Avec le recul, l’approche utilis´ee dans cette partie I est un peu maladroite. On d´ebute avec un processus discret mod´elisant la situation pour un r´eseau de taille infinie.
`
A l’aide d’une approximation continue permettant d’obtenir ρs0m0 et ˜Gg(x; s0, m0), on
raccommode le processus original pour lui permettre de tenir compte de la taille finie du syst`eme. Plus tard, on tente de projeter le temps discret vers son homologue continu. Pourquoi alors ne pas travailler en temps continu d`es le d´ebut ?
Quoiqu’elle soit int´eressante d’un point de vue th´eorique, la chim`ere qui en r´esulte est peu pratique du point de vue des applications. Par exemple, il est impossible d’ob- tenir des quantit´es ´equivalentes `a ρs0m0 et ˜Gg(x; s0, m0) pour le cas non stationnaire
puisq’elles devraient alors d´ependre du parcours dans l’espace (s, m) plutˆot que de la position actuelle (s0, m0). Par exemple, si l’on souhaitait consid´erer le sc´enario d’inter- vention « `a la g´en´eration 5, la transmissibilit´e passe de T `a T0 suite `a une campagne de sensibilisation », il faudrait non seulement connaˆıtre l’´etat (s0, m0) pour la g´en´eration actuelle g > 5, mais ´egalement savoir ce qu’´etait cet ´etat `a la g´en´eration 5. Des pro- bl`emes semblables surviennent lorsqu’on tente de consid´erer des structures de r´eseaux plus complexes ou des processus dynamiques diff´erents. Enfin, les ressources informa- tiques demand´ees croissent rapidement avec la taille du r´eseau.
Malgr´e tout, quelques bons points ressortent de l’exercice. Ainsi, tout le chapitre 3 repose sur le fait que l’on repr´esente un nombre incroyablement ´elev´e de degr´es de libert´es `a l’aide de deux quantit´es : une « position » s et une « impulsion » m. Malgr´e le fait que la repr´esentation ne soit que partielle, des am´eliorations notables sont rendues possibles par cette simple proc´edure. Existe-t-il d’autres bases simples permettant une bonne repr´esentation de la situation ?
Une r´eponse partielle est donn´ee en section 3.C.3 : en suivant le nombre de nœuds de degr´e donn´es pour chaque ´etat, on parvient `a repr´esenter la dynamique de fa¸con fort acceptable. En fait, le chapitre 6 est simplement une version stochastique du mod`ele pr´esent´e en 3.C.3. L’id´ee de base derri`ere la partie II est donc la suivante : chercher une base minimale permettant de repr´esenter convenablement l’´etat du syst`eme et consi- d´erer l’´evolution temporelle (en temps continu) de cet ´etat en terme d’un processus stochastique ne d´ependant — en premi`ere approximation — que de cet ´etat.
Deuxi`eme partie
Processus de Markov et
Chapitre 5
Pr´eparation aux processus de
Markov
Ce chapitre introduit la partie II de cette th`ese : on cherche `a repr´esenter de fa¸con partielle l’´etat d’un syst`eme afin de d´efinir un processus stochastique markovien reproduisant approximativement le comportement du syst`eme original. Afin de limiter la redondance, on ne donne que les grandes lignes ; plus de d´etails sont donn´es dans les chapitres suivants.
La section 5.1 d´efinit ce qu’est un processus de Markov puis d´ecrit rapide- ment l’id´ee fondamentale `a la base de la partie II. La section 5.2 introduit le chapitre 6, une application particuli`ere de cette m´ethode, alors que la sec- tion 5.3 introduit le chapitre 7, ayant une perspective beaucoup plus g´en´erale du probl`eme. Une discussion compl´ementaire est donn´ee au chapitre 8.
5.1
Mod´eliser un processus de Markov `a l’aide d’un
processus de Markov plus simple
Un processus de Markov est un processus stochastique qui, sauf pour son ´etat actuel, n’a aucune m´emoire de ses ´etats ant´erieurs. De fa¸con plus formelle, la distribution conditionnelle de probabilit´e des ´etats futurs du syst`eme ´etant donn´e son ´etat actuel ainsi que tous ses ´etats ant´erieurs est identique `a la distribution obtenue lorsque la probabilit´e n’est conditionnelle qu’`a l’´etat actuel du syst`eme. On appelle ce crit`ere propri´et´e de Markov et on dit d’un processus le satisfaisant qu’il est markovien.
74 Chapitre 5. Pr´eparation aux processus de Markov
Mˆeme si deux processus pr´esentent un comportement dynamique identique, il est possible que l’un d’entre eux soit markovien alors que l’autre ne le soit pas, d´ependent de la fa¸con dont leur « ´etat » est d´efini. Afin d’illustrer ce fait, on consid`ere l’exemple d’un outil risquant de d´efaillir `a chaque fois qu’il est utilis´e. Pour un processus dont l’´etat en un temps donn´e ne peut ˆetre que « fonctionnel » ou « d´efaillant », la pro- pri´et´e de Markov n’est pas respect´ee si, suite `a une utilisation, la probabilit´e qu’un outil fonctionnel devienne d´efaillant d´epend de son nombre d’utilisations ant´erieures1.
Cependant, le mˆeme syst`eme peut ˆetre consid´er´e comme markovien lorsque les ´etats permis prennent plutˆot la forme « d´efaillant », « fonctionnel et jamais utilis´e », « fonc- tionnel apr`es 1 utilisation », « fonctionnel apr`es 2 utilisations », etc. De fa¸con similaire, un dispositif ´electronique impliquant une longue ligne de transmission peut ˆetre qualifi´e de non markovien lorsque l’on consid`ere cette ligne de transmission comme introduisant un d´elai dans le signal la traversant, ou encore de markovien lorsque l’on consid`ere plu- tˆot le champ ´electromagn´etique tout au long de la ligne comme faisant partie de l’´etat du syst`eme.
Tel que discut´e en section 1.3.4, on consid`ere une id´ealisation de la r´ealit´e pouvant ˆetre exprim´ee sous la forme d’une simulation informatique et l’on souhaite obtenir des r´esultats analytiques `a son sujet. Cette id´ealisation num´erique peut toujours ˆetre per¸cue comme un processus de Markov : dans le pire des cas, l’´etat du syst`eme correspond au contenu total de la m´emoire de l’ordinateur. L’approche choisie en partie II consiste `a reproduire de fa¸con approximative le comportement de ce processus markovien `a l’aide d’un second processus markovien2 dont l’´etat ne repr´esente que de fa¸con partielle l’´etat
du premier. On peut ensuite utiliser ce second processus afin d’obtenir des r´esultats ana- lytiques int´eressants, `a condition bien entendu que la correspondance entre ces mod`eles soit suffisante et que le second processus soit suffisamment simple.
Il est parfois possible d’obtenir des r´esultats exacts `a partir d’un processus beaucoup plus simple que l’original ; le chapitre 6 s’int´eresse `a une sous-classe de probl`emes pour laquelle on d´emontre que c’est le cas. De fa¸con plus g´en´erale, il est n´ecessaire d’introduire certaines approximations afin d’obtenir un mod`ele suffisamment simple. Dans de tels cas, le chapitre 7 explique comment syst´ematiser la proc´edure et ´etudie certains facteurs influen¸cant la qualit´e des approximations.
1. Le syst`eme serait markovien si la probabilit´e de d´efaillance ´etait ind´ependante du nombre d’uti- lisations ant´erieures.
2. Il s’agit l`a d’un choix de mod´elisation de notre part : le fait que le premier processus soit markovien ne garantit pas a priori qu’un processus reproduisant son comportement respectera la propri´et´e de Markov.