5.2
Pr´elude `a « Propagation on networks : an exact
alternative perspective »
Pour une dynamique SIR sur un mod`ele de configuration gel´e, la section 3.C.3 pr´e- sente un syst`eme d’´equations diff´erentielles d´eterminant, pour chaque valeur de « degr´e efficace3 » possible, le nombre moyen de nœuds susceptibles, infectieux et retir´es se
trouvant dans le r´eseau. Ce mod`ele a l’avantage de consid´erer la taille finie du syst`eme en plus d’offrir un traitement naturel de l’´evolution continue du temps. Cependant, puisque seules des valeurs moyennes sont consid´er´ees, on n´eglige compl`etement tout ef- fet que pourrait avoir la stochasticit´e du syst`eme et on ne peut pas juger de la variabilit´e des issues possibles.
S’inspirant de cette approche, le chapitre 6 consid`ere un processus stochastique mar- kovien repr´esentant exactement le processus complet `a reproduire. Plutˆot que de suivre le nombre moyen de nœuds pour chaque « degr´e efficace », on s’int´eresse `a la distri- bution de probabilit´e pour ces nombres de nœuds. On profite ensuite de la simplicit´e du processus afin d’obtenir des approximations analytiques valides pour des r´eseaux suffisamment grands. Malgr´e que le cas SI soit explor´e en plus de d´etails, l’approche s’applique `a toute une classe de processus, incluant le cas SIR.
Deux m´ethodes compl´ementaires sont utilis´ees afin d’obtenir des solutions approxi- matives simples `a ce processus stochastique exact. La premi`ere de ces m´ethodes utilise l’approximation de van Kampen afin de transformer le processus de naissance-mort (« birth-death »), pour lequel les ´etats prennent la forme d’un vecteur de nombres en- tiers, sous la forme d’un processus d’Ornstein-Uhlenbeck , pour lequel les ´etats prennent la forme d’un vecteur de nombres r´eels. ´Etant donn´ee une condition initiale d´eterministe, la solution prend la forme d’une distribution gaussienne et reproduit particuli`erement bien la distribution de probabilit´e en cas d’´epid´emies (composantes g´eantes). Il est `a noter qu’il s’agit l`a de l’application d’un outil standard `a un probl`eme particulier : on ne s’attarde donc pas trop aux d´etails de la m´ethode (comme par exemple l’approximation de van Kampen) mais on place plutˆot l’emphase sur les nouvelles contributions.
La seconde m´ethode consiste `a lin´eariser le processus au voisinage de la condition initiale, n´egligeant ainsi les effets dˆus `a la taille finie du syst`eme. La dynamique r´esul- tante peut ˆetre per¸cue comme un processus de branchement et, tel que vu en partie I, l’usage de fonctions g´en´eratrices permet de pr´eserver la nature discr`ete des ´etats. Le formalisme est l´eg`erement am´elior´e : on obtient de nouvelles relations permettant de
76 Chapitre 5. Pr´eparation aux processus de Markov
« s´eparer » la distributions de probabilit´es des ´epid´emies (composante g´eante) de celle des flamb´ees ´epid´emiques (petites composantes) en terme de g´en´erations d’infections. Puisque les effets de taille finie sont n´eglig´es, la distribution obtenue pour les ´epid´emies n’est valide qu’au d´ebut de la propagation. Cependant, celle obtenue pour les flamb´ees ´epid´emiques reproduit bien le processus complet. Combiner ces r´esultats `a ceux obtenus avec l’approximation de van Kampen permet donc une description ad´equate de toutes les ´eventualit´es, en autant que le r´eseau soit suffisamment grand.
5.3
Pr´elude `a « Spreading dynamics on complex net-
works : a general stochastic approach »
Le chapitre 7 reprend le th`eme central de cette th`ese : ´etudier de fa¸con analytique le comportement de syst`emes compos´es de plusieurs ´el´ements dont les interactions sont r´egies par un r´eseau complexe. Tout comme au chapitre 6, on peut percevoir le probl`eme comme la recherche d’un processus de Markov simple reproduisant la dynamique d’un processus de Markov plus complexe. Cependant, on ne s’int´eresse plus `a une sous-classe particuli`ere de processus mais plutˆot `a une m´ethode g´en´erale de mod´elisation applicable `
a ces probl`emes.
L’approche choisie consiste `a repr´esenter de fa¸con partielle la structure du r´eseau et l’´etat intrins`eque de ses composants `a l’aide de petits sous-r´eseaux appel´es motifs. On peut concevoir les motifs comme des « blocs de construction » pouvant ˆetre emboˆıt´es afin de construire des r´eseaux : connaissant le nombre de blocs de construction de chaque type ainsi que les r`egles expliquant comment ils peuvent ˆetre emboˆıt´es, on peut d´efinir un ensemble (micro)canonique compos´e de toutes les dispositions possibles employant tous les blocs. Ainsi, on peut sp´ecifier l’´etat du processus de Markov simplifi´e en ´enum´erant les motifs qu’il contient, puis inf´erer l’´etat du processus de Markov original en supposant qu’il est tir´e de l’ensemble de r´eseaux g´en´er´e par ces motifs.
Pour une application particuli`ere, le succ`es de l’approche repose sur l’identification des motifs `a utiliser dans la d´efinition de l’´etat du syst`eme simplifi´e : on souhaite utiliser le moins de motifs possible tout en repr´esentant suffisamment bien l’´etat du syst`eme complet afin de reproduire ad´equatement son comportement. Lorsqu’on choisit d’inclure un motif dans cette description, c’est typiquement parce qu’il correspond `a une structure surrepr´esent´ee dans le r´eseau (par rapport `a ce que le hasard pourrait expliquer) et/ou parce qu’il a une influence particuli`erement importante sur la dynamique du syst`eme.
5.3. Pr´elude `a « Spreading dynamics on complex networks : a general. . . » 77
Une fois le syst`eme simplifi´e obtenu, le chapitre 7 fait un usage syst´ematique de l’approximation gaussienne d´ecrite au chapitre 6 afin d’obtenir une solution approxi- mative pour la distribution des ´etats du syst`eme. Cependant, il existe de nombreux autres outils permettant d’analyser de tels processus markoviens, sans compter que le mˆeme syst`eme peut aussi ˆetre per¸cu selon la perspective des processus de branchements ou encore de la physique statistique `a l’´equilibre. Ces deux derni`eres possibilit´es sont explor´ees au chapitre 8.
Chapitre 6
Propagation on networks : an exact
alternative perspective
1
P.-A. No¨el, A. Allard, L. H´ebert-Dufresne, V. Marceau and L. J. Dub´e
D´epartement de Physique, de G´enie Physique et d’Optique, Universit´e Laval, Qu´ebec
En g´en´erant les sp´ecificit´es de la structure d’un r´eseau seulement lorsque n´e- cessaire (`a-la-vol´ee), on obtient un processus stochastique simple mod´elisant exactement l’´evolution temporelle d’une dynamique susceptible-infectieux sur des r´eseaux de taille finie. Le petit nombre de variables dynamiques de ce processus de Markov de type naissance-mort simplifie grandement les calculs analytiques. On montre comment une description analytique duale, traitant les ´epid´emies `a grande ´echelle `a l’aide d’une approximation gaus- sienne et les petites flamb´ees ´epid´emiques `a l’aide d’un processus de bran- chement, fournit une approximation pr´ecise de la distribution mˆeme pour des r´eseaux relativement petits. L’approche offre ´egalement d’importants avantages num´eriques et se g´en´eralise `a une vaste classe de syst`emes. By generating the specifics of a network structure only when needed (on- the-fly), we derive a simple stochastic process that exactly models the time evolution of susceptible-infectious dynamics on finite-size networks. The small number of dynamical variables of this birth-death Markov process greatly simplifies analytical calculations. We show how a dual analytical description, treating large scale epidemics with a Gaussian approximation and small outbreaks with a branching process, provides an accurate approx- imation of the distribution even for rather small networks. The approach also offers important computational advantages and generalizes to a vast class of systems.
80 Chapitre 6. Propagation on networks : an exact alternative perspective
6.1
Introduction
Real-world systems are often composed of numerous interacting elements. Complex network models prove to be valuable tools for systems where interactions are neither completely random nor completely regular [9, 11]. Among these systems, an impor- tant subclass concerns the propagation of something through interactions among the constituting elements. Examples include spreading of infectious diseases in popula- tions [7, 18, 46, 54, 79, 106] as well as propagation of information [41, 45, 63], rumours [52, 98, 108], or viral marketing [36, 51] on social networks. We will hereafter call infection whatever is propagating.
Some modelling approaches are known to exactly reproduce the behaviour of propa- gation on networks in specific limiting cases. For example, branching processes [44, 70] may exactly predict the probability distribution for the final state of a system of infi- nite size. Similarly, heterogeneous mean field models [67, 84] may exactly predict the time evolution of relevant mean values for an infinite system that is annealed (i.e., its structure changes at a rate arbitrarily faster than the propagation process). Finally, exact models are also possible for very specific network structures, e.g., a linear chain [90].
In this paper, we present a stochastic process that exactly reproduces a propagation dynamics on quenched (fixed structure) configuration model networks of arbitrary size allowing for repeated links and self-loops (to be defined shortly). Section 6.2 defines the problem at hand and then presents our approach by comparing it to a computer simulation algorithm, which does not require a “network building” phase. However, this perspective is much more than an algorithmic trick saving computer resources: it changes a problem of propagation on a network into a Markov birth-death process, a momentous difference from an analytical point of view. In section 6.3, we assume a large system size and obtain analytical results for both the asymptotic behaviour of the “epidemics,” where an important fraction of the network gets infected, and for the probability distribution of the outbreaks, where a small number of nodes are affected. Our results compare advantageously to numerical simulations and account for finite-size effects. Finally, we show in section 6.4 how this approach generalizes to a vast class of systems and discuss possibilities for future improvements.