Prévision de la conductivité thermique eective

Conductivité thermique eective des ls

En supposant les bres rectilignes et parfaitement alignées, la conductivité ther- mique longitudinale eective des ls est calculée simplement par le modèle parallèle : λF,L= αf,Fλf,L+ αr,Fλr (5.1)

où αf,F et αr,F représentent respectivement les fractions volumiques de bres et de

résine dans les ls. Ces valeurs sont renseignées par une analyse d'images à partir d'observations de section de ls.

La conductivité thermique transverse eective des ls est déterminée numéri- quement à l'aide du modèle de premier changement d'échelle (méthode FFCM). La procédure détaillée chapitre 2 est ici rigoureusement appliquée sur des clichés obte- nus en microscopie optique. La recherche des dimensions du V.E.R. est eectuée sur plusieurs images de ls observés en coupe (cf Fig. 5.2) ; la résolution optique des images ainsi que la convergence du maillage par éléments nis sont optimisées pour ce cas précis. Le tableau 5.2 rassemble les paramètres utilisés pour ce calcul. Notons ici que les conductivités thermiques calculées selon les axes x et z des images sont égales. Les résultats de la modélisation sont présentés dans le tableau 5.3.

Tab. 5.2  Paramètres pour le calcul de la conductivité eective transverse des ls.

Taille du V.E.R. Résolution optique Incertitude numérique

µm2 _{µm/pixel sans unité}

150×150 0,22 (G×10) 1.10−5

Tab. 5.3  Conductivités thermiques et fraction volumique identiées.

λF,L (W.m−1.K−1) λF,T (W.m−1.K−1) αf,F (%)

Moyenne 1,39 0,96 65,75 Ecart type relatif (%) - ±_0,016 ±_2,10

a) Procédure pour la détermination des dimensions du V.E.R.

b) Evolution de la conductivité thermique en fonction de la taille du domaine de calcul considéré.

Conductivité thermique eective de la matrice chargée

La fraction volumique de charge dans la matrice étant relativement faible (20 % en masse par rapport à la résine, soit une fraction volumique de 0,12), il est pos- sible d'obtenir une bonne approximation de la conductivité thermique de la matrice chargée à l'aide de la relation de Maxwell-Eucken [97], exprimée pour une phase continue contenant un type d'inclusions sphériques de diamètre quelconque :

λM = λr

1 + 2αch,M_1+2κ1−κ

1 − αch,M_1+2κ1−κ

avec κ = λr

λch (5.2)

où αch,M représente la fraction volumique de charge dans la matrice, et λM, λr, λch,

les conductivités thermiques respectives de la matrice, de la résine et des charges. L'application numérique conduit à la valeur : λM = 0,56 W.m−1.K−1

Conductivité thermique eective du composite

Le composite étudié est élaboré à partir d'un empilement de plis tissés d'épais- seurs égales et sans désorientation entre eux. Par hypothèse, nous supposons les ls de chaîne identiques aux ls de trame. Par conséquent, la conductivité eective du composite est alors équivalente à la conductivité eective du pli (cf eq. 2.7 et 2.8). Le calcul de la conductivité eective du pli est réalisé numériquement à l'aide du modèle de second changement d'échelle (méthode FFCM). La géométrie idéalisée du renfort breux est construite grâce aux caractéristiques morphologiques déterminées à partir d'observations micrographiques du composites. Les ls de chaîne et ls de trame possèdent une section de géométrie  parabolique . Le pas de tissage est calculé an de garantir une fraction volumique de bres dans le composite identique à la fraction annoncée par le fabricant (0.45).

Les valeurs identiées sont indiquées dans le tableau 5.4. Une représentation de la géométrie idéalisée du motif périodique représentatif de l'architecture est illustrée à

Tab. 5.4  Paramètres géométriques identiées.

Largeur des ls a : 0,46 mm Hauteur des ls b : 0,12 mm Pas de tissage p : 0,50 mm Epaisseur du patin de matrice interplis s : 2,5.10−3 mm Epaisseur du patin de matrice interls r : 7,0.10−3 mm

la gure 5.3. Seuls les ls sont représentés sur cette gure, le maillage de la matrice n'apparaît pas.

Fig. 5.3  Expérience numérique réalisée sur le motif périodique représentatif de l'architecture étudiée - détermination de la composante selon y.

La résolution du problème thermique dans les trois directions de l'espace, conduit aux résultats reportés dans le tableau 5.5. Le tenseur de conductivité est symétrique. Les composantes déterminées selon les axes x et y sont rigoureusement identiques, nous vérions que les termes extra-diagonaux sont bien négligeables.

Tab. 5.5  Résultats de la modélisation.

λk_C (λxx= λyy) λ⊥C (λzz)

Grandeurs identiées

(W.m−1_.K−1₎ 1,05 0,88

Sensibilité aux paramètres et intervalle de conance

Si elle est d'une compréhension relativement simple, la stratégie de prévision de la conductivité thermique développée, met en jeu un nombre important de données dont il est dicile d'avoir une vision synthétique et de pressentir leur inuence sur le résultat nal. Ces données, indiquées par le fabriquant ou bien mesurées au laboratoire, sont par ailleurs connues avec une incertitude de me- sure ajustée selon les performances des appareillages et de la méthode utilisée. Certaines de ces incertitudes peuvent être négligeables vis-à-vis du calcul du tenseur de conductivité thermique du composite ici réalisé, d'autres beaucoup moins. Evaluons par une étude paramétrique dans quelle mesure une erreur sur les données d'entrée du modèle peut entraîner un écart signicatif sur le résultat obtenu.

Les valeurs minimale et maximale prisent pour chacun des paramètres étudiés correspondent à leur incertitude relative de mesure (cf Ÿ 5.1.1). Pour les fractions volumiques, nous avons estimé leur incertitude à ± 5%.

Sensibilité aux fractions volumiques La gure 5.4 montre que les deux conductivités eectives calculées λ⊥

C et λ k

C sont très peu sensibles à la fraction

volumique de charges. Ce résultat n'est pas surprenant puisque ceux-ci sont minoritaires dans le matériau.

La conductivité eective parallèle aux plis est sensible à la fraction volumique de bres dans le composite et cela davantage que la conductivité eective perpendicu- laire aux plis. En revanche, la fraction volumique de bres dans le l n'exerce que très peu d'inuence sur les conductivités calculées.

Fig. 5.4  Sensibilité des conductivités thermiques eectives du composite aux frac- tions volumiques des constituants.

Sensibilité aux conductivités thermiques des constituants Les échelles étant identiques, il est aisé de comparer la gures 5.5a, présentant la sensibilité aux conductivités thermiques des constituants majoritaires bre et résine, à la gure précédente. Les sensibilités sont ici beaucoup plus importantes, notamment la sen- sibilité de la conductivité eective parallèle aux plis à la conductivité longitudinale des bres, de même que la sensibilité de la conductivité transverse aux plis à la conductivité transverse des bres.

a)

b)

Fig. 5.5  Sensibilité des conductivités thermiques eectives du composite aux conductivités thermiques : a) des contituants majoritaires bre et résine, b) des charges.

La sensibilité des conductivités thermiques eectives à la conductivité thermique des charges est quant à elle quasiment nulle (cf Fig. 5.5b), ces dernières étant en très faible proportion dans le matériau. Ce paramètre n'inuence pas le résultat de la modélisation.

Au nal, un encadrement des conductivités thermiques eectives calculées peut être obtenu en injectant dans nos modèles les valeurs minimales et maximales des paramètres qui minimisent et/ou maximisent le résultat. Les incertitudes relatives associées aux conductivités thermiques eectives ainsi déterminées sont :

∆λk_C λk_C = λk_C,maxi− λk_C,mini 2λk_C = ± 20% ∆λ⊥_C λ⊥ C = λ ⊥ C,maxi− λ ⊥ C,mini 2λ⊥ C = ± 15%

5.1.3 Mesure des propriétés thermiques par la méthode du