Pr ´esentation du cas d’ ´etude

𝑧 𝑦 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥

1

2

3

4

5

6

7

8

Vue latérale Vue du dessus Zone de détection

FIGURE5.6 Mod `ele Comsol utilis ´e pour les simulations FEM.

Afin de mener `a bien les simulations pour le cas 2D, le logiciel Matlab est utilis ´e. Il exploite notam- ment les simulations num ´eriques effectu ´ees dans le chapitre pr ´ec ´edent `a l’aide du logiciel Comsol. Un rappel du design utilis ´e pour l’obtention des mod `eles de la variation d’imp ´edance en simula- tion (voir page 92) est donn ´e Figure 5.6. Un bassin microfluidique de 70

µ

m de diam `etre et de 20

µ

m de hauteur dans lequel se trouvent 8 ´electrodes (cercle inscrit aux ´electrodes de 50

µ

m), un milieu liquide de conductivit ´e

σ

= 1 S/m et un objet sph ´erique isolant de 8

µ

m de diam `etre sont dessin ´es. La m ´ethodologie suivie pour effectuer les simulations a ´et ´e pr ´esent ´ee Figure 4.14 (page 91). Comme pr ´esent ´e dans le Chapitre 4, le logiciel Comsol permet de simuler une tension entre les paires d’ ´electrodes souhait ´ees et de r ´ecup ´erer la valeur de l’imp ´edance entre ces deux ´electrodes. Ces simulations ont permis d’obtenir le mod `ele de variation d’imp ´edance en fonction de

R ´ecapitulatif de notations

Notation Param `etre Description

Z

_km Signal de mesure Imp ´edance mesur ´ee pour la paire n◦

m

`a l’it ´eration

k

Z

_km,0 Baseline Imp ´edance du milieu en l’absence de bille pour la paire n◦

m

`a l’it ´eration

k

Z

_km,Re f Imp ´edance de r ´ef ´erence Imp ´edance pour la paire n◦

m

`a l’it ´eration

k

associ ´ee `a la trajectoire de r ´ef ´erence

x

k,

xˆ

k Vecteur d’ ´etat courant Vecteur d’ ´etat `a l’it ´eration

k

(r ´eel et estima-

tion)

p

x_k,

pˆ

x_k,

p

y_k,

pˆ

y_k Position courante selon x et y Position de la bille selon les axes x et y `a l’it ´eration

k

(r ´eelle et estimation)

σ

k,

σˆ

k Conductivit ´e courante Conductivit ´e du milieu `a l’it ´eration

k

(r ´eelle et

estimation)

p

x,Re f_k ,

p

y,Re f_k ,

σ

Re f

Position de r ´ef ´erence selon x et y et conductivit ´e de r ´ef ´erence

Position de la bille selon les axes x et y `a l’it ´eration

k

pour la trajectoire de r ´ef ´erence

v

x,Re f_k ,

v

y,Re f_k Vitesse de r ´ef ´erence selon x

et y Vitesse de la bille selon les axes x et y `a l’it ´eration

k

pour la trajectoire de r ´ef ´erence

v

_kf,

v

x, f_k ,

v

y, f_k Vitesse du fluide vectorielle,

selon x et selon y Vitesse du fluide selon les axes x et y `a l’it ´eration

k

∆t

Intervalle de temps entre

deux mesures P ´eriode d’ ´echantillonnage de l’imp ´edancem `etre

K

x,

K

y

Coefficients de biais selon x

et y Coefficients multipli ´es aux vitesses de r ´ef ´erence pour obtenir le mod `ele d’ ´et ´et biais ´e introduit dans le EKF

S

Z,

S

p,

S

σ

Ecart-type du bruit sur l’imp ´edance, la position et la conductivit ´e

Donn ´ees statistiques concernant le bruit de mesure d’ ´etat servant aux r ´eglages du EKF.

S

x_e,

S

ye,

S

σe

Ecart-type de l’erreur d’esti- mation selon x, y et sur l’es- timation de la conductivit ´e du milieu

Crit `eres de performance de l’estimation.

TABLE5.2 R ´ecapitulatif des notations pour le cas 2D.

la position de l’objet dans la zone de d ´etection (lien figure chap 4). En association avec le mod `ele r ´esistif liant l’imp ´edance du milieu ´electrolytique `a sa conductivit ´e, cela d ´efinit le mod `ele d’observa- tion n ´ecessaire pour les simulations. Il s’agit dumod `ele ´etalon. Le principe global des simulations est le suivant : afin de simuler un cas exp ´erimental, une trajectoire sera g ´en ´er ´ee. Les donn ´ees relatives `a cette trajectoire (dynamique, imp ´edances) seront soumises `a des perturbations fictives et introduites dans le filtre de Kalman. Enfin, la trajectoire g ´en ´er ´ee et la trajectoire estim ´ee par le filtre pourront ˆetre compar ´ees afin de tester les performances de ce dernier. Une illustration du fonctionnement du simulateur est donn ´ee Figure 5.7a.

Trajectoire de référence (spirale) EKF Positions estimées Corrigées Ƹ𝑝𝑥+ et Ƹ𝑝𝑦+ Modèle d’observation Générateur d’entrées du EKF Mesure 𝑍𝑚 bruitées Positions et vitesses de référence Estimation biaisée de la vitesse du fluide 𝑣𝑥,𝑓_{et 𝑣}𝑦,𝑓 (actionnement) Trajectoire estimée Modèle d’observation

(a) Principe global des simulations.

Trajectoire de référence Modèle d’observation Positions de référence 𝑝𝑥_{et 𝑝}𝑦 Impédance de référence + Bruit Gaussien (écart-type 𝑆𝑍) 𝑍𝑚_(p) + 𝐾𝑥 Vitesses de référence 𝑣𝑥,𝑅𝑒𝑓_{et 𝑣}𝑦,𝑅𝑒𝑓 𝐾𝑦

Estimation de la vitesse du fluide (actionnement) 𝑣𝑥,𝑅𝑒𝑓 𝑣𝑦,𝑅𝑒𝑓 𝑣𝑥,𝑓_{= 𝐾} 𝑥. 𝑣𝑥,𝑅𝑒𝑓 Impédance bruitée

Générateur d’entrées du EKF

𝑣𝑦,𝑓_{= 𝐾}

𝑦. 𝑣𝑦,𝑅𝑒𝑓

𝑍𝑚,𝑅𝑒𝑓_(p)

(b) Principe de fonctionnement du g ´en ´erateur de signaux introduits dans le filtre.

FIGURE5.7 Diagramme illustratif de la proc ´edure suivie pour effectuer les simulations. Une trajectoire de

r ´ef ´erence de la bille est g ´en ´er ´ee. Celle-ci est inconnue par l’estimateur. Un g ´en ´erateur de signaux vient ensuite appliquer des perturbations aux mesures et au mod `ele d’ ´etat, qui sont ensuite introduits dans le Filtre de Kalman. Enfin, le filtre retourne une estimation de la trajectoire.

La premi `ere ´etape consiste `a g ´en ´erer la trajectoire qui sera dite trajectoire de r ´ef ´erence, c’est `a dire la trajectoire originale, inconnue du filtre. Cette trajectoire est une simulation de la trajectoire r ´eelle d’un objet. Pour l’ensemble des simulations, cette trajectoire est arbitrairement choisie comme ´etant une spirale (voir Figure 5.8a). On consid `ere que la trajectoire met 20 s pour ˆetre effectu ´ee, la p ´eriode entre 2 points de la spirale est uniforme :

∆

t = 10 ms. De cette trajectoire est extraite

la vitesse de l’objet, nomm ´ee vitesse de r ´ef ´erence :

v

Re f

=v

x,Re f

_v

x,Re f



T

. Les imp ´edances associ ´ees `a la trajectoire de r ´ef ´erence seront nomm ´ees imp ´edances de r ´ef ´erence. La deuxi `eme ´etape, illustr ´ee Figure 5.7b, consiste en le d ´eveloppement d’un g ´en ´erateur d’entr ´ees du filtre de Kalman. L’objectif est de simuler les signaux de mesure et l’estimation du mod `ele dynamique qui seraient obtenus pour un syst `eme exp ´erimental.

On simule une m ´econnaissance concernant les actionneurs, se traduisant par un coefficient multi- pli ´e `a la vitesse du fluide en chaque point de la trajectoire de r ´ef ´erence. L’actionnement ´etant flui- dique uniquement, en supposant les forces inertielles n ´egligeables, la vitesse d’une bille est ´egale

`a celle du fluide en chaque instant. L’erreur concernant la vitesse du fluide peut donc ˆetre exprim ´ee en fonction des vitesses de r ´ef ´erence :

v

_kf,x

= v

x

k

= K

x

.v

x,Re f k et

v

f,y k

= v

y k

= K

y

.v

y,Re f k . Un biais

au niveau du mod `ele d’ ´etat est maintenant simul ´e. Aux imp ´edances de r ´ef ´erence sont ajout ´ees un bruit blanc gaussien de moyenne nulle et d’ ´ecart-type

S

Z. Ces imp ´edances seront d ´enomm ´ees

imp ´edances bruit ´ees. L’ensemble des 28 paires d’ ´electrodes sont int ´egr ´ees au mod `ele d’observa- tion (Equation 5.28).

5.4.2/

Simulation de r ´ef ´erence : cas id ´eal du milieu `a conductivit ´e constante et

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