Autres mod`eles

Divers autres mod`eles ont ´et´e propos´es afin de mod´eliser le contact de surfaces rugueuses.

Les principes de base sont similaires `a ceux des deux mod`eles que l’on vient de voir, c’est `a dire une surface repr´esent´ee par une distribution al´eatoire d’asp´erit´es.

Il n’est pas l’objet de les d´etailler tous ici, on va toutefois en citer rapidement deux.

Le premier mod`ele est celui de M. Burdekin, A. Cowley et N. Back [10]. Il a la sp´ecificit´e de se pr´eoccuper du chargement et du d´echargement tangentiel. La surface y est repr´esent´ee par une distribution d’asp´erit´es prismatiques. Sous l’effet du chargement tangentiel, les asp´e-rit´es r´eagissent ´elastiquement dans un premier temps, avant d’effectuer un glissement pour un chargement plus grand. Chaque asp´erit´e est en fait repr´esent´ee par une petite barre ´elastique sujette `a la loi de frottement de Coulomb sur une surface rigide plane.

Le deuxi`eme mod`ele est celui de V. Aronov, S. Nair et J.M. Wang [3]. Il est une am´elioration de celui de W.R. Chang, I. Etsion et D.B. Bogy. Au lieu d’utiliser les r´esultats de Hertz pour la d´eformation des asp´erit´es, il est utilis´e des r´esultats de simulation num´erique de contact entre des surfaces de courbures diff´erentes, de mˆeme signe ou de signe oppos´e. Les r´esultats de ce mod`ele diff`erent essentiellement dans le domaine plastique. Leur conclusion est que les mod`eles pr´ec´edent surestimaient le contact plastique.

Conclusion

Les travaux exp´erimentaux portant sur l’´etude des surfaces et leur contact, dont en particu-lier D. Tabor a pr´esent´e une synth`ese ont permis d’importants progr`es dans la compr´ehension des ph´enom`enes physiques qui entrent en jeux lors du frottement. Il est tentant de vouloir faire le lien entre ce que l’on connaˆıt du comportement microscopique des surfaces et les lois de frottement sec usuelles. Toutefois ce lien semble difficile `a ´etablir. Les mod`eles qui sont mis en œuvre ne prennent en compte qu’un petit nombre de param`etres. Pour la grande majorit´e d’entre eux, ils donnent des estimations pour le contact statique sans contraintes tangentielles.

Analyse du comportement stick-slip sur un probl`eme mod`ele

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Mod´elisation des instabilit´es li´ees au frottement sec

Introduction

Les instabilit´es, ou vibrations induites par le frottement sec dans les structures ´elastiques ont fait l’objet de nombreux travaux, dont certains ont ´et´e introduits en premi`ere partie. Un grand nombre d’entre eux concernent l’´etude de loi de Coulomb modifi´ees et leur influence sur les syst`emes dynamiques `a nombre fini de degr´es de libert´es. Une mani`ere simple de rendre compte de ces instabilit´es est d’introduire un coefficient de frottement qui d´epend de la vitesse de glissement et qui admet d’importantes portions d´ecroissantes. Le travail qui est pr´esent´e dans cette deuxi`eme partie est centr´e sur l’´etude du comportement d’un probl`eme mod`ele de frottement sec que l’on introduit dans ce chapitre et qui sera ´etudi´e sous diff´erentes formes dans les chapitres suivants. L’objectif est de saisir l’influence de la d´ependance du coefficient de frottement sur le comportement du mod`ele et d’aborder certaines des difficult´es math´ema-tiques qui sont li´ees `a ce probl`eme. Au chapitre 2, on pr´esente un analogue discret du probl`eme mod`ele, ce qui nous permet d’introduire des outils math´ematiques sur l’analyse des probl`emes diff´erentiels multivoques. Le chapitre 3 est consacr´e `a l’analyse math´ematique et num´erique du probl`eme unidimensionnel qui consiste `a chercher les solutions horizontalement homo-g`ene du probl`eme mod`ele. On pr´esente ensuite au chapitre 4 des simulations sur le probl`eme bidimensionnel r´ealis´ees `a l’aide d’un sch´ema bas´e sur une m´ethode de d´ecomposition suivant les directions altern´ees.

1.1 Caract´erisation des instabilit´es li´ees au frottement sec

Il est de l’exp´erience de la vie courante que le frottement induit des ph´enom`enes vibratoires (grincements de pi`eces m´etalliques, archet sur une corde de violon mais aussi glissement de faille dans les tremblements de terre).

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Les premi`eres approches exp´erimentales de ce ph´enom`enes ont ´et´e r´ealis´ees sur l’´etude du mouvement de petits solides sur lesquels on a fait des mesures globales. De la mˆeme mani`ere, la mod´elisation des instabilit´es li´ees au frottement sec a ´et´e largement abord´ee sur des syst`emes discrets tels que les syst`emes masselottes-ressorts. Ces syst`emes ont souvent servi et servent encore de “banc d’essai” `a la mise au point de loi de frottement capables de rendre compte de ces instabilit´es (voir par exemple [12] pour une ´etude sur une loi `a coefficient variable, [30] pour un syst`eme li´e `a la mod´elisation des failles g´eologiques, [6] pour une loi li´ee `a un op´erateur d’hysteresis, etc. ).

Les ´etudes sur l’aspect dynamique des solides ´elastiques soumis `a la friction s`eche sont moins nombreuses. Des r´esultats exp´erimentaux existent sur le frottement de mat´eriaux de duret´e diff´erentes, par exemple dans [85] pour du polyur´ethane glissant sur de l’epoxy, ou dans [5] pour du verre glissant sur du caoutchouc. Lors du glissement on observe la formation de plis de d´ecollement dans le mat´eriau le plus mou, que l’on a appel´e “onde de Schallamach”

et dont l’allure est donn´ee sur la figure 1.1.

A

B

F^IG. 1.1 – Solide rigide glissant avec frottement sur un mat´eriau ´elastique

D’autres ´etudes exp´erimentales font ´etats d’ondes de contraintes tr`es rapides sur la surface de contact. Peu d’´etudes math´ematiques on ´et´e faites sur ce sujet. Ont peut citer n´eanmoins [73] et [75] sur l’´evolution quasi-statique d’un bloc ´elastique, [14] sur l’´evolution dynamique de failles g´eologiques et [18] sur les ondes d’interfaces dans le glissement relatifs de deux solides

´elastiques.