Impl´ementations de sch´emas

Dans la suite

F

sera suppos´ee semi-lipschitzienne de constante

k

, ce qui assure l’unicit´e de la solution du probl`eme de Cauchy (2.6).

Sch´ema d’Euler explicite

On consid`ere le sch´ema suivant :

8

<

:

y

⁰

^N = y

⁰

;

y _Ni

^{+1 2}

y _Ni + hF ( t _Ni ;y _Ni ) :

^(2.11)

Ce sch´ema entre dans le cadre du th´eor`eme (5) et est donc convergent. En fait on peut montrer qu’il est convergent d’ordre 1 pour

F

semi-lipschitzienne, alors que certains autres sch´emas `a pas multiples ne le sont pas (voir [49]).

L’impl´ementation de ce sch´ema ne pose pas de probl`eme d`es lors que

F

est donn´ee, il suffit de choisir

y _Ni

^{+1 2}

y _Ni + hF ( t _Ni ;y _Ni )

`a chaque pas de temps. Quand

F ( t _Ni ;y _Ni )

est un point de multivaluation, il se pose le probl`eme du choix, bien que la convergence d’ordre 1 soit assur´ee pour tout choix de

y _Ni

⁺¹. Pour une application

F

semi-lipschitzienne les points de multivalua-tion sont n´ecessairement r´eduits (voir paragraphe 2.2) et la chance de tomber sur un point de multivaluation lors de l’int´egration num´erique est n´egligeable en g´en´eral.

On donne un exemple d’int´egration par le sch´ema d’Euler explicite sur la figure 2.3. Le probl`eme que l’on int`egre est celui du syst`eme de frottement `a une seule masselotte qui sera

´etudi´e plus en d´etail au paragraphe suivant. Les graphiques repr´esentent la trajectoire dans le portrait de phase

( u; u _ )

. La discontinuit´e apparaˆıt pour

u _ = V e

^{, avec}

V e = 0 : 05

^.

-0.1

F^IG. 2.3 – Exemple d’int´egration par le Sch´ema d’Euler explicite.

Sch´ema de Runge-Kutta d’ordre 4

On peut appliquer le sch´ema de Runge-Kutta d’ordre 4 classique aux inclusions diff´eren-tielles, et il s’´ecrit de la mani`ere suivante :

8

Ce sch´ema n’entre pas dans le cadre du th´eor`eme (5), mais on peut voir un ´etude des sch´e-mas de Runge-Kutta appliqu´es aux inclusions diff´erentielles dans [49]. La figure 2.4 repr´esente l’int´egration num´erique de l’exemple pr´ec´edent. On peut comparer par rapport aux r´esultats de la figure 2.3 obtenus par le sch´ema d’Euler explicite. L’am´elioration n’est pas sensible en ce qui concerne le voisinage de la discontinuit´e.

-0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06

0.64 0.66 0.68 0.7 0.72 0.74 0.76 0.78 0.8 0.82 0.84 -0.1

-0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06

0.64 0.66 0.68 0.7 0.72 0.74 0.76 0.78 0.8 0.82 0.84 0.86

pour

h = 0 : 5

^pour

h = 0 : 01

F^IG. 2.4 – Exemple d’int´egration par le Sch´ema de Runge-Kutta d’ordre 4 Sch´ema d’Euler Implicite

Le sch´ema d’Euler implicite s’´ecrit:

8

<

:

y

⁰

^N = y

⁰

;

y _Ni

^{+1 2}

y _Ni + hF ( t _Ni

⁺¹

;y _Ni

⁺¹

) :

^(2.13)

Ce sch´ema entre dans le cadre du th´eor`eme (5) et de plus, sous condition de semi-lipschitziannit´e de

F

, il a ´et´e montr´e que ce sch´ema est convergent d’ordre 1 (voir [49]). A chaque it´eration on a `a r´esoudre l’inclusion suivante:

y _Ni

²

y _Ni

^+1,

hF ( t _Ni

⁺¹

;y _Ni

⁺¹

) ;

^(2.14)

c’est `a dire un syst`eme de dimension finie d’inclusions non lin´eaires. C’est une difficult´e suppl´ementaire, compens´ee par le fait que le sch´ema se comporte mieux au passage des singu-larit´e que la version explicite (On peut voir les r´esultats num´eriques sur la figure 2.5).

On donne maintenant une id´ee de la m´ethode que l’on a utilis´ee pour r´esoudre num´erique-ment le syst`eme d’inclusions non lin´eaires.

Si

F

´etait diff´erentiable, une possibilit´e serait de faire un sch´ema de type pr´ediction - cor-rection, avec un pr´ediction par le sch´ema d’Euler explicite :

y _Ni

⁺¹

_;

^{0 2}

y _Ni + hF ( t _Ni ;y _Ni ) ;

et une correction par une m´ethode de Newton.

De mani`ere ´evidente la m´ethode de Newton se comporte mal aux abords des portions mul-tivoques. Cette m´ethode n’est pas utilisable ici.

-0.06

F^IG. 2.5 – Exemple d’int´egration par le Sch´ema d’Euler implicite

La m´ethode que nous avons d´evelopp´ee est la suivante : on remarque tout d’abord que si

k

est la constante de semi-lipschitziannit´e de

F

^{alors :}

( k + " ) I

^,

F;

est strictement monotone pour

" > 0

. Donc le second membre de (2.14) est strictement mono-tone pour

0 < h < ¹ k

. Nous imposons donc `a

h

d’ˆetre plus petit que

1

k

afin d’avoir `a r´esoudre un syst`eme strictement monotone d’´equations. En posant :

G ( y ) = y

^,

hF ( t _Ni

⁺¹

;y )

^,

y _Ni ;

on est amen´e `a trouver

y _Ni

^+12R

ⁿ

^{tel que :}

0

²

G ( y _Ni

⁺¹

) :

L’algorithme propos´e est le suivant : ´etant donn´e

y _Ni

⁺¹

_;

⁰ donn´e par une pr´ediction du sch´ema explicite, on calcule

y _Ni

⁺¹

_;j

⁺¹en fonction de

y _Ni

⁺¹

_;j

en choisissant la direction :

j

²

G ( y _Ni

⁺¹

_;j ) ;

de norme minimale, et en calculant

j < 0

^{tel que :}

0

²

( G ( y _Ni

⁺¹

_;j + j j ) ; j )

^Rn

:

^(2.15)

On pose alors

y _Ni

⁺¹

_;j

⁺¹

= y _Ni

⁺¹

_;j + j j ;

Ce qui revient `a r´esoudre une suite d’inclusions unidimensionnelles monotones. Pour la r´eso-lution de l’inclusions unidimensionnelle on pourra utiliser des algorithmes de type m´ethode de la tangente, regula-falsi ou dichotomie.

Dans le cas ou

G

est le sous-diff´erentiel d’une fonction convexe

J

, cet algorithme n’est rien d’autre qu’un algorithme de type gradient conjugu´e pour la minimisation de

J

^.

Sch´ema du point milieu implicite

-0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06

0.66 0.68 0.7 0.72 0.74 0.76 0.78 0.8 0.82 0.84 0.86

-0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06

0.64 0.66 0.68 0.7 0.72 0.74 0.76 0.78 0.8 0.82 0.84 0.86

pour

h = 0 : 3

^pour

h = 0 : 1

-0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06

0.64 0.66 0.68 0.7 0.72 0.74 0.76 0.78 0.8 0.82 0.84 0.86

pour

h = 0 : 01

F^IG. 2.6 – Exemple d’int´egration par le Sch´ema du point milieu implicite.

Le sch´ema du point milieu implicite est un sch´ema de type Runge-Kutta, qui est d’ordre deux pour les ´equations diff´erentielles ordinaires suffisamment r´eguli`eres. Il s’´ecrit :

8

On constate sur la figure 2.6 que ce sch´ema se comporte mieux au voisinage de la singularit´e que le sch´ema de Runge-Kutta d’ordre 4. Malgr´e tout il persiste un comportement oscillant.

Ce sch´ema a fait l’objet de beaucoup d’´etudes (voir [49]), il est d’ordre un sur les inclusions diff´erentielles `a second membre semi-lipschitzien.

Sch´ema d’Adams-Moulton `a deux points

C’est un sch´ema implicite (qui entre dans le cadre du th´eor`eme 5) d’ordre deux pour les

´equations diff´erentielles ordinaires suffisamment r´eguli`eres, qui s’´ecrit :

8

Ce sch´ema a un tr`es bon comportement sur les portions multivoques (voir figure 2.7), et reste

-0.08

F^IG. 2.7 – Exemple d’int´egration par le Sch´ema d’Adams-Moulton `a deux points d’ordre deux sur les portions r´eguli`eres.

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