Caract´ eristiques des r´ eseaux complexes

Tel que mentionn´e pr´ec´edemment, de nombreuses observations empiriques r´ev`elent que certaines caract´eristiques sont surrepr´esent´ees dans les r´eseaux complexes d´epei- gnant la structure de plusieurs syst`emes r´eels (par rapport `a ce que l’on s’attendrait dans un r´eseau r´egulier ou al´eatoire). Cette section rel`eve quelques unes de ces carac- t´eristiques.

Pour la mˆeme raison que le nombre de coordination8 et la densit´e jouent des rˆoles 8. Nombre de sites voisins les plus proches.

1.2. R´eseaux 13

souvent essentiels dans une grille r´eguli`ere et dans un gaz al´eatoire, respectivement, il est typiquement important de consid´erer le nombre de voisins que poss`edent les nœuds d’un r´eseau `a travers sa distribution en degr´es. Dans un r´eseau complexe r´eel, la queue (k grand) de cette distribution m´erite une attention particuli`ere : la d´ecroissance de la probabilit´e en fonction de k est typiquement plus lente que celle d’un r´eseau al´eatoire. En fait, dans plusieurs cas [8], la distribution suit approximativement une loi de puissance sur un certain intervalle de k. Par cons´equence, le comportement global d’un r´eseau peut ˆetre fortement influenc´e par la faible fraction de nœuds dont le degr´e est largement sup´erieur `a la moyenne (« hubs »). La pr´esence de tels nœuds de haut degr´e est visible dans l’exemple pr´esent´e en figure 1.7. La version canonique du mod`ele de configuration correspond `a une situation o`u seule la distribution en degr´es et le nombre de nœuds sont connus.

Sur une note semblable, il est fr´equent d’observer dans des r´eseaux r´eels une corr´e- lation entre les degr´es des nœuds voisins. Le coefficient de corr´elation de Pearson

r = cov(k, k

0₎

pvar(k) var(k0₎ donc −1 ≤ r ≤ 1

(1.3) entre les degr´es k et k0 de deux nœuds voisins permet de quantifier cette caract´eristique : on observe typiquement r > 0 dans les r´eseaux sociaux et r < 0 dans les r´eseaux technologiques et biologiques [69]. Ainsi, les connaissances d’une personne hautement connect´ee auront en moyenne un plus grand nombre de connaissances que le degr´e moyen du r´eseau. Par opposition, l’un des serveurs rattach´e `a un nœud de haut degr´e de l’Internet risque de n’ˆetre qu’un petit distributeur. Il est `a noter qu’il ne s’agit l`a que d’une tendance g´en´erale ; malgr´e le fait que le r´eseau pr´esent´e en figure 1.7 soit de nature sociale, on y mesure r =_{−0.476 [39].}

On appelle communaut´e un groupe de nœuds partageant entre eux significativement plus de liens que ce que le hasard pourrait expliquer. Les communaut´es peuvent parfois ˆetre des effets r´esiduels de la nature g´eom´etrique du syst`eme : des ´el´ements occupant un mˆeme voisinage spatial peuvent avoir plus de chances d’interagir entre eux qu’avec d’autres ´el´ements plus ´eloign´es. Cependant, si des gens habitant le mˆeme quartier ont plus de chances de se connaˆıtre, il en est de mˆeme pour des coll`egues de travail ou pour des gens partageant un passe-temps commun. Peu importe la cause, on dit d’un r´eseau contenant un nombre significatif de communaut´es qu’il a une structure communautaire. L’issue du conflit discut´e en figure 1.7, c’est-`a-dire quelle faction chacun des membres choisira, peut ˆetre pr´edite en ´etudiant la structure communautaire de ce r´eseau [34].

L’adage « l’ami de mon ami est mon ami » refl`ete le concept d’agr´egation (ou de transitivit´e) : deux nœuds voisins d’un mˆeme nœud ont souvent plus de chances d’ˆetre ´egalement voisins l’un de l’autre que ce que le hasard seul pourrait expliquer. Le coef-

14 Chapitre 1. Introduction : dynamique et r´eseaux

ficient d’agr´egation

C = [nombre de cycles de longueur 3 (triangles) dans le r´eseau]

[nombre de chemins de longueur 2 dans le r´eseau] (1.4) permet de quantifier cette caract´eristique9_{. La valeur de C est limit´ee `a l’intervalle}

[0, 1] ; C = 0 indique l’absence de triangles dans le r´eseau tandis que C = 1 indique que chacune des paires de voisins de chacun des nœuds du r´eseau sont eux mˆeme voisins. On mesure C = 0.256 [39] pour le r´eseau pr´esent´e en figure 1.7. Si la structure com- munautaire peut causer de l’agr´egation, l’agr´egation peut ´egalement avoir une origine ind´ependante. Par exemple, un triangle est form´e lorsque deux amis sont pr´esent´es par un ami commun, contribuant ainsi `a augmenter la valeur du coefficient d’agr´egation.

On dit d’un r´eseau qu’il a une structure hi´erarchique si une certaine « gradation » des nœuds (souvent en terme de leur nature, de leur degr´e ou de leur « position » dans le r´eseau) permet d’expliquer en partie la structure du r´eseau. Ce que l’on entend exactement par ce concept relativement flou doit normalement ˆetre sp´ecifi´e dans les cas d’application. Il est `a noter que la structure communautaire peut elle aussi ˆetre hi´erarchique, par exemple un groupe d’amis dans une classe dans une ´ecole dans une ville. . .

La distance moyenne entre chacune des paires de nœuds d’un r´eseau complexe10 _est

souvent de l’ordre du logarithme du nombre de nœuds dans le r´eseau (ou inf´erieure), soit beaucoup plus faible que celle d’une grille r´eguli`ere. Cependant, la pr´esence de cette caract´eristique seule n’est pas vraiment une signature de la complexit´e puisque les r´eseaux al´eatoires r´epondent habituellement `a ce crit`ere. Ainsi, on parle d’effet small- world lorsque la faible distance moyenne coexiste avec une certaine forme de localit´e, soit par exemple un coefficient d’agr´egation ´elev´e ou la pr´esence de structure commu- nautaire. Le mod`ele de Watts et Strogatz (c.f. section 1.2.3) a ´et´e con¸cu pour illustrer un simple m´ecanisme permettant l’effet small-world : l’ajout d’un petit nombre de liens al´eatoires diminue grandement la distance moyenne entre les nœuds du r´eseau [101].