁰

:

Par ailleurs toujours d’apr`es le sch´ema (SCIV) on a :

j

u

⁰

_z ^;n

^+1,

u

⁰

_z ^;n

^j

t (

^j

b

⁰

_z ^;n

^++1j

+

^j

u

⁰

_z ^;n

^+1j

~ ⁾ ;

tB

⁰

_{z max} (1 + 2 N z t +

^j

u

⁰

_z ^;

^0j

) :

Comme :

b

⁰

_z

^,

^;n

⁺¹

= b

⁰

_z ^;n

⁺⁺¹

+ 2 c

²

u

⁰

_z;z ^;n

⁺¹

;

et :

u

⁰

_z;z ^;n

⁺¹

=

(

0

^si

u

⁰

z ^;n

⁺¹

0 ;

u

⁰z

c

^;n2~

^{+1 si}

u

⁰

z ^;n

⁺¹

< 0 ;

on a :

j

b

⁰

_z ^;n

^{,+1j j}

b

⁰

_z

⁺

^;n

^+1j

+ 2

^j

u

⁰

z ^;n

^+1j

; ~

B

⁰

_{z max} (1 + 4 H

c

²

^{) + 2}

^j

u

⁰

_z ^;

^0j

:

C’est `a dire que :

B _nzmax

B _{z max}

⁰

(1 + 4 H

c

²

^{) + 2}

^j

u

⁰

_z ^;

^0j

:

Calculons maintenant :

j

b

¹

_z ^;n

^,+1,

b

⁰

_z ^;n

^,+1j

=

^j

b

¹

_z

^,

^;n + D ( b

⁰

_z

^,

^;n

^,

b

¹

_z

^,

^;n )

^,

b

⁰

_z ^;n

^,+1j

;

(1

^,

d

²

)

^j

b

¹

_z ^;n

^,,

b

⁰

_z

^,

^;n

^j

+ 2

^j

c

²

u

⁰

_z;z ^;n

^,

c

²

u

⁰

_z;z ^;n

^+1j

+

^j

b

⁰

_z ^;n

^++1,

b

⁰

_z

⁺

^;n

^j

;

(1

^,

d

²

) dB _nzmax + d

²

dB _{z max}

⁰

+ 2 t

B ~

⁰

^{z max (1 + 2} N z t +

^j

u

⁰

_z ^;

^0j

) :

Donc :

dB _{z max} ⁿ

⁺¹

(1

^,

d

²

) dB _nzmax + d

²

dB _{z max}

⁰

+ 2 t

B ~ ^{z max}

⁰

^{(1 + 2} N z t +

^j

u

⁰

_z ^;

^0j

) ;

et par r´ecurrence :

dB _nzmax

(1

^,

d

²

) ⁿ dB

⁰

_{z max} + ( d

²

dB

⁰

_{z max} + 2 t

B ~

⁰

^{z max (1 + 2} N z t )) ⁿ

^X,1

i

⁼⁰

(1

^,

d

²

) ⁱ ;

(1

^,

d

²

) ⁿ dB

⁰

_{z max} + 1 d

²

⁽ d

²

dB _{z max}

⁰

+ 2 t

B ~ ^{z max}

⁰

^{(1 + 2} N z t +

^j

u

⁰

_z ^;

^0j

)) ;

(1 + (1

^,

d

²

) ⁿ ) dB

⁰

_{z max} + t d _~ ²

²

B _{z max}

⁰

(1 + 2 H c

²

⁾ ;

2 dB

⁰

_{z max} + t d _~ ² min B

⁰

_{z max} (1 + 2 H

c

²

⁺

^j

u

⁰

_z ^;

^0j

) :

On vient donc d’´etablir la proposition lorsque

T

2 H

c

²

d min

^{. Pour}

T > 2 H

c

²

d min

il suffit de r´eit´erer le processus sur chaque intervalle de temps

[ k (2 H

c

²

d min ) ; ( k +1)(2 H

c

²

d min )]

pour trouver l’expression des constantes

C

¹

;C

²

;C

^3et

C

^4.

Remarque : On voit le gain en r´egularit´e apport´e par la r´egularisation de la condition de contact unilat´eral. En effet, pour peu que la condition initiale soit lipschitzienne, le contr ˆole de

la valeur de

dB _nzmax

va permettre de borner la constante de Lipschitz de la solution discr`ete par rapport `a la variable

z

donc aussi par rapport `a la variable

t

. Autrement dit la suite des solutions discr`etes sera born´ee dans

W

¹

^;

¹

(]0 ;H [

]0 ;T [)

^.

Proposition 19 S’il existe

d min > 0

^{tel que}

d min

d

²

1

alors le sch´ema (SCI) (SCV) assure les propri´et´es suivantes : il existe des constantes

C

¹

;C

²

;C

^3et

C

⁴ qui ne d´ependent que des conditions initiales telles que :

B _nzmax

C

¹

;

j

u

⁰

_z ^;n

^j

C

²

;

dB _nzmax

C

³

dB _{z max}

⁰

+ tC

⁴

;

Preuve :La preuve de cette proposition se construit de mani`ere tout `a fait similaire `a celle de la proposition pr´ec´edente. La seule diff´erence est que l’on se base sur le sch´ema (SCV) pour obtenir l’estimations suivantes pour^j

u

⁰

z ^;n

^+1j:

j

u

⁰

_z ^;n

^{+1j j}

u

⁰

_z ^;n

^j

+ t

2

^j

b

⁰

_z ^;n

⁺

+ J _N

^~

(

^,

u

⁰

_z ^;n

⁺¹

) + b

⁰

_z

⁺

^;n

^+1j

;

j

u

⁰

_z ^;n

^j

+ tB _{z max}

⁰

+ t

2~

^j

u

⁰

_z ^;n

^+1j

;

Ce qui peut s’´ecrire, en travaillant pour

t < ~ ¹

^:

j

u

⁰

_z ^;n

^+1j

¹ 1

^,

t

2~ ⁽

j

u

⁰

_z ^;n

^j

+ tB _{z max}

⁰

) ;

(1 + t

~ ⁾⁽

^j

u

⁰

_z ^;n

^j

+ tB _{z max}

⁰

) ;

et par r´ecurrence :

j

u

⁰

_z ^;n

^+1j

(1 + t

~ ^{) n}

^+1j

u

⁰

_z ^;

^0j

+ tB _{z max}

⁰

ⁿ

^X+1

i

⁼¹

(1 + t ~ ^{) i} ;

et en utilisant

(1 + T

N ~ ^{) N}

e

^{T~ :}

j

u

⁰

_z ^;n

^+1j

e

^T~

(

^j

u

⁰

_z ^;

^0j

+ TB _{z max}

⁰

) ;

Cette estimation obtenue, la preuve est identique.

On va maintenant passer aux sch´emas complets, incluant la condition de frottement. On va consid´erer

B _nTmax

^et

dB _nTmax

les composantes sur les d´eplacement horizontaux :

B _nTmax = max

0

i

N

z

(

^k

b ^i;n _T

^+k

;

^k

b ^i;n _T

^,k

) ;

^(3.71)

dB _nTmax = max

0

i

N

z^,1

(

^k

b ⁱ _T

⁺¹⁺

^;n

^,

b ^i;n _T

^+k

;

^k

b ⁱ _T

^+1,

^;n

^,

b ^i;n _T

^,k

) ;

^(3.72)

o `u

b ^i;n _T

^+et

b ^i;n _T

^,d´esigne les composantes horizontales de

b _T ^i;n

^et

b ^i;n

^, . D’apr`es ce que l’on a vu au paragraphe pr´ec´edent on a :

B _{T max} ⁿ

⁺¹

max( B _nTmax ;

^k

b

⁰

_T ^;n

^,+1k

) ; dB _{T max} ⁿ

⁺¹

max( dB _nTmax ;

^k

b

¹

_T ^;n

^,,

b

⁰

_T ^;n

^,k

) :

Proposition 20 S’il existe

d min > 0

^{tel que}

d min

d

²

1

alors le sch´ema (SCI) (SCVI) combin´e

`a l’un des sch´ema (SCII) (SCIII) (SCIV) ou (SCV) a la propri´et´e qu’il existe une constante

C

^{1 qui ne}

d´epend que des conditions initiales telle que :

B _nTmax

C

¹

:

Preuve :D’apr`es le sch´ema on a :

u

⁰_T;t

^;n

^{+1 2}

b

⁰_T

^;n

^++1,

c

¹

S ⁿ

⁺¹

G ⁽

^k

u

⁰_T;t

^;n

^+1,

V _e ( t ⁿ

⁺¹

)

^k

) Dir ( u

⁰_T;t

^;n

^+1,

V _e ( t ⁿ

⁺¹

)) ;

Comme le coefficient

est lipschitzien et born´e on a :

k

u

⁰_T;t

^;n

^+1kk

b

⁰_T

^;n

^++1k

+ c

¹

S ⁿ

⁺¹

G

^k

^k1

:

Les propositions pr´ec´edentes nous assurent que^k

S ⁿ

^kest born´ee ind´ependamment de

n

^quel

que soit le sch´ema choisi pour le contact unilat´eral, et donc pour

n < 2 N z

^:

k

b

⁰

_T ^;n

^{,+1k k}

b

⁰

_T ^;n

^++1k

+ 2

^k

u

⁰_T;t

^;n

^k

;

2 B

⁰

_{T max} + c

¹

G

^k

^k1

max

0

k

N

t

S ^k :

Comme dans les propositions pr´ec´edentes, c’est suffisant pour conclure que

B _nTmax

^{est born´e}

pour

0

n

N t

, car on r´eit`ere le raisonnement pour

n > 2 N z

^.

Il n’est pas possible d’aller plus loin si le coefficient de frottement

n’est pas monotone par rapport `a la vitesse de glissement, car, comme on l’a vu, des chocs en vitesses apparaissent dans ce cas. Le fait que le coefficient

soit monotone ne semble pas suffire non plus car la condition de contact unilat´eral introduit des chocs en vitesse du d´eplacement normal, donc des chocs en pression de contact, et par cons´equent des chocs en vitesse de glissement. Il est toutefois possible de montrer une estimation du type

dB _nTmax

C

³

dB _{T max}

⁰

+ tC

⁴lorsqu’on utilise `a la fois une condition de contact unilat´erale r´egularis´ee et un coefficient de frottement monotone.

Proposition 21 S’il existe

d min > 0

^{tel que}

d min

d

²

1

alors le sch´ema (SCI) (SCVII) combin´e

`a l’un des sch´emas (SCII) (SCIII) (SCIV) ou (SCV) a la propri´et´e suivante : il existe des constantes

C

¹

;C

²

;C

^3et

C

⁴qui ne d´ependent que des conditions initiales telles que :

B _nTmax

C

¹

;

k

u

_T⁰

^;n

^k

C

²

;

dB _nTmax

C

³

dB _{T max}

⁰

+ tC

⁴

:

Preuve :D’apr`es le sch´ema (SCVII), on a :

u

⁰_T;t

^;n

⁺¹²

u

⁰_T;t

^;n + t

" ⁽ G

c

¹

⁽ b

⁰_T

^;n

^++1,

u

⁰_T;t

^;n

⁺¹

)

^,

S ⁿ

⁺¹

(

^k

u

⁰_T;t

^;n

^+1,

V _e ( t ⁿ

⁺¹

)

^k

) Dir ( u

⁰_T;t

^;n

^+1,

V _e ( t ⁿ

⁺¹

))) ;

c’est `a dire :

u

⁰_T;t

^;n

⁺¹²

u

⁰_T;t

^;n + tF ( t ⁿ

⁺¹

;u

⁰_T;t

^;n

⁺¹

) ;

^(3.73)

avec une application multivoque

F

qui a une croissance born´ee par :

k

F ( t ⁿ ;x )

^k

c ( t ⁿ )(1 +

^k

x

^k

) ;

avec

c ( t ⁿ )

d´efini par :

c ( t ⁿ ) = 1 " ^max( G

c

¹

; 1)(

^k

b

⁰

_T ^;n

^+k

+

^k

S ⁿ

^kk

^k1

) :

Les propositions pr´ec´edentes nous assurent que^k

S ⁿ

^kest born´ee ind´ependamment de

n

^quel

que soit le sch´ema choisi pour le contact unilat´eral. De plus pour

n < 2 N z

^{on ak}

b

⁰

_T ^;n

^+k

B

⁰

_{T max}

et donc

c ( t ⁿ )

est born´e ind´ependamment de

n

^et

t

^pour

t < 2 H

c

²

d min

. On note :

c max = max

0

i<

²

N

z

c ( t ⁱ ) :

Alors de (3.73) on d´eduit que :

k

u

⁰_T;t

^;n

^+1kk

u

⁰_T;t

^;n

^k

+ tc max (1 +

^k

u

⁰_T;t

^;n

^+1k

) :

On se place pour

t < ₂ c max ¹

^{et donc :}

k

u

⁰_T;t

^;n

^+1k

₁ ¹

,

tc max (

^k

u

⁰_T;t

^;n

^k

+ c max t ) ;

(1 + 2 c max t )(

^k

u

⁰_T;t

^;n

^k

+ c max t ) :

d’o `u par r´ecurrence :

k

u

⁰_T;t

^;n

^k

(1 + 2 c max t ) ⁿ

^k

u

⁰_T;t^k

+ tc max

^X

n

i

⁼¹

(1 + 2 c max t ) ⁱ ;

Comme

(1 + 2 c max T

N ^{) N}

e

²

^Tc

^{max on a :}

k

u

⁰_T;t

^;n

^k

e

⁴

H

c

²

^d

^min

^c

^max

₍

^k

u

⁰_T;t^k

+ 2 c max H c

²

d min ) :

On note

C

¹⁰

= e

⁴

H

c

²

^d

^min

^c

^max

₍

^k

u

⁰_T;t^k

+ 2 H

c

²

c max d min )

, et on en d´eduit imm´ediatement :

k

b

⁰

_T ^;n

^{,+1k k}

b

⁰

_T ^;n

^++1k

+ 2

^k

u

⁰_T;t

^;n

^k

;

B _{T max}

⁰

+ 2 C

¹⁰

:

On peut donc poursuivre par :

k

u

⁰_T;t

^;n

^+1,

u

⁰_T;t

^;n

^k

t

^k

F ( t ⁿ + 1 ;u

⁰_T;t

^;n

⁺¹

)

^k

;

tc max (1 +

^k

u

⁰_T;t

^;n

^+1k

) ;

tc max (1 + C

¹⁰

) :

d’ o `u :

k

b

¹

_T ^;n

^,+1,

b

⁰

_T ^;n

^{,+1k k}

b

¹

_T ^;n

^,

+ d

¹

( b

⁰

_T ^;n

^,,

b

¹

_T ^;n

^,

)

^,

b

⁰

_T ^;n

^,+1k

;

(1

^,

d

¹

)

^k

b

⁰

_T ^;n

^,,

b

¹

_T ^;n

^,k

+ 2

^k

u

⁰_T;t

^;n

^+1,

u

⁰_T;t

^;n

^k

+

^k

b

⁰

_T ^;n

^++1,

b

⁰

_T ^;n

^+k

;

(1

^,

d

¹

) dB _nTmax + d

¹

dB

⁰

_{T max} + 2 tc max (1 + C

¹⁰

) :

Comme dans la proposition 18, on en conclut par un raisonnement par r´ecurrence que :

dB _nTmax

2 dB _{T max}

⁰

+ 2 t

d

¹

c max (1 + C

¹⁰

) :

Et comme dans les propositions pr´ec´edentes c’est suffisant pour conclure qu’on a le mˆeme type de majoration pour

0

n

N t

^.

Proposition 22 S’il existe

d min > 0

^{tel que}

d min

d

²

1

alors le sch´ema (SCI) (SCVIII) combin´e `a l’un des sch´ema (SCII) (SCIII) (SCIV) ou (SCV) assure les propri´et´es suivantes : il existe des constantes

C

¹

;C

²

;C

^3et

C

⁴qui ne d´ependent que des conditions initiales telles que :

B _nTmax

C

¹

;

k

u

_T⁰

^;n

^k

C

²

;

dB _nTmax

C

³

dB _{T max}

⁰

+ tC

⁴

:

Preuve :La seule diff´erence avec la preuve de la proposition pr´ec´edente est que l’on part de :

u

⁰_T;t

^;n

⁺¹²

u

⁰_T;t

^;n + t

2 ( F ( t ⁿ ;u

⁰_T;t

^;n ) + F ( t ⁿ

⁺¹

;u

⁰_T;t

^;n

⁺¹

)) ;

ce qui donne l’estimation :

k

u

⁰_T;t

^;n

^+1kk

u

⁰_T;t

^;n

^k

+ t

2 c max (2 +

^k

u

⁰_T;t

^;n

^+1k

+

^k

u

⁰_T;t

^;n

^k

) :

La preuve se poursuit de mani`ere similaire.

Et en conclusion tout les sch´emas pr´esent´es sont stables au sens o `u la solution discr`ete est born´ee dans

L

¹

(]0 ;H [

]0 ;T [)

ind´ependamment de

t

, sous la condition raisonnable qu’il existe

d min > 0

^{tel que}

d min

d

²

1

^.

3.5.4 ´Etude de la consistance des sch´emas

Pour ´etudier la consistance, on va supposer que le rapport

t

z

est constant, c’est `a dire que

N z

est proportionnel `a

N t

^:

N z = 1 N ^t ;

o `u

est ind´ependant de

N t

, bien s ˆur en respectant la condition C.F.L. :

c

²

T H ;

On note

u _;t ^i;n;N

^t

;u ^i;n;N ;z

^t la solution discr`ete donn´ee par l’un des sch´emas num´eriques propos´es et

u ^N _;t

^t

( t;z ) ;u ^N _;z

^t

( t;z )

les interpol´ees lin´eaires de ces solutions discr`etes :

u ^N _;t

^t

( n t + t;i z + z ) = (1

^,

t )((1

^,

z ) u ^i;n;N _;t

^t

+ zu ⁱ

⁺¹

^;n;N

^t

) + t ((1

^,

z ) u ^i;n _;t

⁺¹

^;N

^t

+ zu ⁱ

⁺¹

^;n

⁺¹

^;N

^t

) ;

pour

0

t

t

^et

0

z

z

. Une d´efinition analogue ´etant prise pour

u _;z ^N

^t

( t;z )

^{. On va}

montrer le r´esultat suivant :

Lemme 8 Si la suite

( u ^N _;t

^t

;u ^N _;z

^t

) N

t est une suite qui converge uniform´ement vers un couple de fonc-tions

( u _;t ;u _;z )

et si de plus les fonctions

u _;t

^et

u _;z

sont continues sur

[0 ;T ]

[0 ;H ]

alors ces fonctions v´erifient sur

[0 ;T ]

[0 ;H ]

les relations (3.2)-(3.7) sur les droites caract´eristiques.

Preuve :On va donner la preuve sur une seule relation et sur une seule composante, la compo-sante verticale, la preuve ´etant identique sur chaque compocompo-sante. on pose toujours :

b z

⁺

( t;z ) = u z;t ( t;z ) + c

²

u z;z ( t;z ) ; b ^N _z

^+t

( t;z ) = u ^N _z;t

^t

( t;z ) + c

²

u ^N _z;z

^t

( t;z ) ;

b ^i;n;N _z

^{+ t}

= u ^i;n;N _z;t

^t

+ c

²

u ^i;n;N _z;z

^t

;

On travaille `a

z

⁰

;t

⁰

;

⁰fix´es tels que :

^{0 2}

[0 ; max( T; Hc

²

^)] ;z

^{0 2}

[0 ;H

^,

⁰

H

T ^] ; t

^{0 2}

[0 ;T

^,

⁰

] ;

On pose :

n ^N

^1t

=

N t t

⁰

T

; i ^N

^2t

=

N t z

⁰

H

; n ^N

^2t

=

N t ( t

⁰

+

⁰

) T

; ^N _n

^t

= n ^N

^2t,

n ^N

^1t

;

o `u^b

x

^cd´esigne la partie enti`ere de

x

. On a bien s ˆur

n ^N

^1t

t

qui converge vers

t

^0lorsque

N t

^tend vers l’infini, et

( n ^N

^2t

t;i ^N

^2t

z )

qui converge vers

( t

⁰

+

⁰

;z

⁰

)

, et par cons´equent :

b ⁱ _z

^Nt2+

^;n

^Nt2

^;N

^t

^N

^,,t!+1,,!

b z

⁺

( t

⁰

+

⁰

;z

⁰

) ;

D’apr`es le sch´ema de Lax-Wendroff, on a :

De l’approximation par les polyn ˆomes de Bernstein on sait que pour toute fonction continue

f : [0 ; 1]

^,!R, la fonction

f ^N =

^P

^N _i

⁼⁰

B _Ni f ( i

N ⁾

converge uniform´ement vers

f

^quand

N

^tend

vers

+

¹. La fonction

b ^N _z

^+t ´etant continue, l’expression :

converge vers la valeur :

b z

⁺

( t

⁰

;z

⁰

+ d

²

(

⁰

H

T ^{)) =} b z

⁺

( t

⁰

;z

⁰

+

⁰

c

²

) ;

quand

^N _n

^{t tend vers}

+

^1.

On va maintenant utiliser la convergence uniforme, on a :

8

";

⁹

N " > 0;

⁸

N t > N " ;

⁸

( t;z )

²

[0 ;T ]

[0 ;H ] ;

^j

b ^N _z

^+t

( t;z )

^,

b z

⁺

( t;z )

^j

< ":

En utilisant l’uniforme continuit´e sur

[0 ;T ]

[0 ;H ]

^de

b z

⁺on a aussi :

8

";

⁹

" ;

⁸

( t

¹

;x

¹

) ;

⁸

( t

²

;x

²

) ;d (( t

¹

;x

¹

) ; ( t

²

;x

²

)) < "

^)j

b z

⁺

( t

¹

;z

¹

)

^,

b z

⁺

( t

²

;z

²

)

^j

< ":

D’autre part comme :

converge vers z´ero lorsque

N t

^{tend vers}

+

^1.

On vient de montrer que la relation :

b z

⁺

( t

⁰

+

⁰

;z

⁰

) = b z

⁺

( t

⁰

;z

⁰

+ c

²

⁰

) ;

^(3.74)

est v´erifi´ee pour tout

^{0 2}

[0 ; max( T; Hc

²

^)]

, et pour tout couple

( t

⁰

;z

⁰

)

v´erifiant :

z

⁰²

[0 ;H

^,

⁰

H

T ^] ; t

^{0 2}

[0 ;T

^,

⁰

] :

C’est a priori insuffisant car on veut prouver cette relation pour tout couple

( t

⁰

;z

⁰

)

v´erifiant :

z

^{0 2}

[0 ;H

^,

c

²

⁰

] ; t

^{0 2}

[0 ;T

^,

⁰

] :

Mais on peut scinder l’´egalit´e (3.74) en deux parties :

b z

⁺

( t

⁰

+

⁰

Qui sont des relations que l’on a montr´ees pour :

z

⁰²

[0 ;H

^,

c

²

⁰

2

^,

₂

⁰

H

T ^] :

En poursuivant ce raisonnement on arrive `a montrer que la relation (3.74) est v´erifi´ee pour :

z

^{0 2}

[0 ;H

^,

c

²

⁰

2 [ :

Et comme la fonction

b z

⁺est continue, par passage `a la limite, elle est encore vraie pour :

z

^{0 2}

[0 ;H

^,

c

²

⁰

2 ] :

Ce r´esultat va nous permettre d’´etudier la convergence de certains sch´emas. Le lemme 6 prend comme hypoth`ese que la solution limite

u _;t ( t;x )

^et

u _;z ( t;x )

est continue sur

[0 ;T ]

[0 ;H ]

^.

On ne peut donc appliquer ce r´esultat que pour les probl`emes r´egularis´es, c’est `a dire pour une condition de contact r´egularis´ee et pour une condition de frottement perturb´ee.

Pour simplifier, on ne va donner de r´esultats que pour les sch´emas construits `a partir du sch´ema d’Euler implicite, bien qu’ils s’´etendent facilement aux sch´emas construits `a partir du sch´ema d’Adams-Moulton.

Proposition 23 Si les hypoth`eses suivantes sont satisfaites : – la condition initiale

u

⁰est d´erivable `a d´eriv´ee lipschitzienne, – la condition initiale

u

¹est lipschitzienne,

– le rapport

= N t

N z

est constant et respecte la condition :

c

²

T H ;

alors le sch´ema (SCI)(SCIV)(SCVII) est convergent.

Preuve :

Soit toujours

u ^N _;t

^t

( t;z ) ;u ^N _;z

^t

( t;z )

les interpol´ees lin´eaires de la solution discr`ete calcul´ee par le sch´ema (SCI)(SCIV)(SCVII). D’apr`es les proposition 18 et 21 ces fonctions sont born´ees dans

( L

¹

([0 ;T ]

[0 ;H ]))

³ind´ependamment de

N t

et de plus il existe des constantes

C

^3et

C

^{4qui ne}

d´ependent que des conditions initiales telles que :

max

0

i

N

z^,1

(

^k

u ⁱ _;t

⁺¹

^;n;N

^{t ,}

u ^i;n;N _;t

^tk

;

^kC

u ⁱ _;z

⁺¹

^;n;N

^t,C

u ^i;n;N _;z

^tk

)

< C

³

max

0

i

N

z^,1

(

^k

u

¹

(( i + 1) t )

^,

u

¹

( i t )

^k

;

^kC

@ z u

⁰

(( i + 1) t )

^,C

@ z u

⁰

( i t )

^k

) + C

⁴

t:

Comme on a suppos´e que

u

⁰est d´erivable `a d´eriv´ee lipschitzienne et que

u

¹est lipschitzienne, on en conclut que

u _;t ^N

^tet

u ^N _;z

^t sont born´ees dans

( W

¹

^;

¹

(]0 ;T [

]0 ;H [))

³ind´ependemment de

N t

^.

D’apr`es le th´eor`eme de Rellich-Kondrachov (voir [1] par exemple) l’espace

W

¹

^;

¹

(]0 ;T [

]0 ;H [)

est inclus de mani`ere compacte dans l’espace ^C

([0 ;T ]

[0 ;H ])

des fonctions continues sur

[0 ;T ]

[0 ;H ]

. Donc de la suite

( u _;t ^N

^t

;u ^N _;z

^t

) N

t on peut extraire une sous-suite

( u ^N _;t

^t

;u ^N _;z

^t

) N

_t^{0 qui} converge uniform´ement vers un couple de fonctions continues

( u _;t ;u _;z )

^.

Par application du lemme 8, on sait que

u _;t ( t;z )

^et

u _;z ( t;z )

satisfont aux relations (3.2)-(3.7) sur les droites caract´eristiques. En particulier pour

t < Hc

^{2, on a :}

b x

⁺

( t; 0) = u x

¹

( c

¹

t ) + c

¹

@ z u x

⁰

( c

¹

t ) ; b y

⁺

( t; 0) = u y

¹

( c

¹

t ) + c

¹

@ z u y

⁰

( c

¹

t ) ; b z

⁺

( t; 0) = u z

¹

( c

²

t ) + c

²

@ z u z

⁰

( c

²

t ) :

et du fait de la convergence uniforme, les fonctions

b ^N _x

^+t0

( :; 0) ;b ^N _y

^+t0

( :; 0)

^et

b ^N _z

^+t0

( :; 0)

^convergent

uniform´ement vers les valeurs respectives

u x

¹

( c

¹

t ) + c

¹

@ z u x

⁰

( c

¹

t )

^,

u y

¹

( c

¹

t ) + c

¹

@ z u y

⁰

( c

¹

t )

^et

u z

¹

( c

²

t ) + c

²

@ z u z

⁰

( c

²

t )

^.

L’expression du sch´ema d’Euler implicite est :

u

⁰

z ^;n

⁺¹

^;N

^t0

= ( u

⁰

z ^;n;N

^t0

+ tb

⁰

_z

⁺

^;n

⁺¹

^;N

^t0

)

⁺

+ 1 1 + t

~ ⁽

u

⁰

z ^;n;N

^t0

+ tb

⁰

_z

⁺

^;n

⁺¹

^;N

^t0

)

^,

; S ⁿ

⁺¹

^;N

^t0

=

^,

+ 2 G

c

²

⁽ b

⁰

_z ^;n

⁺⁺¹

^;N

^t0,

u

⁰

_z;t ^;n

⁺¹

^;N

^t0

) ; u

⁰_T;t

^;n

⁺¹

^;N

^{t0 2}

u

⁰_T;t

^;n;N

^t0

+ t

" ⁽ G

c

¹

⁽ b

⁰_T

^;n

⁺⁺¹

^;N

^t0,

u

⁰_T;t

^;n

⁺¹

^;N

^t0

)

,

S ⁿ

⁺¹

^;N

^t0

(

^k

u

⁰_T;t

^;n

⁺¹

^;N

^t0,

V _e ( t ⁿ

⁺¹

)

^k

) Dir ( u

⁰_T;t

^;n

⁺¹

^;N

^t0,

V _e ( t ⁿ

⁺¹

))) ;

qui peut se r´ecrire comme suit :

u

⁰

z ^;n

⁺¹

^;N

^t0

= ( u

⁰

z ^;n;N

^t0

+ tb z

⁺

( t ⁿ

⁺¹

; 0))

⁺

+ 1 1 + t

~

( u

⁰

z ^;n;N

^t0

+ tb z

⁺

( t ⁿ

⁺¹

; 0))

^,

+ ⁿ z

⁺¹

^;N

^t0

; S ⁿ

⁺¹

^;N

^t0

=

^,

+ 2 G

c

²

⁽ b z

⁺

( t ⁿ

⁺¹

; 0)

^,

u

⁰

_z;t ^;n

⁺¹

^;N

^t0

) ; u

⁰_T;t

^;n

⁺¹

^;N

^{t0 2}

u

⁰_T;t

^;n;N

^t0

+ t

" ⁽ G

c

¹

⁽ b

_T⁺

( t ⁿ

⁺¹

; 0)

^,

u

⁰_T;t

^;n

⁺¹

^;N

^t0

)

,

S ⁿ

⁺¹

^;N

^t0

(

^k

u

⁰_T;t

^;n

⁺¹

^;N

^t0,

V _e ( t ⁿ

⁺¹

)

^k

) Dir ( u

⁰_T;t

^;n

⁺¹

^;N

^t0,

V _e ( t ⁿ

⁺¹

))) + ⁿ

_T⁺¹

^;N

^t0

;

Ce sch´ema est un sch´ema d’Euler implicite pour le probl`emes de Cauchy correspondant `a l’´equation diff´erentielle (3.14) et au probl`eme de Cauchy (3.23). D’apr`es le th´eor`eme 5 ce sch´ema est convergent si les valeurs de

ⁿ z

⁺¹

^;N

^{t0, et}

ⁿ

T⁺¹

^;N

^t0 v´erifient :

N lim

t^!1

max

1

j

N (

^k

^n;N _T

^t0k

;

^j

^n;N z

^t0j

)

= 0 ;

ce qui est le cas car on peut donner les estimations suivantes :

j

^n;N z

^t0j

( 1 1 + t

~ ⁾

j

b z

⁺

( t ⁿ

⁺¹

; 0)

^,

b

⁰

_z ^;n

⁺⁺¹

^;N

^t0j

;

2 t

^j

b z

⁺

( t ⁿ

⁺¹

; 0)

^,

b

⁰

_z ^;n

⁺⁺¹

^;N

^t0j

;

k

^n;N _T

^t0k

t

" ⁽ G

c

¹

⁺ + 2 G

c

^{2 k}

^k1

)

^k

b T

⁺

( t ⁿ

⁺¹

; 0)

^,

b

⁰

_T ^;n

⁺⁺¹

^;N

^t0k

;

et on sait que les fonctions

b ^N _T

^t+0

( :; 0)

^et

b ^N _T

^+t0

( :; 0)

convergent uniform´ement respectivement vers

b T

⁺

( :; 0)

^et

b z

⁺

( :; 0)

^.

On peut donc en conclure que pour

t

²

[0 ;Hc

²

^]

la fonction

u ( t; 0) z;t

est la d´eriv´ee par rapport au temps de l’unique solution du probl`eme de Cauchy associ´e `a l’´equation diff´erentielle (3.14) et la fonction

u ( t; 0) T;t

est l’unique solution de (3.23). Le lemme (8) assure par ailleurs que les fonctions

u _;t ( t;z )

^et

u _;z ( t;z )

satisfont aux relations (3.2)-(3.7) sur les droites caract´eristiques. Par unicit´e de cette solution, on en conclut que toutes les sous-suites uniform´ement convergentes de la suite

( u _;t ^N

^t

;u ^N _;z

^t

) N

t converge vers

( u _;t

^,

u _;z )

, ce qui est suffisant pour dire que toute la suite

( u ^N _;t

^t

;u ^N _;z

^t

) N

t converge uniform´ement vers

( u _;t

^,

u _;z )

^.